OPTIMIZAREA DECIZIILOR PRIN METODE MATEMATICE

OPTIMIZAREA DECIZIILOR PRIN METODE MATEMATICE

1. PROBLEME DE DECIZIE IN CONDITII DE CERTITUDINE

PROBLEME REZOLVATE

1. Pentru dotarea fortelor armate aeriene cu tehnica de lupta corespunzatoare, se urmareste alegerea unui tip de avion din patru tipuri disponibile. Cele patru tipuri sunt comparate in functie de urmatoarele criterii:

C₁ - viteza maxima

C₂ - plafon de zbor

C₃ - incarcatura de razboi

C₄ - armament

Cele patru tipuri de avioane avute in vedere sunt avioane din clasa vanatoare/atac.¹

1.Datele au fost preluate din revista "Flight International", 13 - 19 July, 1994/Combat Aircraft Directory.

- Mirage 2000 produs in Franta de uzinele Dessault, avand viteza maxima 2,2 mach, plafonul de zbor 16460 m, incarcatura de razboi 6300 Kg si armamentul 230 mm, 4AAM,9;

- F - 16C Fighting Falcon produs in SUA la Lockheed, avand viteza maxima 2 mach, plafonul de zbor 18000 m, incarcatura de razboi 5413 Kg si armamentul 120 mm, 2/4/6AAM,6;

- F - 18C Hornet produs in SUA la McDonnell Douglas, avand viteza maxima 1,8 mach, plafonul de zbor 15240 m, incarcatura de razboi 8165 Kg si armamentul 120 mm, 4AAM,7;

- Mig 23 Flogger G produs in Rusia de Mikoyan, avand viteza maxima 2,4 mach, plafonul de zbor 18000 m, incarcatura de razboi 2000 Kg si armamentul 123 mm, 6AAM,8.

Consecintele fiecarei variante in raport cu criteriile decizionale sunt date in urmatorul tabel:

Considerand ca cele patru criterii sunt la fel de importante, sa se rezolve problema prin metoda momentelor (Deutch - Martin).

Rezolvare:

Pasul 1 - Se normalizeaza matricea consecintelor.

Trebuie remarcat faptul ca aceasta metoda, ca si altele, presupun mai intai o omogenizare a criteriilor prin metoda normalizarii. Notam cu matricea consecintelor normalizate. Un procedeu de normalizare prin transformare liniara utilizeaza urmatoarele formule:

- pentru criteriul de maxim

- pentru criteriul de minim

Revenind la problema si tinand cont ca toate criteriile sunt de maxim, formula dupa care vor fi calculate consecintele normalizate este:

Se obtine urmatoarea matrice a consecintelor normalizate:

Spre exemplificare, sa calculam

In mod similar se calculeaza si ceilalti r_ij.

Pasul 2 - Pentru fiecare linie se calculeaza momentul linie cu formula:

Pasul 3 - Se ordoneaza liniile matricei consecintelor normalizate in ordine crescatoare dupa valorile momentelor linie, astfel:

Pasul 4 - Pentru fiecare coloana a noii matrici se calculeaza momentul coloana

Pasul 5 - Se ordoneaza coloanele matricei in ordine crescatoare a valorilor momentelor coloana. Noua matrice a consecintelor normalizate este:

Pasul 6 - Se reia algoritmul de la pasul 2in cadrul unei noi iteratii.

Iteratia a doua

Pasul 2 - Calculam momentele line:

Pasul 3 - Ordonam liniile matricei consecintelor normalizate:

Pasul 4 - Se determina valorile momentelor coloana:

Pasul 5 - Se ordoneaza coloanele matricei in ordine crescatoare a valorilor momentelor coloana:

Se observa ca ultimul tabel este identic cu cel anterior lui, deci nu mai este posibila o noua ordonare a liniilor si/sau coloanelor matricei. Aceasta ultima ordonare a liniilor reprezinta cea mai buna ierarhie a variantelor decizionale.

V₄ → Mig 23 Flogger G,

V₂ → F-16 Fighting Falcon,

V₁ → Mirage 2000,

V₃ → F-18C Hornet.

In vederea realizarii unui obiectiv industrial, un agent economic trebuie sa aleaga o varianta din cele trei posibile. Pentru fiecare varianta se cunosc valoarea investitiei (mil.u.m.), precum si durata de realizare a investitiei (luni).

