BAZELE ARITMETICE ALE SISTEMELOR DE CALCUL

FUNCTIONAREA UNUI SISTEM DE CALCUL ARE CA FUNDAMENT MATEMATIC:

concepte aritmetice si algebrice;

sisteme de numeratie

operatii cu numere reprezentate in diverse sisteme de numeratie

reprezentarea numerelor rationale cu baza si exponent

coduri pentru reprezentarea informatiei

structuri algebrice

reprezentarea informatiei in memoria sistemelor de calcul

concepte logice;

algebra booleana

inelul boolean

functii si expresii booleene

structuri si expresii Reed-Muller

structuri si expresii Post

structuri si expresii Galois

paralelismul valoare logica - cifra binara

functii polivalente de variabile polivalente

circuite combinationale.

Reprezentarea informatiei intr-un sistem de calcul se realizeaza cu ajutorul sistemelor de numeratie si al codurilor.

SISTEME DE NUMERATIE

Prin sistem de numeratie intelegem totalitatea regulilor de reprezentare a numerelor cu ajutorul unor simboluri numite cifre.

Sistemele de numeratie se clasifica in:

pozitionale (de exemplu: sistemele binar, zecimal, hexazecimal),

nepozitionale (de exemplu: sistemul roman).

In sistemele de calcul se folosesc sistemele de numeratie pozitionale pentru reprezentarea informatiei. De acestea ne vom ocupa in continuare.

Orice sistem de numeratie pozitional este caracterizat prin numarul total de simboluri (cifre) distincte ale sistemului, denumit baza sistemului de numeratie, numar ce va fi notat in continuare prin b.

Exemple de sisteme de numeratie:

a)      Sistemul binar, are baza 2; cifrele sunt 0, 1;

b)      Sistemul octal, are baza 8; cifrele sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

c)      Sistemul zecimal, are baza 10; cifrele sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

d)      Sistemul hexazecimal, are baza16; cifrele sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, A, B, C, D, E, F.

Sistemele de calcul folosesc acele sisteme de numeratie care prin caracteristicile lor prezinta avantaje in ceea ce priveste realizarea circuitelor si calculelor (de exemplu: sistemul binar, hexazecimal, octal).

TEOREMA SISTEMELOR DE NUMERATIE

Reprezentarea numerelor intr-un sistem de numeratie cu baza b, bI N^*, b>1 este justificata teoretic prin teorema 1, numita teorema sistemelor de numeratie, care la randul ei face apel la lemele 1 si 2.

Lema 1. Fie bI N^* ,b >1. Oricare ar fi numarul natural NI N^* exista numerele naturale n, a₀, a₁, , a_n, N₀, N_1, , N_n-1, astfel incat:

N = b N₀ + a₀ , 0 a₀ < b

N₀ = b N₁ + a₁ , 0 a₁ < b

.

N_n-2 = b N_n-1 + a _{n-1 ,} 0 a_n-1 < b

N_n-1 = a_{n ,} 0 < a_n < b .

Demonstratie. Daca n < b , luam n = 0 , a₀ = N si lema este demonstrata. Daca N b , fie N₀ , a₀ I N astfel incat:

N = bN₀ + a₀ , 0 a₀ < b

Deoarece N b , atunci N₀ > 0. Fie N₁ , a₁I N astfel incat:

N₀ = bN₁ + a₁ , 0 a₁ < b

s.a.m.d.

Daca N_i , atunci din 1 < b rezulta:

N_i < bN_i bN_i + a_i = N_i-1 prin urmare:

N > N₀ > N₁ > > N_i-1 > N_i >

Exista asadar n I N astfel incat N_n-1 si N_n = 0, caz in care avem:

0 < N_n-1 = a_n < b si lema este demonstrata.

Lema 2. Fie b , a₀ , a₁ , , a_n I N astfel incat b > 1, 0 a_i < b pentru 0 i < n si 0 < a_n < b. Atunci < bⁿ⁺¹.

Demonstratie. Deoarece a_i b-1 pentru i = 0 , 1, , n atunci:

.

Teorema 1. (Teorema sistemelor de numeratie). Fie b I N ^* , b >1.. Oricare ar fi numarul N > 0, exista numerele naturale n, a₀, a₁, , a_n unic determinate astfel incat:

N = a_n bⁿ + a_n-1 b^n-1 + + a₁b + a₀ , unde 0 < a_n < b ,0 a_i < b pentru i = 0 , 1 , , n-1.

