Reducerea fortelor - Sisteme echivalente de forte

Reducerea fortelor

1. Sisteme echivalente de forte

Se considera o forta aplicata intr-un punct A al unui solid rigid. (Figura 12). A reduce forta in punctul O inseamna a introduce in O un sistem echivalent cu forta care sa aiba acelasi efect mecanic asupra solidului rigid.

Definitia:

Doua sisteme de forte se numesc echivalente daca pot rezulta unul din celalalt printr-o succesiune de operatii elementare de echivalenta.

Sistemele echivalente se obtin prin aplicarea operatiilor elementare de echivalenta:

alunecarea unei forte pe

Fig. dreapta sa suport;

descompunerea unei forte in componentele sale pe axe concurente;

introducerea in / eliminarea din sistem a fortelor egale in modul si de sens contrar;

inlocuirea fortelor concurente cu rezultanta lor.

Torsor de reducere

Aplicarea (Figura 12) in punctul O a doua forte de sensuri opuse, egale in modul cu forta care actioneaza in punctul A si avand aceeasi directie cu aceasta, nu modifica cu nimic efectul mecanic asupra solidului rigid. Forta aplicata in punctul A si forta aplicata in punctul O, formeaza un cuplu de forte, de moment

(39)

In consecinta, asupra solidului rigid, in punctul O actioneaza forta si momentul , al caror efect mecanic este echivalent cu cel al fortei aplicata in punctul A.

Forta si momentul se numesc elemente de reducere in punctul O sau torsorul de reducere al fortei aplicata in punctul A, si se noteaza

(40)

Pentru un sistem de forte , , aplicate in punctele , si care au, respectiv, vectorii de pozitie , in raport cu punctul O, fiecare forta aplicata in punctul , se inlocuieste cu o forta si un moment , aplicate in punctul O. Sistemul fortelor concurente in punctul O se inlocuieste cu un vector rezultant si, analog, momen-tele se inlocuiesc cu un vector moment rezultant, .

In concluzie, torsorul de reducere al sistemului de forte , , se scrie

(41)

In practica, se pune de foarte multe ori problema inlocuirii actiunii unui sistem de forte care actioneaza asupra unui solid rigid, cu actiunea altui sistem de forte, care difera, in general, de primul atat prin numarul de forte aplicate cat si prin modulul, directia si sensul lor, dar care sa aiba acelasi efect mecanic asupra solidului rigid.

Acest lucru se realizeaza, asa cum s-a aratat anterior, cu ajutorul operatiilor elementare de echivalenta.

Teorema de echivalenta

a doua sisteme de vectori alunecatori

Doua sisteme de forte sunt echivalente daca au, intr-un punct, aceeasi forta rezultanta si acelasi moment rezultant, sau, cu alte cuvinte, daca au acelasi torsor de reducere in punctul considerat.

Torsorul de reducere se bucura de urmatoarele proprietati:

la schimbarea punctului de reducere, forta rezultanta , obtinuta prin construirea poligonului fortelor, ramane neschimbata, fiind un invariant in raport cu punctul de reducere;

la schimbarea punctului de reducere, momentul rezultant se modifica corespunzator relatiei

(42)

Astfel, intr-un punct , al solidului rigid, (Figura 13), torsorul de reducere al sistmului de forte , , se scrie

Fig. 13.

(43)

produsul scalar dintre forta rezultanta si momentul rezultant este o marime constanta, fiind un invariant in raport cu punctul de reducere;

Intr-adevar, inmultind scalar cu , relatia (42) devine:

, (44)

produsul mixt fiind nul.

Relatia (44) se mai scrie, conform celor prezentate in Figura 14,

Fig. 14.

deci,

adica, proiectia momentului rezultant pe directia fortei rezultante este un invariant in raport cu punctul de reducere.

Tinand cont de expresiile analitice ale vectorilor si , relatia (44) se scrie

constant (45)