Sa se determine ierarhia optima a variantelor decizionale prin metoda TOPSIS.

Rezolvare:

Pasul 1 - Se determina matricea consecintelor normalizate:

cu

Se aplica metoda de normalizare vectoriala, astfel:

si se obtine matricea:

Pasul 2 - Se construieste matricea normalizata ponderata:

, cu

Pasul 3 - Se determina solutia ideala si solutia ideala negativa , unde:

daca C_j este criteriu de maxim

daca C_j este criteriu de minim

Solutia ideala negativa:

daca C_j este criteriu de maxim

daca C_j este criteriu de minim

Pasul 4 - Se calculeaza distanta intre solutii, utilizand relatiile:

Pasul 5 - Se calculeaza apropierea relativa de solutia ideala:

3. Sa se determine varianta optima a asimilarii in fabricatie a unui nou tip de masina de sudat electric prin presiune, pentru care s-au elaborat trei variante de proiecte, diferite din punct de vedere al unor solutii constructive. In vederea alegerii variantei optime s-au selectat trei parametrii: pretul (p), durata de asimilare (d) si cheltuielile de exploatare (c_e), care sunt prezentate in tabelul urmator:

Ierarhizarea criteriilor se face prin stabilirea urmatorilor coeficienti de importanta:

- pret: k₁=0,5,

- durata de asimilare: k₂=0,3,

- cheltuieli de exploatare: k₃=0,2

Rezolvare:

Calculul utilitatilor presupune urmatoarele relatii:

- pentru criteriul maxim:    

- pentru criteriul de minim:

Varianta optima poate fi determinata in situatiile:

- cand coeficientii de importanta (k_j) sunt identici

- cand coeficientii de importanta sunt diferiti

Revenind la problema data, se constata ca toti parametrii reprezinta criterii de minim. Sa calculam utilitatile variantelor:

PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE

1. Se considera trei variante posibile de proiectare a unui dispozitiv si trei criterii de apreciere a consecintelor tehnico-economice: costul dispozitivului - c₁ (mil. lei), productivitatea dispozitivului (nr. piesa/ora) - c_2, costul prelucrarii-c₃(mil. lei/disp.). Datele sunt prezentate in tabelul urmator:

Se cere varianta optima, obiectivele urmarite fiind minimizarea costului dispozitivului, costului prelucrarii si maximizarea productivitatii dispozitivului.

Coeficientii de importanta au valorile: k₁=0,3; k₂=0,5; k₃=0,

Se considera un numar de patru variante posibile de sudare prin presiune a unui reper. Criteriile de decizie sunt: c₁ - costul de productie al reperului (mii lei/reper); c₂ - durata de asimilare a procesului (ore); c₃ - cheltuieli cu energia (mii lei/reper).

Se cere varianta optima, obiectivele urmarite fiind minimizarea costului de productie, duratei de asimilare si cheltuielilor cu energia.

Coeficientii de importanta au valorile: k₁=0,4; k₂=0,3; k₃=0,3.

3. Pentru asimilarea in fabricatie a unui nou produs in cazul unei firme industriale, conducerea acesteia trebuie sa opteze pentru una din cele trei variante de proces tehnologic (V_1, V_2, V₃) puse la punct de specialisti, care prezinta urmatoarele consecinte:

Ierarhizarea criteriilor se face prin acordarea de catre conducerea firmei a urmatorilor coeficienti de importanta: profit k₁=0,3; calitate k₂=0,5; ciclul de productie k₃=0,

NOTA: Primele doua criterii sunt de maxim, ultimul fiind de minim.

4. O firma industriala isi propune analiza posibilitatilor de crestere a flexibilitatii productiei si de amplificare a adaptabilitatii acesteia la cerintele pietei interne si externe. In acest sens, conducerea firmei solicita patru variante de actiune in conditiile a cinci criterii mai importante (profit total, aport valutar brut, gradul de incarcare a capacitatilor, productia neta si productia marfa), considerate criterii de maxim.

Valorile coeficientilor de importanta ai celor cinci criterii adoptate au fost stabiliti in raport de pozitia fiecaruia in sistemul indicatorilor economico-financiari in perioada actuala, astfel:

- profit: k₁=0,30;

- aport valutar: k₂=0,25;

- incarcarea capacitatilor: k₃=0,10;

- productia neta: k₄=0,20;

- productia marfa: k₅=0,15.