Demonstratie. Conform lemei 1 exista n, a₀, a₁, , a_n, N₀, N_1, , N_n-1, astfel incat:

N = b N₀ + a₀ , 0 a₀ < b

N₀ = b N₁ + a₁ , 0 a₁ < b

.

N_n-2 = b N_n-1 + a _{n-1 ,} 0 a_n-1 < b

N_n-1 = a_{n ,} 0 < a_n < b.

Inmultind aceste egalitati respectiv cu 1, b, b² , , bⁿ si adunand membru cu membru rezulta:

N = a_n bⁿ + a_n-1 b^n-1 + + a₁b + a₀

Demonstram unicitatea numerelor n, a₀, a₁, , a_n.

Presupunem ca ar mai exista numerele p, c₀ , c₁, , c_p I N astfel incat:

N = c_pb^p + c_p-1 b^p-1 + + c₁b + c₀ .

Daca n < p atunci n + 1 p si in baza lemei 2 rezulta:

deci N < N asadar, contradictie.

Analog, se arata ca nu este posibil ca p < n deci n = p.

Demonstram acum ca a_i = c_i (i=0 , 1 , ,n).

Daca n = 0, atunci a₀ = N = c₀ . Presupunem ca n > 0 si ca afirmatia este adevarata pentru n - 1 .

Din egalitatile :

N = a₀ + b(a_nb^n-1 + + a₁) = c₀ + b(c_nb^n-1 + +c₁)

unde 0 a₀ < b , 0 c₀ < b, folosind teorema de impartire cu rest care asigura unicitatea catului si restului impartirii lui N la b (vezi teorema 2), rezulta:

a₀ = c₀

si

a_nb^n-1 + + a₂ b + a₁ = c_nb^n-1 + + c₂ b + c₁

Folosind ipoteza inductiei , din ultima egalitate deducem ca:

a_i = c_i , i = 1, 2, ,n.

Observatii.

(i). Din teorema precedenta rezulta ca se stabileste o corespondenta biunivoca intre numerele naturale N > 0 si secventele finite a_n a_n-1 a₁a₀ de numere naturale a_i <b cu a_n

Numarului natural N > 0 facem sa-i corespunda secventa finita de numere naturale

a_n a_n-1 a₁a₀

unde

a_i < b , 0 i n , a_n si N = .

Prin urmare:

a_n a_n-1 a₁a₀ = a_n bⁿ + a_n-1 b^n-1 + + a₁b + a₀

(ii). Cand se impune sa se mentioneze baza sistemului de numeratie (de exemplu, in cazul in care se lucreaza cu mai multe baze), este obisnuit sa se noteze a_n a_n-1 a₁a_0(b).

Prezentam in continuare teorema impartirii cu rest, a carei demonstratie se bazeaza pe lema lui Arhimede, cunoscuta fiind importanta ei in studiul sistemelor de numeratie.

1.2. LEMA LUI ARHIMEDE

(i) LEMA LUI ARHIMEDE (PENTRU NUMERE NATURALE)

Daca m, n I N , n , atunci exista kI N , astfel incat kn > m.

Demonstratie. Daca m = 0 , k poate fi 1, 2, iar daca n = 1 atunci k poate fi m+1, m+2, .

Fie m si n . Deci exista l astfel incat n = succ (l), l , adica n = l + 1; atunci mn = m(l + 1) = ml + m > m, deoarece ml > 0 , deci k = m , m + 1 , .

Fie k = m + 1, atunci kn = (m + 1)n = mn + n > mn m , deci kn > m.

(ii) LEMA LUI ARHIMEDE (PENTRU NUMERE INTREGI)

Daca a, b IZ , a > 0 , exista n I N astfel incat na > b.

Demonstratie. Daca b > 0 ne situam in cazul numerelor naturale; daca b este evident ca pentru orice n I N avem na > 0 b

Teorema 2. (Teorema impartirii cu rest). Daca a si b sunt doua numere intregi si b , atunci exista doua numere intregi q si r, unic determinate astfel incat:

a = bq + r , 0 r <| b |,

(q se numeste cat, iar r rest).

Demonstratie. Fie M = . Se arata ca M

Aplicam lema lui Arhimede numerelor |b| > 0 si -a; rezulta ca exista n I N astfel incat n |b| > - a. Atunci numarul n|b| + a > 0 apartine lui M, unde se va lua, dupa caz, s = n sau s = -n .

