Reprezentarea polinoamelor. Interpolarea

Polinoame

MATLAB-ul furnizeaza functii pentru operatii polinomiale standard cum ar fi calculul radacinilor, evaluarea polinoamelor, derivarea etc. O parte din aceste operatii precum si modul de reprezentare a polinoamelor ca vectori au fost descrise in capitolul de Fundamente de programare.

Functiile polinomiale se afla in directorul polyfun:

Dupa cum s-a precizat deja, MATLAB-ul reprezinta polinoamele ca vectori linie care contin coeficientii polinoamelor in ordinea descrescatoare a puterilor.
Functiile uzuale care opereaza cu polinoame au fost prezentate (de exemplu roots). In continuare sunt parcurse alte cateva exemple utile.

Functia poly returneaza coeficientii unui polinom daca dispunem de radacinile acestuia (este o functie inversa fata de roots

p=[1 -1 2 4 1];

r=roots(p)

r =

1.0529 + 1.7248i

1.0529 - 1.7248i

-0.7995

coef=poly(r)

coef =

1.0000 -1.0000 2.0000 4.0000 1.0000

O alta utilizare a functiei poly este aceea de calculare a coeficientilor polinomului caracteristic al unei matrice:

A
A =
-1 -3 1
2 -2 -1
0 1 -3
poly(A)
ans =
1 6 18 23

Radacinile acestui polinom sunt chiar valorile proprii ale matricii A

Functia polyval evalueaza un polinom pentru o valoare specificata a argumentului.

Functia polyvalm permite evaluarea unui polinom in sens matriceal. In acest caz polinomul p din exemplul anterior: p(x) = x⁴ - x³ + 2x² + 4x + 1 devine p(X) = X⁴ - X³ + 2X² + 4X + I, unde X este o matrice patratica si I matricea unitate.

Exemplu:

C=polyvalm(p,A)
C =
-75 -61 81
58 -130 75
52 -23 49

Functiile conv si deconv implementeaza operatiile de inmultire si impartire a polinoamelor.

Exemple:

Fie a(x) = x² + 2x +3 si b(x) = 4x² + 5x + 6.

a = [1 2 3]; b = [4 5 6];
c = conv(a,b)
c =
4 13 28 27 18

[q,r] = deconv(c,a)
q =
4 5 6
r =
0 0 0 0 0

Functia polyder permite calculul derivatei unui polinom.

Exemplu:

p=[1 -1 2 4 1];

pderivat=polyder(p)

pderivat =

4 -3 4 4

Functia polyfit gaseste coeficientii unui polinom (o curba) care aproximeaza un set de date in sensul algoritmului celor mai mici patrate:

p = polyfit(x,y,n)

x si y sunt vectorii care contin setul de date iar n este ordinul polinomului ai carui coeficienti vor fi furnizati la apelarea functiei.

Exemplu:

x = [1 2 3 4 5]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4];
p = polyfit(x,y,3)
p =
-0.1917 31.5821 -60.3262 35.3400

Pentru plotarea rezultatului se utilizeaza mai intai functia polyval pentru o trasare cat mai exacta a graficului polinomului si apoi se ploteaza estimarea versus datele reale pentru comparatii.

x2 = 1:.1:5;
y2 = polyval(p,x2);
plot(x,y,'o',x2,y2)

Functia residue se utilizeaza pentru descompunerea in fractii simple.

Se aplica in cazul raportului a doua polinoame b si a,

unde r este un vector coloana, p tot un vector coloana care contine polii iar k un vector linie cu termenii directi.

Exemplu:

b = [-4 8];
a = [1 6 8];
[r,p,k] = residue(b,a)
r =
-12
8
p =
-4
-2
k =
[]

Daca se folosesc trei argumente de intrare (r p, si k), functia residue asigura conversia inapoi in forma polinomiala:

[b2,a2] = residue(r,p,k)
b2 =
-4 8
a2 =
1 6 8

Interpolarea

Interpolarea este un proces de estimare a valorilor dintre date (puncte) cunoscute. Aplicatiile interpolarii sunt numeroase in domenii cum ar fi procesarea numerica a semnalelor si imaginilor.

MATLAB-ul dispune de mai multe tehnici de interpolare, alegerea unei metode sau alteia facandu-se in functie de acuratetea necesara, de viteza de executie si de gradul de utilizare a memoriei.

Functiile de interpolare se afla in directorul polyfun

Compararea unor metode de interpolare bi-dimensionala

In continuare este preluat si prezentat (informativ) un exemplu de folosire a unor metode de interpolare bi-dimensionala pentru o matrice de date 7 x 7.

Generarea functiei peaks (cu rezolutie mica):

[x,y] = meshgrid(-3:1:3);
z = peaks(x,y);
surf(x,y,z)

Generarea unei suprafete mesh fine pentru interpolare:

[xi,yi] = meshgrid(-3:0.25:3);

Interpolarea cu metoda celei mai apropiate vecinatati:

zi1 = interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');

Interpolarea cu metoda biliniara:

zi2 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bilinear');

Interpolarea cu metoda bicubica:

zi3 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bicubic');

Compararea graficelor corespunzatoare diferitelor metode de interpolare:

Compararea contururilor suprafetelor in cazul diferitelor metode de interpolare:

Se observa ca metoda bicubica produce cele mai netede contururi. O metoda cum ar fi cea a celor mai apropiate vecinatati este preferata insa in anumite aplicatii, cum ar fi cele medicale unde nu trebuie generate date noi.