5. O societate comerciala isi propune analiza posibilitatilor de crestere a productiei realizate in vederea lansarii pe piata a unui nou produs, in conditiile in care trebuie sa opteze pentru cea mai buna varianta de asimilare dintre posibilitati (V_1, V_2, V₃), prezentate in tabelul de mai jos:

Sa se optimizeze decizia luata in conditii de certitudine, cand confidentii de importanta ai criteriilor folosite se prezinta astfel:

- beneficiul anual: k₁=0,15;

- productia fizica: k₂=0,20;

- consum materiale: k₃=0,10;

- consum energie: k₄=0,10;

- cheltuieli generale: k₅=0,10;

- randament: k₆=0,2;

- fiabilitate: k₇=0,15.

6. Pentru asimilarea in fabricatie a unui nou produs conducerea unei firme industriale trebuie sa opteze pentru una din cele trei variante de proces tehnologic care, in functiile de criteriile stabilite, prezinta urmatoarele consecinte:

Sa se optimizeze decizia privind alegerea noului produs cand coeficientii de importanta ai criteriilor folosite se prezinta astfel:

- cifra de afaceri: k₁=0,10;

- profitul total: k₂=0,15;

- consum materiale: k₃=0,10;

- calitate: k₄=0,15;

- productivitate: k₅=0,10;

- durata ciclului de productie: k₆=0,1;

- segmentul de piata: k₇=0,3.

7. O familie doreste sa inchirieze un apartament cu doua camere. Din multimea ofertelor de inchiriere au fost selectate patru, familia urmand sa se decida pentru una din ele in functie de criteriile: distanta fata de locul de munca, etajul la care se afla apartamentul, chiria lunara. De asemenea, familia este interesata

ca apartamentul sa fie mobilat si sa aiba telefon. Pentru primul si pentru al patrulea criteriu, aprecierea variantelor decizionale se face pe baza de note, pe o scara de la 0 la 4. in cea ce priveste al doilea criteriu, familia va prefera un apartament situat la un etaj inferior. Consecintele sunt date in matricea de mai jos:

NOTA: Problema se va rezolva prin metoda utilitatii globale, primul si al patrulea criteriu fiind de maxi, iar al doilea si al treilea fiind de minim.

8. Un colectiv de conducere format din trei decidenti (D₁, D₂, D3) trebuie sa opteze pentru una din cele trei variante (V_1,V₂,V₃) de crestere a volumului productiei in cadrul unei firme. Cunoscand ca fiecare decident a ierarhizat variantele prin normalizarea consecintelor, ca in tabelul de mai jos, sa se rezolve problema prin metoda momentelor (Deutch-Martin).

9. O firma doreste achizitionarea unui utilaj. Pentru acesta, firma are de ales intre trei oferte de utilaje, analiza acestora facandu-se in raport cu patru criterii decizionale. Stiind ca matricea decizionala este:

si ca primele trei criterii sunt de maximizare, iar ultimul de minimizare, se cere:

a)      sa se estimeze utilitatile consecintelor si sa se formuleze solutia problemei atunci cand firma acorda criteriilor coeficienti de importanta: k₁=0,4; k₂=0,2; k₃=0,1; k₄=0,3;

b)      considerand ca cele patru criterii sunt la fel de importante pentru firma, sa se rezolve problema prin metoda momentelor (Deutch-Martin).

NOTA: Punctul a) se va rezolva prin metoda utilitatii globale.

PROBLEME DE DECIZIE IN CONDITII DE INCERTITUDINE

PROBLEMA REZOLVATA

Conducerea unei firme trebuie sa opteze pentru introducerea in fabricatie a unui din cele trei produse (P₁,P₂,P₃). Intrucat nu dispune de informatii certe asupra cererii, cunoscand doar ca ar putea fi vanduta oricare din cantitatile: 100, 200, 300 si 400 buc. si ca profitul aferent ar fi cel din tabelul de mai jos, se cere stabilirea produsului ce va fi inclus in fabricatie.