Multimea M este o multime nevida de numere naturale, deci are un prim element r

Aratam ca r < |b|. Daca r |b| ar rezulta ca:

r = a - bq, q IZ , 0 t = r - | b| = a - bs < r

cu s = q +1 sau s = q - 1, dupa caz. Atunci ar exista p I M, t < r ceea ce este contradictoriu cu faptul ca r este primul element al multimii M.

Exista deci q si r astfel incat

a = bq +r , 0 r |b|

Demonstram unicitatea numerelor q si r.

Procedam prin reducere la absurd. Presupunem ca mai exista q₁ si r₁ astfel ca:

a = bq₁ + r_1, 0 r₁ < |b|.

Atunci

|b| |q-q₁| = |r - r₁ |.

Daca q-q₁ atunci |q-q₁| 1, |b| |q-q₁| b si mai departe |b|>r₁ r₁- r=|r₁-r| b, ceea ce este contradictoriu. Deci q = q₁ si r = r_1.

Observatie. O varianta a teoremei precedente este urmatoarea:

Daca m, nI Z, n , atunci exista q, rI Z, astfel incat m = nq+ r , |r|<|n|.

Perechea de intregi din aceasta varianta nu este insa unica.

Exemplu. |1 |< |-4|,

-15 = (-4) |-3| < |4|.

Intr-un sistem de numeratie cu baza b, un numar rational N format din parte intreaga si parte fractionara se poate reprezenta intr-una din urmatoarele trei forme:

N = ,

unde b este baza sistemului, a_i sunt cifre, n+1 este numarul de cifre al partii intregi, m este numarul de cifre ale partii fractionare, a_n este cifra cea mai semnificativa, a_-m este cifra cea mai putin semnificativa;

a_i b-1 , m i < n , 0 < a_n b-1

Daca m = 0, numarul N este intreg.

Este evident faptul ca cele trei forme sunt echivalente.

Nu ne propunem sa intram in detalii pur teoretice; mentionam insa faptul ca orice numar real xIR se reprezinta in mod unic sub forma:

x = [x]+ ,  [x]IZ , 0 <1

unde [x] reprezinta partea intreaga a lui x, iar partea fractionara a lui x.

Sistemele de numeratie, in functie de baza au o serie de proprietati care constituie criteriile pentru selectarea lor in operatiile de codificare, prelucrare sau transmitere a informatiei.

De exemplu, sistemul binar care poseda doua cifre 0 si 1, este cel mai potrivit pentru a fi utilizat in sistemele de calcul care sunt construite in principal din elemente cu doua stari stabile, putandu-se obtine o reprezentare fizica a informatiei prin atribuirea uneia dintre starile dispozitivului a cifrei 0 iar celeilalte a cifrei

Prin conectarea mai multor elemente de acest tip se obtine un dispozitiv numit registru. Registrul va putea deci contine o succesiune de cifre binare (biti), a carei lungime depinde de numarul elementelor conectate. Un exemplu de registru cu 8 biti, care contine numarul (11001001)₍₂₎, este prezentat mai jos:

Observatie. Pentru separarea partii intregi de partea fractionara vom utiliza punctul in locul virgulei.

In legatura cu reprezentarea numerelor intr-o baza se pun urmatoarele probleme:

1). Stabilirea raportului de marime intre doua numere reprezentate in aceeasi baza.

2). Stabilirea unor reguli (algoritmi) de efectuare a sumei, produsului, etc. a doua numere reprezentate in aceeasi baza.

3). Elaborarea unor algoritmi pentru reprezentarea unui numar intr-o baza data.

4). Conversia unui numar dintr-un sistem de numeratie in altul (dintr-o baza in alta).

1.3. COMPARAREA NUMERELOR REPREZENTATE INTR-O BAZA

Teorema urmatoare furnizeaza un criteriu de stabilire a raportului de marime intre doua numere naturale reprezentate in aceeasi baza.

Teorema 3. Fie a, cIN, a = a_ma_m-1 a₁a_0(b) si c = c_nc_n-1 c₁c_0(b). Atunci a<c daca si numai daca m<n sau m = n si a_p<c_p, unde p este cel mai mare i astfel incat a_i c_i , deci p = max.

