Statistica multivariata — Inferenta statistica - Testarea ipotezelor statistice (Excel)

^1− 2 

^ 2 

unde n este volumul esantionului, ² este dispersia de sondaj, iar

₂

^ 2     ^si

^_{1− 2 }

sunt quantilele de ordin  2, respectiv 1- /2, ale repartitiei 

cu  = n–1

grade de libertate.

Testarea ipotezelor statistice

Fara a ncerca o generalizare, se poate accepta ideea ca, n cele mai multe prelucrari statistice, datele sunt obtinute si prelucrate pentru a verifica ipoteze ale cercetatorilor. Deci, ca o prima imagine a subiectului, trebuie retinuta secventa:

1.  formularea unei ipoteze;

2. obtinerea de date experimentale;

3. verificarea ipotezei pe baza acestor date.

Vom considera semnificativ un eveniment care contrazice ipoteza de plecare.

_{Rationamentul general}

Ram ne o singura întrebare: începând de unde o probabilitate este considerata

drept mica ? Pentru a nu introduce subiectivismul în aceasta decizie, se fixeaza, anterior deciziei în test, un prag sub care o probabilitate este considerata mica Aceasta valoare se numeste prag de semnificatie si se noteaza uzual cu .

Regula de decizie în test poate fi formulata atunci:

 daca p_c ≤ , atunci se respinge ipoteza nula, H₀, în favoarea ipotezei alternative, H₁

 daca p_c   , atunci nu se respinge ipoteza nula H₀

Se numeste regiune de respingere, pentru un nivel de semnificatie  fixat, multimea rezultatelor (valorilor statisticii testului) care conduc la respingerea ipotezei

H₀. Daca se pot defini limitele numerice ale regiunii de respingere, acestea se vor numi, uneori, valori critice ale testului.

Testele pot fi

 parametrice = ipoteza H₀ este  strict legata de un parametru al populatiei, iar statistica testului are o repartitie cunoscuta tocmai din aceasta ipoteza.

 neparametrice = repartitia statisticii testului se calculeaza si nu rezulta din presupuneri apriorice asupra acestei distributii si a probabilitatilor atasate.

Testele parametrice pot fi ( noteaza un parametru al populatiei):

 bilaterale (nedirectionale) H₀:   _

^H₁^{:  ≠ }_

 unilaterale (directionale)

H₀:   _

^H₁^{:  < (sau >) }_

Un test statistic are, de multe ori, o denumire data de repartitia statisticii

testului: teste normale (sau Z), teste Student (sau t), teste F etc. Astfel, un test 2 reprezinta un test a carui statistica are o repartitie de sondaj din clasa 2..

Categorii de teste

Testele sunt clasificate în teste pentru variabile continue si teste pentru variabile discrete nominale sau ordinale). Primele sunt, de regula, teste parametrice, celelalte sunt neparametrice.

Teste de concordanta

Aceste teste se refera la potrivirea, concordanta dintre valorile calculate în esantion (statisticile de sondaj) si valorile parametrilor respectivi din populatia statistica (valori cunoscute sau presupuse). Cu alte cuvinte, problema poate fi formulata: cât de mult poate sa se abata o valoare calculata (dintr-un esantion) de la valoarea presupusa pentru întreaga populatie pentru a putea considera ca are loc o nepotrivire între cele doua valori?

Desi formulata astfel problema pare ca se refera la esantion si la populatia de baza, punctul de vedere corect este:

1. exista o populatie statistica de interes, fie ea P₁

2.  pentru orice esantion se poate considera o populatie de baza din care este

extras esantionul (reprezentativ pentru acea populatie); fie P₂aceasta

populatie;

3. problema este daca se poate considera ca P₂ este în concordanta cu P₁, adica parametrii de interes ai celor doua populatii nu difera semnificativ.

Se observa ca testarea se va efectua pentru ipoteze privind populatii, se va utiliza informatia dintr un esantion, deci ramânem în domeniul inferentei statistice.

Ipoteza nula va afirma, n general, ca populatiile P₁ si P₂ concorda. Respingerea ipotezei nule poate avea, în practica, doua consecinte:

 se va considera ca esantionul nu este reprezentativ pentru populatia de interes, populatie care se considera stabila; se va cauta un alt esantion;

sau

 se va considera ca populatia P₁si-a modficat ntre timp parametrii; noua populatie de referinta este P₂

Alegerea între cele doua afirmatii apartine practicianului din domeniul studiat, fiind, de cele mai multe ori, o alegere ghidata de intuitie, de experienta etc.

Testul erorii standard a mediei

Fie P₁ populatia statistica de interes, caracterizata de media ₀  (cunoscuta sau presupusa) si de abaterea standard  (cunoscuta . Întrebarea este daca valorile tipice de sondaj sustin ipoteza ca esantionul este din populatia P₁, accentul fiind pus pe media populatiei.