- mil lei -

Rezolvare:

- Regula pesimista

adica:

- Regula optimista

   

- Regula de optimalitate (Hurwicz)

Presupunem

- Regula proportionalitatii (Bayes - Laplace)

- Regula minimizari regretelor (L. Savage)

Construim matricea regretelor:

In matricea regretelor, fiecare element s-a obtinut scazand din valoarea sa initiala elementul maxim pe coloana (diferenta luata in valoare absoluta), conform relatiei:

Centralizand variantele optime obtinute dupa cele cinci reguli, intocmim urmatoarea matrice:

Analizand tabelul se constata ca V₁ nu este agreata de nici un criteriu, deci va iesi din discutie. Desi V₃ este preferata de trei criterii, iar V₂ de numai doua criterii, regula majoritatii nu este totusi relevanta. Asadar, alegerea unei variante optime comporta introducerea de filtre sau baraje suplimentare de selectie a deciziei, precum si anumite elemente legate de psihologia managerului si situatia economico-financiara a firmei.

PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE

Un posesor de capital doreste sa-l valorifice prin investitie. In acest sens, solicita ca o organizatie de consultanta in probleme financiare sa-i elaboreze un studiu de oportunitate. In tabelul de mai jos este prezentata matricea de plati, ca o rezultanta centrala a investigatiilor intreprinse de contractant relativ la patru variante de solutionare a problemei. Platile reprezinta ratele anuale de

recuperare a capitalului in variantele respective. Capitalul este de 100.000 $. Firma de consultanta se obliga sa indice varianta optima, garantand solutia recomandata clientului. Ratele recuperarii capitalului pe variante ale rezolvarii problemei de investitii, in procente se prezinta ca in tabelul urmator:

Pentru realizarea unui produs industrial sunt posibile patru tehnologii distincte: T₁,T₂,T₃,T₄, concretizate in patru variante tehnologice. Conducerea firmei, la care se poate utiliza oricare din cele patru tehnologii, trebuie sa aleaga una din ele, tinand cont ca cererea pentru produsul realizat este cuprinsa intre 8000si 14500 bucati. Profiturile realizate prin aplicarea tehnologiilor sunt prezentate in tabelul de mai jos:

- mil lei -

3. In baza unui studiu de piata, referitor la bunuri de folosinta indelungata destinate populatiei, o firma urmareste sa introduca in fabricatie unul din cele patru produse pe care si-a propus a le realiza in semestrul I al anului urmator. Din studiu a rezultat o cerere variabila pentru acest produs cuprinsa intre 1500 si 6000 produse si un profit aferent ce rezulta din tabelul de mai jos:

- mil lei -

Se cere sa se stabileasca produsul ce va fi introdus in fabricatie, optimizand decizia luata in conditii de certitudine. Se da α=0,3.

4. O firma trebuie sa aleaga unul din produsele sale cu una din cele patru variante tehnologice, in conditiile unei cereri variabile din acest produs, cuprinsa intre 85000 buc. Si 124000 buc., si a unui profit prezentat in tabelul urmator:

- mil lei -

Sa se optimizeze decizia privind alegerea produsului in conditii de certitudine (α=0,3).

5. Extinderea unei intreprinderi presupune construirea unei noi sectii de fabricatie. Necesitatile productiei impun inceperea lucrarilor toamna, existand trei variante de proiect (V₁, V₂, V₃). Estimarile privind duratele de executie (exprimate in luni) s-au facut pentru trei stari ale naturii (S₁ - iarna usoara; S₂ - iarna obisnuita; S₃ - iarna grea) si se prezinta in tabelul urmator:

Sa se optimizeze decizia privind alegerea variantei de proiect. Se da α=0,7.

PROBLEME DE DECIZIE IN CONDITII DE RISC

In scopul intelegerii solutionarii acestor tipuri de probleme, vom prezenta concret modalitati de rezolvare a acestora, luand in discutie mai multe situatii posibile. Vom utiliza in acest caz metoda arborilor de decizie.

3.1. Arbori cu probabilitati simple

In acest prim caz vom avea in vedere-in studiul solutionarii problemelor prin utilizarea arborilor de decizie probabilitatile-simple, determinate obiectiv sau subiectiv.

Probabilitatile obiective sunt aplicabile in cazul proceselor repetitive, ele calculandu-se pe baza de date statistice referitoare la producerea evenimentelor.