Demonstratie. Daca m < n, atunci in baza lemei 1 rezulta a < b^m+1 bⁿ c

Daca m = n si a_p < c_p atunci

c-a = (c_p-a_p)b^p+(c_p-1b^p-1++c₀)-(a_p-1b^p-1++a_o) >

> (c_p-a_p)b^p+(c_p-1b^p-1++c₀)-b^p b^p+(c_p-1b^p-1++c₀)-b^p

de unde c-a > 0, deci a < c.

Reciproc, presupunem ca a < c. Atunci m n, deoarece a_p > c_p implica, conform primei parti a demonstratiei ca c < a.

1.4. ALGORITMI PENTRU CALCULUL SUMEI SI PRODUSULUI A DOUA NUMERE REPREZENTATE IN ACEEASI BAZA

Ne propunem acum sa formulam un algoritm pentru adunarea a doua numere naturale reprezentate in baza b si sa schitam un algoritm pentru inmultirea a doua numere naturale.

Fie a , c IN , a = a_ma_m-1a₁a_{0(b) ,} c = c_nc_n-1c₁c_0(b) ; vrem sa gasim cifrele s_o,s₁, ale numarului a + c in baza b.

Avem:

a = a₀ + a₁b + a₂b² + + a_mb^m

c = c₀ + c₁b + c₂b² + + c_nbⁿ

Din a₀ < b , c₀ < b, rezulta a₀ + c₀ < 2b deci a₀ + c₀ = e b + s₀ s₀ < b, e sau e sau mai precis:

s₀=

Rezulta ca:

a + c = s₀ +(a₁ + c₁ + e )b + (a₂ + c₂)b² +

Este evident faptul ca:

(a₁ + c₁ + e ) < 2b

de unde

(a₁ + c₁ + e e b + s₁ , 0 s₁ <b , cu e sau e

Avem mai departe

a + c = s₀ + s₁b +(a₂ + c₂ + e )b² +

Rezulta ca cifrele s₀ , s₁, ale sumei s = a + c sunt:

s_i = (a_i + c_i + e_i) mod b , i = 0,1,2,

unde e , iar pentru i >0:

e_i a_i-1+c_i-1+e_i-1 <b

si atunci

s_i-1 = a_i-1 + c_i-1 +e_i-1 -b.

Daca m = n numarul a + c are:

m cifre , daca a_m + c_m + e_m < b

2.) m+1 cifre, daca a_m + c_m + e_m b, cifra de rang m+1 fiind in acest caz s_m+1 =1.

Daca m n, de exemplu daca m > n , atunci raman adevarate cele mai de sus luand c_n+1 == c_m = 0.

Reprezentam in pseudocod algoritmul de adunare a doua numere naturale reprezentate in baza b;

Pasul 1. Citeste m, n; a₀, a₁,.,a_m; c₀,c₁,.,c_n;

Pasul 2. Daca m>n atunci c_n+1 := c_n+2 :=.:= c_n := 0

altfel daca m<n atunci a_m+1 := a_m+2 := . := a_n :=0;

Pasul 3. Pentru i := 0, max(m,n) executa

ε_i := 0;

Daca a_i + c_i + ε_i< b atunci s_i := a_i+ b_i+ ε_i ; ε_i+1 := 0

altfel s_i := a_i+ b_i+ ε_i-b ; ε_i+1 := 1;

Pasul 4. Daca ε_i atunci scrie s₀, s₁,.,s_i-1

altfel scrie s₀, s₁,.,s_i-1, 1.

Pasul 5. Stop.

Prezentam in continuare tabla adunarii in baza 8:

Inmultirea a doua numere naturale in baza b se reduce in esenta, la urmatoarele tipuri de operatii:

a). Inmultirea unui numar natural a cu o putere b^j a bazei b;

b). Inmultirea unui numar natural a cu o cifra a sistemului de numeratie (deci cu un numar natural j , 0 j <b

g). Adunarea in baza b.

a). Fie a = a_ma_m-1 a₁a_0(b) = a_mb^m+ a_m-1b^m-1+ +a₁b+a₀.

Atunci

a b^j = a_mb^m+j + a_m-1b^m+j-1 + +a₁b^1+j+a₀b^j = a_ma_m-1 a₁a₀.

b). Daca i si j sunt doua numere naturale mai mici decat b, atunci ij < b², de unde, folosind teorema impartirii cu rest pentru numere naturale avem:

ij = bq(i,j) + r(i,j) , 0 r(i,j) < b , 0 q(i,j) <b

catul q = q(i,j) si restul r(i,j) impartirii numarului ij prin b depinzand de i si j.