În testul erorii standard a mediei se presupune ca sunt ndeplinite conditiile care asigura mediei de sondaj o repartitie normala sau aproape normala:

 caracteristica studiata este repartizata normal sau

 esantionul este mare (n≥30).

In aceste conditii, media de sondaj urmeaza o repartitie normala N(²/n), unde  este media populatiei (notata în introducerea sectiunii cu P₂) din care provine

esantionul. Pentru P₂  se presupune aceeasi abatere standard  (se studiaza modificarea mediei unei populatii). Rezulta ca variabila transformata

_{Z } ^{x − } _ ^{x − }                     _n

^ _x ^

este repartizata normal standard si poate fi utilizata pentru calcularea probabilitatilor necesare. Ipotezele testului erorii standard a mediei sunt

_{pentru testul bilateral:}

_{pentru testele unilaterale:}

_{H0   0}

(A) _

^H1 ^{ ≠ }0

(B)

_^H₀ ^{  }₀

_

1

_^{H   }₁

sau

_{H0   0}

(C) _

 ^H1 ^{  }0

_devine

În conditiile ipotezei nule,   ₀, rezulta ca transformata Z a mediei de sondaj

_{Z } ^{x − 0}                        _n



în care toate valorile sunt cunoscute si prin urmare poate fi localizata pe curba densitatii de probabilitate normala standard.

Pentru a aplica acest test este necesar sa se cunoasca  si, prin urmare, situatia practica de referinta este aceea în care se studiaza daca o populatie statistica, constanta ca variabilitate, si-a mentinut, sau nu, valoarea medie. Deoarece, în general, nu se poate sti cu siguranta ca repartitia caracteristicii studiate este riguros normala, acest test se utilizeaza pentru esantioane mari.

Acest test este referit si ca testul Z de concordanta, datorita utilizarii unei statistici repartizate normal standard .

Testul de concordanta Student (t)

Atunci când nu se cunoaste abaterea standard a populatiei, , se va utiliza estimatia s, abaterea standard de sondaj, în locul lui , iar repartitia statisticii testului va fi repartitia Student. Pentru caracteristica studiata se presupune, însa, o repartitie normala cu parametri necunoscuti) sau apropiata de o repartitie normala.

Ipotezele testului sunt aceleasi cu seturile de ipoteze anterioare (A), (B), (C). Statistica testului este similara statisticii din testul erorii standard a mediei, cu

_{exceptia faptului ca n loc de  se utilizeaza estimatia s:}

t  ^{x − 0}               n s

Daca ipoteza nula, H₀:   ₀, este adevarata, atunci variabila t urmeaza o repartitie Student cu  = n–1 grade de libertate si se poate aplica o regula uzuala de decizie în test.

Teste de comparare

Categoriile de teste prezentate aici se bazeaza, aparent, pe compararea datelor de sondaj care apartin la doua esantioane. Cum sansa de a se obtine doua esantioane identice este extrem de redusa, problema compararii esantioanelor, luata n sensul strict al cuvântului, pare neimportanta.

Un test de comparare trebuie, însa, înscris n inferenta statistica: fie doua esantioane extrase din doua populatii P₁ si P₂ respectiv. Prin utilizarea esantioanelor se doreste de fapt compararea celor doua populatii.

Dificultatea procedurii consta n aceea ca diferentele dintre cele doua

esantioane, ca si similaritatea lor, se pot datora:

 diferentelor dintre populatii, si sau

 diferentelor de sondaj dintre esantioane.

Testul F

Compararea mediilor populatiilor normale ia n considerare mprastierea datelor în cele doua populatii. Este important atunci sa se cunoasca daca dispersiile celor doua populatii pot fi considerate egale, sau nu. Acest fapt se decide utilizând testul F, bazat pe repartitia teoretica F Fisher–Snedecor).

Situatia poate fi recunoscuta prin:

 doua populatii, caracterizate de variabilele X₁  si X₂, respectiv;

_{ variabilele sunt repartizate normal, X}

_{~ N   2 ) X}

_{~ N }

_{ 2}

1 1 1 2 2 2

1

 din doua esantioane, unul din fiecare populatie, dispunem de estimatiile s ²

s

2

si    ²

ale dispersiilor populatiilor; esantioanele au volume

ⁿ₁ ^si

ⁿ₂

respectiv.

