GEODEZIE

Fiind data reteaua de nivelment geometric de mai jos , unde cunoastem Δh⁰, lungimile Lij si cotele punctelor vechi H_A si H_B , se cere:

Valorile cele mai probabile ale cotelor punctelor noi 1, 2, 3

Cunoscand H₂ = H_A + Δh _A-3 + Δh _3-1+ Δh _1-2 sa se calculeze σ_H2

A 1 2 B

3

Sistemul ecuatiilor de conditie este:

H_B - H_A + Δh _B-2+ Δh _2-1+ Δh _1-A = 0

Δh _A-1 + Δh _1-3 + Δh _3-A = 0

Δh _1-2 + Δh _2-3 + Δh _3-1 = 0

H_B - H_A - Δh _2-B - Δh _1-2 - Δh _A-1 = 0

Δh _A-1 + Δh _1-3 - Δh _A-3 = 0

Δh _1-2 + Δh _2-3 - Δh _1-3 = 0

Δhij = Δh⁰ij + Vij

H_B - H_A - Δh⁰_2-B - v₄ - Δh⁰_1-2 - v₂ - Δh⁰ _A-1 -v₁= 0

Δh⁰_A-1 + v₁+ Δh⁰ _1-3 + v₃ - Δh⁰_A-3 - v₆ = 0

Δh⁰_1-2 + v₁ + Δh⁰_2-3 +v₅ - Δh⁰_1-3 -v₃ = 0

v₁ + v₂ + v₄ - 0,07 = 0 w₁ = - 0,07

v₁ +v₃ - v₆ + 0,20 = 0 w ₂ = 0,20

v₂ - v₃ + v₅ - 0,13 = 0 w₃ = - 0,13

1 1 0 1 0 0

V = P^-1 * A^T * K unde A = 1 0 1 0 0 -1

0 1 -1 0 1 0

v₁

V= v₂

v₃

v₄

v₅

v₆

Sistemul normal al corelatelor este:

w₁

K = - N^-1 * W unde W = w₂

w₃

N = A * P^-1 * A^T

P_i = 1/L_I

1/2 0 0 0 0 0

P = 0 0 0 1/1,5 0 0

0 0 0 0 1/5 0

0 0 0 0 0 1/8

Det N = 875,5375

0,17821623 -0,044938109 -0,074634153

N^-1 = -0,044938109 0,092274745 0,038878974

-0,074634153 0,038878974 0,115403395

Verificare: N * N^-1 = I

0,17821623 -0,044938109 -0,074634153 8 2 4,5

N * N^-1 = -0,044938109 0,092274745 0,038878974 * 2 13,13 -3,13

-0,074634153 0,038878974 0,115403395 4,5 -3,1 12,63

0,999999933 -0,000000001 -0,000000003

N * N^-1 = 0,000000001 0,999999995 0,000000002

0,000000001 -0,000000003 1,000000002

0,011760318

K = - N^-1 * W    K = -0,01654635

0,002002255

K₁ = 0,011760318

K₂ = -0,01654635

K₃ = 0,002002255

Calculul corectiilor :

V = P^-1 *A^T *K

v1 = - 0,009572064

v2 = 0,061931578

v3 = -0,058057133

v4 = 0,010011275

v5 = 0,010011275

v6 = 0,1323708

Verificarea calculelor :

P * V =AT *K

1 1 0 -0,004786032

A^T *K = 0 1 -1 * -0,01654635 = -0,018548604

Verificare corectiilor :

Ecuatia 1 :

v₁ + v₂ + v₄ = 0,07

-0,009572067 + 0,016931578 + 0,0176404770 = 0,06999999

Ecuatia 2 :

v₁ + v₃ - v₆ = -0,20

-0,009572064 - 0,058057133 - 0,1323708 = -0,19999997

Ecuatia 3 :

v₂ + v₅ - v₃ = 0,13

0,061931578 + 0,010010275 + 0,058057133 = 0,129999996

Calculul diferentelor de nivel compensate:

Δh _A-1 = Δh⁰ _A-1+ V_A-1 = 10,120 m

Δh _1-2 = Δh⁰_1-2 + V_1-2 = 5,232 m

Δh _1-3 = Δh⁰_1-3+ V_1-3 = 2,492 m

Δh _2-B = Δh⁰_2-B + V_2-B = -25,352 m

Δh _2-3 = Δh⁰_2-3 + V_2-3 =-2,740 m

Δh _A-3 = Δh⁰ _A-3 + V_A-3 =12,612 m

Calculul valorilor cele mai probabile ale cotelor punctelor noi

H₁ = H_A + Δh _A-1 = 40,120 m

H₂ = H_A + Δh _A-1 + Δh _1-2 = 45,352 m

H₃ = H_A + Δh _A-3 = 42,612 m

Verificare:

A-1-2-B

H_A = 30 m

H₁ = H_A + Δh _A-1 = 40,120 m

H₂ = H₁ + Δh _1-2 = 45,352 m

H_B = H₂ + Δh _2-B = 20 m

B -2 -3 -A -1 - 2 -B

H_B = 20 m

H₂ = H_B - Δh _B-2 = 45,352 m

H₃ = H₂ + Δh _2-3 = 42,612 m

H_A = H₃ + Δh _3-A = 30 m

H₁ = H_A + Δh _A-1 = 40,120 m

H₂ = H₁ + Δh _1-2 = 45,352 m

H_B = H₂ + Δh _2-B = 20 m

Calculul preciziilor

a)     Eroarea medie patratica a unitatii de pondere

σ₀ = V^T*P*V / r

V^T*P*V= - 0,0095722 0,06193157 -0,0580571 0,0100112 0,01001120,132370 *

V^T*P*V =0,004392782

sau V^T*P*V = -W^T *K

V^T*P*V = -( -0,07 -0,20 -0,13 ) * 0,011760318

-0,01654635

0,002002255

V^T*P*V = 0,004392785

σ₀ = 0,004392785 / 3 σ₀ = 0,038 m/km

b)     Eroarea medie patratica a unei functii

H₂ = H_A + Δh _A-3 + Δh _3-1+ Δh _1-2

σ_H2 = σ₀ Q_FF unde Q_FF = f^T*P^-1*f - f^T*P^-1*A^T*N^-1*A*P^-1*f

0

1

unde f = -1

0

0

1

f^T*P^-1*A^T = ( 0 4,5 -3,13 0 0 8) * 1 1 0 = (4,5 -11,13 7,63 )

1 0 1

0 1 -1

1 0 0

0 -1 0

f^T*P^-1*f = ( -0,26764612 -0,94827 0,11198003)

0

2 4,5 0 1,5 0 0 1 4,5

A*P^-1*f = 2 0 3,13 0 0 -8 * -1 A*P^-1*f = -11,13

0 1,5 -3,13 0 5 0 0 7,63

0 1

f^T*P^-1*A^T*N^-1*A*P^-1*f = ( -0,26764612 -0,94827 0,11198003 )* 0,5

-11,63

7,63

f^T*P^-1*A^T*N^-1*A*P^-1*f = 10,204

Q_FF = f^T*P^-1*f - f^T*P^-1*A^T*N^-1*A*P^-1*f = 15,63 - 10,204 = 5,425

σ_H2 = σ₀ Q_FF

Q_FF = 5,425 σ_H2 = 0,088 m