Fie

a = a_ma_m-1a₁a_0(b) =

si j o cifra a sistemului de numeratie cu baza b , deci 0 j<b. Atunci rezulta:

aj ===+

In sfarsit, daca

c = c_nc_n-1c₁c_0(b) =

atunci

ac =.

Tabla inmultirii in baza 5 este urmatoarea:

1.5. ALGORITMUL SISTEMELOR DE NUMERATIE

Algoritmul de reprezentare a numerelor naturale N (date intr-o anumita baza) intr-o baza b, cunoscut sub denumirea de algoritmul sistemelor de numeratie este reprezentat, in pseudocod, in continuare.

Pasul 1. Citeste N, b;

Pasul 2. i := 0;

Pasul 3. Repeta a_i := N mod b ; N := [N/b] ; i := i + 1;

pana_cand N = 0;

Pasul 4. Scrie a₀, a₁,.,a_i;

Pasul 5. Stop.

Exemplu. 12345₍₁₀₎ = 11000000111001₍₂₎ .

1.6. CONVERSIA NUMERELOR DINTR-O BAZA IN ALTA

Existenta si utilizarea mai multor sisteme de numeratie impune problema conversiei dintr-un sistem in altul. Deoarece limbajul sistemelor de calcul este binar, vom mentiona in special trecerea din baza 10 (sau o putere a lui 2) in baza 2 si din baza 2 in baza 10 (sau o putere a lui 2).

Prezentam in continuare doua metode de conversie si anume:

1.6.1. METODA SUBSTITUTIEI

(i). Trecerea unui numar N din baza b in baza h, calculele facandu-se in baza (destinatie) h

Acest procedeu este utilizat la introducerea datelor numerice in sistemele de calcul, datele primind astfel o reprezentare binara.

Consideram numarul N in baza b. Pentru a obtine numarul N in baza h, atat baza b cat si cifrele a_i se scriu in baza h si se efectueaza ridicarile la putere, inmultirile si adunarile necesare, in baza h.

Exemplu. 1234₍₅₎ = ?₍₂₎ .

= 1

= 1111101 + 110010 + 1111 + 100 =

= 11000010₍₂₎;

1₍₅₎ = 1₍₂₎ ; 2₍₅₎ = 10₍₂₎ ; 3₍₅₎ = 11₍₂₎ ; 4₍₅₎ = 100₍₂₎ ; 5₍₅₎ = 101₍₂₎.

Caz particular. Daca b = 2^k (deci baza b este o putere a lui 2) atunci trecerea la baza 2 se face mai simplu transformand fiecare cifra a numarului in baza 2 si scriindu-le in grupe de cate k cifre.

Exemplu.

8 = 2³ ; 7₍₈₎ = 111₍₂₎ ; 2₍₈₎ = 010₍₂₎ ; 6₍₈₎ = 110₍₂₎.

(ii). Trecerea unui numar din baza b in baza h, calculele facandu-se in baza (de pornire) b

Acest procedeu este utilizat de sistemele de calcul pentru furnizarea rezultatelor, deoarece baza veche este 2, iar baza noua este cea obisnuita (in general 10).

Se scrie noua baza h in baza b si se imparte numarul N la h scris in baza b, conform algoritmului sistemelor de numeratie. Acest algoritm evidentiaza faptul ca oricare ar fi doua numere N si h (h≠1, N>h) au loc relatiile:

N = h* N₀ + a₀ , 0 ≤ a₀ < h ;

N₀ = h*N₁ + a₁ , 0 ≤ a₁ < h ;

N₁ = h*N₂ + a₂ , 0 ≤ a₂ < h ;

.............

N_m-2 = h*N_m-1 + a_m-1 , 0 ≤ a_m-1 < h ;

N_m-1 = h*N_m + a_m , 0 < a_m < h ,

unde a₀ , a₁ , ., a_m-1 , a_m sunt cifrele numarului N in baza h.

Exemplu. 5₍₂₎ = 101; 100110111₍₂₎ = 2221₍₅₎ .

Resturile in ordine inversa sunt 10, 10, 10, 1, care in baza 5 sunt respectiv 2, 2, 2, 1 deci am obtinut rezultatul mentionat initial.

Caz particular. Daca h = b^k , este posibila o simplificare esentiala si anume, fiecare grup de cate k cifre ale numarului dat, de la marca zecimala spre stanga pentru partea intreaga si de la marca zecimala spre dreapta pentru partea fractionara, se transforma in baza h.