Ipotezele testului F sunt atât de tip bilateral cât si de tip unilateral. Testul bilateral:

_{H :  2    2}

_{(A) } ^{0                     1 2}

_{H : } 2  _{≠ } 2

1       1 2

_{Teste unilaterale:}

_{H :  2    2}

1

_{H : }

1

^{ } ₂

_{H : }

1

1

^{ } ₂

_{Când ipoteza nula este adevarata, atunci statistica}

este repartizata F cu

 ₁  n₁  − 1

2

_{F } ^s1

s

2

2

si  ₂   n₂ − 1 grade de libertate, încât se pot utiliza

valorile tabelate pentru F ₁ ₂) pentru determinarea probabilitatilor critice.

Pentru simplificarea deciziei în test, în practica se utilizeaza o statistica usor

modificata prin considerarea ca prima populatie, P₁, a populatiei pentru care dispersia de sondaj este mai mare:

max s ² s ² ) _{F } 1 2 min s ² s ²

^{1           2}

în asa fel ncât sunt utilizabile doar testele (A) si (C). În acest caz se noteaza cu _max numarul gradelor de libertate pentru numarator si cu _min numarul gradelor de libertate pentru numitor.

Decizia, la nivelul de semnificatie  pentru testul bilateral (A):

 se respinge ipoteza nula H₀ în favoarea ipotezei alternative H₁  daca

max     min

^{F  F}1− 2  

sau

^{F  F} 2  

Decizia, la nivelul de semnificatie , pentru testul unilateral (C):

1

 se respinge ipoteza nula H₀ în favoarea ipotezei alternative H

max     min

daca

max     min

^{F  F}1−            

Teste t de comparare

Compararea mediilor a doua populatii se realizeaza prin teste de comparare t. Sunt utilizate frecvent trei asemenea teste, diferentiate de situatia existenta între dispersiile populatiilor si independenta esantioanelor:

 esantioane independente, dispersii egale,

 esantioane independente, dispersii neegale,

 esantioane dependente (perechi, corelate).

B. Instrumente Excel

Procedurile prezentate sunt disponibile prin dialogul Tools - Data Analysis.

RANDOM NUMBER GENERATION

Utilizând aceasta procedura se pot genera serii de numere aleatoare distribuite dupa 7 tipuri diferite de functii de repartitie. Rezultatul consta în una sau mai multe coloane de numere, fiecare coloana reprezent nd valori ale unei variabile repartizate dupa o functie de repartitie precizata.

Pentru fiecare generare se va da numarul de coloane (variabile) generate, numarul de valori acelasi pentru toate variabilele , tipul functiei de repartitie, parametrii functiei si locul unde se vor nscrie rezultatele.

Deoarece parametrii unei functii de repartitie depind de tipul functiei, prezen- tarea procedurii va fi particularizata pentru câteva clase de functii. Dialogul principal al procedurii Random Number Generation este prezentat în figura care urmeaza.

Se observa cele patru componente principale ale dialogului: zona care

precizeaza tipul de generare (numar de variabile, numar de valori, tipul distributiei , zona cu parametrii functiei de repartitie – specifica functiei selectate –, zona parametrului de initializare a generarii aleatoare si zona de precizare a domeniului rezultat.

Tipul de g e nerar e

Number of Variables – se precizeaza numarul de variabile generate, adica numarul de coloane;

Number of Random Numbers – se precizeaza numarul de valori generate, acelasi pentru toate variabilele;

Distribution – se alege functia de repartitie a variabilelor generate.

Ini t ia liza r ea gener a rii

Random Seed – Procesele de generare aleatoare sunt caracterizate si prin fixarea unei valori initiale functie de care se ncepe procesul de generare. Aceasta valoare, care nu înseamna prima valoare generata, este un numar întreg între 1 si 32000. Daca nu se precizeaza aceasta valoare, atunci se va considera n mod automat un numar aleator (obtinut din data curenta si timpul curent).

Diferenta între cele doua situatii este: la alegerea automata se genereaza de

fiecare data serii diferite; la alegerea de catre utilizator se va genera aceeasi serie de fiecare data când se indica acelasi numar. Prin urmare, se va completa aceasta zona doar daca, pentru a simula o anumita comportare sau prelucrare, este nevoie de generarea aceleeasi serii de numere aleatoare n utilizari succesive.

Outpu t o p tions

Output Range, New Worksheet Ply, New Workbook – potrivit descrierii de la Descriptive

Statistics. Precizeaza domeniul din foaia de calcul unde se vor nscrie rezultatele.

Para meters

Structura acestei zone depinde de functia de distributie selectata.

Repartitie discreta (Discrete)

Structura zonei Parameters este prezentata în figura. O distributie discreta este distributia unei variabile care ia un numar finit de valori cu probabilitati fixate. Deoarece valorile trebuie sa fie numerice, acest tip de repartitie

poate fi utilizat pentru probleme care implica variabile nominale atunci c nd categoriile nominale sunt codificate numeric.

