Tensiuni normale principale. Tensiuni tangentiale principale

Orientarea planelor principale 1 si 3, ce definesc tensiunile normale maxime si minime, sub un unghi a_s, este data de solutia obtinuta prin anularea derivatei functiei (III.60):

. (III.64)

Se observa ca in cazul plan se regaseste conditia dedusa pentru starea spatiala in care tensiunile tangentiale sunt nule pe directiile tensiunilor normale principale.

Din relatia (III.64) rezulta:

. (III.65)

Intrucat functia tangenta determinata de parametrii s_x s_z t_zx, perpendiculari intre ei, are perioada p, rezulta ca pe un cerc intreg sunt doua solutii, 2a si 2a decalate intre ele cu p. Se observa ca directiile principale 1 (a ) si 3 (a ) formeaza un unghi drept intre ele.

Procedand in mod similar asupra functiei (III.63) se obtine orientarea planelor principale 6 si 6', sub unghiul a_t, pentru tensiuni tangentiale extreme:

. (III.66)

Rezulta:

. (III.67)

Directiile 6 (a ) si 6' (a ) sunt rectangulare din aceleasi considerente exprimate pentru directiile 1 si 3.

Ecuatia (III.67) este reciproca si negativa in raport cu ecuatia (III.65):

. (III.68)

Relatia (III.68) arata ca valorile argumentului 2a determinate in cele doua situatii (III.67, III.65) sunt decalate intre ele cu p. Inseamna ca directiile [1 (a ) si 3 (a )] si [6 (a ) si 6' (a )] formeaza intre ele unghiuri de .

Daca in relatia tensiunilor normale s (III.60) se inlocuiesc functiile si prin functia exprimata pentru directiile principale si anume:

(III.69)

rezulta expresia tensiunilor normale principale:

. (III.70)

Semnul plus din fata radicalului este asociat tensiunii s , semnul minus este corespunzator tensiunii s

Adunand tensiunile normale principale rezulta:

(invariantul starii de tensiune). (III.71)

Procedand ca mai inainte pentru expresia tensiunilor tangentiale t (III.63) prin folosirea relatiei (III.67) se obtine:

. (III.72)

Rezulta ca tensiunea tangentiala maxima are aceeasi valoare cu cea minima in concordanta cu legea dualitatii tensiunilor tangentiale pentru doua suprafete ortogonale.

Din compararea relatiilor (III.71) si (III.72), se observa ca t se mai poate exprima sub forma:

. (III.73)

Inlocuind relatia (III.67) in relatia (III.60), rezulta ca, in planele in care actioneaza tensiunile tangentiale extreme, tensiunea normala are valoarea:

. (III.74)

Pentru redarea imaginii starii plane de tensiune (planul zx) a unui punct, se procedeaza astfel, fig. (III.16):

se considera in jurul unui punct M un cub elementar supus unei stari plane si omogene de tensiune s_x s_z t_xz t_zx, reprezentat in planul solicitarii prin suprafata hasurata de laturi dx, dz (pentru simplificarea figurii nu s-au reprezentat tensiunile);

suprafata studiata rotita fata de axa z cu unghiul a dupa o directie oarecare pe care se dezvolta tensiuni s_a si t_a se reprezinta la o scara mai mica;

prin rotirea elementului (suprafetei) studiate cu unghiul a_s a_s reprezentat la o scara si mai mica se obtin directiile principale 1 si 3; pe colturi, perpendicular pe diagonale, s-au reprezentat suprafetele ce au versorii dupa directiile principale 6 si 6', rotite cu fata de directiile 1 si 3.

Fig. III.16 Starea plana de tensiune

In starea plana de tensiune, daca asupra elementului studiat actioneaza numai tensiuni tangentiale extreme, solicitarea se numeste forfecare pura. Astfel, din relatia (III.74), punand conditia ca pe directia principala 6 tensiunea normala sa fie nula, rezulta:

, de unde . (III.75)

de unde, conform relatiei (III.60), se obtine .

Inseamna ca pe directiile principale 1 si 3 rotite la , fata de starea de forfecare pura, exista o stare echivalenta (reprezentarea s-a facut la o scara mai mica) in care tensiunile normale sunt egale si de sens contrar, fig. (III.17).

Fig. III.17 Starea de forfecare pura