Exemple.

a). 11110101111₍₂₎ = 3657₍₈₎ ;

b). 11110101111₍₂₎ = 7AF₍₁₆₎ ;

c). 11010.001010011₍₂₎ = 32.123₍₈₎ .

(iii). Trecerea unui numar din baza b in baza h prin intermediul unei baze intermediare g

Metoda se reduce la cele doua anterioare de la baza b se poate trece la baza g, calculele facandu-se in noua baza (deci primul procedeu), iar de la baza g la baza h calculele se executa in baza veche (al doilea procedeu).

De obicei baza intermediara g este 10.

Exemplu.

7635₍₈₎ = 2391₍₁₂₎

Observatie. Deoarece in sistemele de calcul nu se pot introduce decat numere cu un numar finit de cifre (in special in partea fractionara), numerele reale vor fi intotdeauna aproximate prin numere rationale.

1.6.2. METODA IMPARTIRII INMULTIRII BAZEI

Prin aceasta metoda se realizeaza conversia unui numar N din baza b in baza h utilizand aritmetica in baza h.

Conversia partii intregi a numarului se obtine prin impartiri succesive la baza h, iar conversia partii fractionare prin inmultiri succesive in baza h.

Consideram numarul N din baza b care se poate scrie:

N_(b) = [N]_(b) + _(b).

Dar

[N]_(b) = a_nhⁿ + + a₁h¹ + a₀h⁰ ,

cifrele a_i (i = 0,1,.,n) fiind deocamdata necunoscute, dar se pot determina prin impartirea succesiva a lui [N]_(b) la h conform procedeului urmator:

_.

Procesul de impartire se incheie in momentul in care [N]_(b) < h . Se obtine in final:

[N_n]_(b) = a_n , 0 < a_n < h .

Observatie. Cifra cea mai putin mai semnificativa a numarului [N]_(h) este a₀, iar cifra cea mai semnificativa a numarului este a_n .

Partea fractionara a numarului N_(b) se va scrie in baza h astfel:

Cifrele a_-i (i = 1,2,.,m) se pot determina prin inmultiri succesive ale partii fractionare cu baza h conform urmatorului procedeu:

_..

Cifra a_-1 reprezinta cifra cea mai semnificativa a numarului _(h), iar cifra a_-m reprezinta cifra cea mai putin semnificativa.

Exemple (Verificati-va cunostintele relative la conversia unui numar dintr-un sistem de numeratie in altul, lucrand independent aplicatiile care urmeaza!)

I.           Sa se treaca numarul 34562₍₇₎

A) 1. 3₍₇₎ = 3₍₅₎, 4₍₇₎ = 4₍₅₎, 5₍₇₎ = 10₍₅₎, 6₍₇₎ = 11₍₅₎, 2₍₇₎ = 2₍₅₎, 7 = 12₍₅₎;

= 212303 + 20442 + 1440 + 132 + 2 = 240424₍₅₎

= 5₍₇₎

= 5₍₇₎

130₍₇₎ = 5₍₇₎

= 5₍₇₎

2₍₇₎ = 5₍₇₎

34562₍₇₎ = 3

= 5

= 5

= 5

= 5

34562₍₇₎ = 11

B) 1. 3₍₇₎ = 3₍₈₎, 4₍₇₎ = 4₍₈₎, 5₍₇₎ = 5₍₈₎, 6₍₇₎ = 6₍₈₎, 2₍₇₎ = 2₍₈₎, 10₍₇₎ = 7₍₈₎

= 3

= 16043 + 2534 + 365 + 52 + 2 = 21240₍₈₎.

34562₍₇₎= 21240₍₈₎

=11₍₇₎

255₍₇₎ =11₍₇₎

=11₍₇₎

2₍₇₎ =11₍₇₎

34562₍₇₎ = 3

34562₍₇₎ = 10001010100000₍₂₎

II.        Sa se transforme numarul 234.128₍₁₀₎ in baza 8.

Pentru a obtine o conversie mai exacta, procesul de inmultire mai poate continua. Dar, cu trei zecimale exacte, putem scrie ca 234.128₍₁₀₎ = 352.101₍₈₎.

III.     Sa se transforme numarul 175.1285₍₁₀₎ in baza 4.

Pentru a obtine o conversie mai exacta, procesul de inmultire mai poate continua. Cu sase zecimale exacte putem scrie ca 175.1285₍₁₀₎ = 2233.020032₍₄₎.