1 0,40 2 0,15 3 0,20 4 0,25

Precizarea distributiei se face enumerând, într o zona continua, valorile posibile si probabilitatile asociate acestora, de genul

pentru o variabila care ia valoare 1 cu probabilitatea 0,4, valoarea 2 cu probabilitatea 0 15 etc. Acest exemplu poate sa corespunda repartitiei unei variabile nominale pentru care categoriile au fost codificate cu 1, 2, 3, sau 4.

Value and Probability Input Range – se precizeaza domeniul care contine definirea repartitiei discrete: un domeniu dreptunghiular care da probabilitatile valorilor numerice posibile. Domeniul poate fi selectat dinamic.

Repartitie normala (Normal)

Structura zonei Parameters este prezentata în figura alaturata. Pentru determinarea distributiei este necesar sa se precizeze valorile pentru media si abaterea standard a populatiei.

Mean – se precizeaza valoarea pentru media populatiei.

Standard Deviation – se precizeaza valoarea pentru abaterea standard a populatiei.

Valorile implicite sunt cele ale

repartitiei normale standard, media 0 si abaterea standard 1.

SAMPLING

Procedura de sondaj permite obtinerea unei submultimi dintr-o multime de valori existenta. Parametrii prezenti în dialogul procedurii sunt explicati n continuare.

Inp u t

Input Range – se specifica domeniul, sau denumirea domeniului, care contine datele din care se va face selectia. Domeniul poate fi selectat si n mod dinamic. Datele care joaca rolul populatiei statistice trebuie sa fie de tip numeric si organizate, de preferinta, sub forma unei coloane sau a unei linii. Prima celula poate contine denumirea setului de date. În cazul în care selectia se face dintre nregistrarile unei baze de date (fiecare înregistrare av nd, uzual, mai multe câmpuri) se va indica drept domeniu doar coloana unui c mp cum ar fi numarul înregistrarii, sau codul (numeric) de identificare etc.

Labels – boxa de control va fi marcata daca domeniul indicat contine pe prima pozitie denumirea setului de date.

Sa mplin g Method

n acest grup se precizeaza metoda de selectie.

Periodic – selectarea acestui buton radio permite indicarea n c mpul Period a cotei fixe de formare a esantionului. Daca, de exemplu, se completeaza 5, atunci esantionul este format din al 5-lea element si toate cele care urmeaza din 5 în 5 (al 10-lea element, al 15-lea, al

20-lea etc.)

Random – selectarea acestui buton radio indica o formare aleatoare a esantionului. Fiecare element are aceeasi probabilitate de a fi ales. Din acest motiv, daca multimea de baza este relativ restrânsa, atunci unele elemente pot sa apara de mai multe ori în esantionul constituit. Volumul esantionului se specifica în câmpul Number of Samples.

Outpu t o p tions

Output Range, New Worksheet Ply, New Workbook – potrivit descrierii de la Descriptive Statistics. Precizeaza domeniul din foaia de calcul unde se vor nscrie rezultatele. Rezultatul este o coloana cu valorile selectate.

Verificarea ipotezelor statistice

Sunt disponibile proceduri pentru efectuarea a trei tipuri de teste statistice:

test F pentru compararea dispersiilor;

test t pentru compararea mediilor, în toate variantele principale (esantioane corelate, dispersii egale, dispersii neegale ;

test z pentru compararea mediilor.

Fiecare procedura are ca rezultat at t probabilitatea critica a testului respectiv, c t si valoarea critica pentru un nivel de semnificatie fixat de utilizator. Ipoteza nula este, pentru fiecare test, aceea a egalitatii, deci respingerea ei se va face daca probabilitatea critica este mai mica dec t , sau daca valoarea calculata este mai mare dec t valoarea critica.

Compararea mediilor unor (sub)populatii se realizeaza prin proceduri apelate

din dialogul deschis prin Tools – Data Analysis.

Atunci când se compara mediile a doua populatii pe baza unor esantioane necorelate este necesara parcurgerea etapelor:

1. Testarea egalitatii dispersiilor prin procedura F-Test Two-Sample for

Variances

2. În functie de decizia n test se va aplica

 t-Test: Two-Sample Assuming Equal Variances în cazul nerespingerii ipotezei nule din testul F

 t-Test: Two-Sample Assuming Unequal Variances n cazul respingerii ipotezei nule n testul F.

Daca esantioanele sunt corelate, situatie caracteristica compararii rezultatelor unui grup nainte si dupa efectuarea unui experiment, se aplica procedura t-Test: Paired Two Sample For Means.

F–TEST TWO SAMPLE FOR VARIANCES

Dialogul initiat de alegerea optiunii F-Test Two-Sample for Variances este prezentat în figura III 25. În zona Input se vor indica domeniile ocupate de cele doua esantioane si pragul de semnificatie ales. Zona Output va preciza domeniul unde se înscriu rezultatele prelucrarii.