Probabilitatile subiective se stabilesc prin expertiza, pentru aceasta putandu-se lua o variabila aleatoare x cu distributie uniforma, . In cadrul acestui interval, expertul fixeaza un reper x^* indicand nivelul probabilitatii cautate.

1. Un colectiv de cercetare dispune de conditii pentru abordarea a trei teme importante T₁, T₂ si T₃, insa avand o capacitate limitata nu poate aborda decat una dintre ele.

Prima tema de cercetare (T₁) antreneaza cheltuieli de:

- 5 mld. lei si o durata de 25 luni daca cercetarea se desfasoara in conditii favorabile;

- 5,5 mld. lei si o durata de 25 luni daca cercetarea se desfasoara in conditii medii;

- 5,7 mld. lei si o durata de 27 luni daca cercetarea se desfasoara in conditii nefavorabile.

Tema a doua de cercetare (T₂) antreneaza urmatoarele cheltuieli si durate de realizare:

- 4 mld. lei si o durata de 30 luni daca cercetarea se desfasoara in conditii favorabile;

- 4,3 mld. lei si o durata de 32 luni daca cercetarea se desfasoara in conditii medii;

- 4,7 mld. lei si o durata de 32 luni daca cercetarea se desfasoara in conditii nefavorabile.

Tema a treia de cercetare (T₃) antreneaza urmatoarele cheltuieli si durate de realizare:

- 4,5 mld. lei si o durata de 28 luni daca cercetarea se desfasoara in conditii favorabile;

- 4,8 mld. lei si o durata de 28 luni daca cercetarea se desfasoara in conditii medii;

- 5,2 mld. lei si o durata de 30 luni daca cercetarea se desfasoara in conditii nefavorabile.

Probabilitatea aparitiei conditiilor favorabile este de 0,3, a conditiilor medii de 0,4 si a conditiilor nefavorabile de 0,3.

Daca rezultatele cercetarii se aplica pe scara larga, atunci se obtin urmatoarele beneficii anuale:

Pentru tema T₁:

- 12 mld. lei in conditii favorabile;

- 11 mld. lei in conditii medii;

- 8 mld. lei in conditii nefavorabile.

Pentru tema T₂:

- 10 mld. lei in conditii favorabile;

- 7 mld. lei in conditii medii;

- 6,6 mld. lei in conditii nefavorabile.

Pentru tema T₃:

- 13 mld. lei in conditii favorabile;

- 8 mld. lei in conditii medii;

- 7 mld. lei in conditii nefavorabile.

Daca rezultatele cercetarii se aplica pe scara restransa, se obtin urmatoarele beneficii anuale:

Pentru tema T₁:

- 7 mld. lei in conditii favorabile;

- 4 mld. lei in conditii medii;

- 1 mld. lei in conditii nefavorabile.

Pentru tema T₂:

- 4 mld. lei in conditii favorabile;

- 3,8 mld. lei in conditii medii;

- 2,9 mld. lei in conditii nefavorabile.

Pentru tema T₃:

- 6 mld. lei in conditii favorabile;

- 4 mld. lei in conditii medii;

- 2,5 mld. lei in conditii nefavorabile.

Probabilitatea de a se aplica rezultatele cercetarii pe scara larga este de 0,6, iar pe scara restransa de 0,4. intreprinderea are o situatie economico-financiara buna. Sa gasim varianta optima (una din cele trei teme) aplicand metoda arborelui decizional.

Rezolvare:

Construim arborele decizional pe baza datelor propuse (verso). Pe baza acestei reprezentari se calculeaza speranta matematica prin inmultirea nivelului criteriului (beneficiul anual) cu probabilitatile de manifestare a starii conditiilor obiective.

Pentru nodul decizional D₂

S.L.+S.R.-(120,6)+(70,4)=10

Pentru nodul decizional D₃

(110,6)+(40,4)=8,2

Pentru nodul decizional D₄

(80,6)+(10,4)=5,2

Pentru nodul decizional D₅

(100,6)+(40,4)=7,6

Pentru nodul decizional D₆

(70,6)+(3,80,4)=5,72

Pentru nodul decizional D₇

(6,60,6)+(2,90,4)=5,12

Pentru nodul decizional D₈

Pentru nodul decizional D₉

Pentru nodul decizional D₁₀

	SL

D2

Cond. favorabile

.

7 mld.