Retea de nivelment geometric - geodezic de ord. II

Tema    lucrarii

Pentru realizarea pe teren a unei retele de nivelment geometric - geodezic de ord. II, necesara ridicarilor nivelitice ale terenului, s-au efectuat mai multe drumuiri de nivelment geometric, formand trei poligoane nivelitice si ingloband doua repere de cote cunoscute, apartinand retelei de ordin superior. Se cere compensarea retelei prin metoda masuratorilor conditionate ponderate si evaluarea preciziei rezultatelor .

Datele    problemei

Schita retelei de nivelment geometric-geodezic, cu indicarea sensului pozitiv al diferentelor de nivel pe fiecare sectiune in parte, numerotarea poligoanelor si a sensului direct de parcurgere a traseului in fiecare poligon ( fig. 11.1 );

Scrierea ecuatiilor de conditie initiale ;

Scrierea ecuatiilor liniare de conditie ale corectiilor, calculul coeficientilor si ai termenilor liberi;

Cotele si erorile medii patratice ale cotelor reperelor de nivelment A si B apartinand retelei de nivelment de ordin superior ( tabelul 11.1 );

Diferentele de nivel medii, obtinute din masuratorile directe pe teren intre reperele retelei de sprijin, exprimate in milimetri ( tabelul 11.1 );

Lungimile sectiunilor (drumuirilor) de nivelment geometric, exprimate in kilometri ( tabelul 11.1 ) .

Lucrarea va cuprinde

Stabilirea numarului de ecuatii de conditie independente, necesare si suficiente pentru compensarea retelei ;

Scrierea ecuatiilor de conditie initiale ;

Scrierea ecuatiilor de conditie ale corectiilor si calculul neinchiderilor ;

Calculul ponderilor diferentelor de nivel masurate direct ;

Scrierea sistemului ecuatiilor de corectii functie de corelate ;

Scrierea sistemului ecuatiilor normale al corelatelor si calculul coeficientilor;

Rezolvarea ecuatiilor normale folosindu-se schema Cholesky - Banachiewicz;

Calculul corectiilor si verificarea ecuatiilor de conditie ale corectiilor ;

Calculul valorilor cele mai probabile (compensate) ale diferentelor de nivel si efectuarea controlului final al compensarii ;

Calculul cotelor reperelor noi, ale retelei nivelitice de sprijin ;

Calculul erorii unitatii de pondere ;

Calculul erorilor medii patratice ale diferentelor de nivel reale z₁^o, z₂^o si z₃^o, ale diferentelor de nivel compensate Z₁, Z₂ si Z₃ xa si a sumei diferentelor de nivel, S = - z₄ + z₅ ;

Calculul erorilor medii patratice ale cotelor reperelor noi ale retelei C, D, E .

Rezolvarea temei

1. Stabilirea numarului de ecuatii de conditie independente, necesare si suficiente pentru compensarea retelei.

In figura 11.1 se noteaza cu P numarul poligoanelor cu traseu inchis si cu N numarul reperelor de cote cunoscute, apartinand retelei de ordin superior, determinate anterior .

Numarul ecuatiilor de conditie independente, necesare si suficiente pentru compensarea retelei prin metoda masuratorilor conditionate este dat de relatia :

R = P + ( N - 1 ) = 4 ecuatii

si trebuie avut in vedere conditiile interioare si exterioare ale retelei .

2. Scrierea ecuatiilor de conditie initiale.

Pentru scrierea ecuatiilor de conditie din prima categorie, ce decurg din conditiile interioare, se folosesc poligoanele nivelitice cu traseu inchis ACD, ADE si BEDC . In fiecare poligon s-a indicat sensul direct de parcurgere a traseului ( fig. 11.2 ) . Ecuatiile initiale de conditie vor fi : z₁ - z₂ - z₄ = 0

z₂ - z₃ + z₅ = 0

z₄ - z₅ - z₆ + z₇ = 0

A patra ecuatie de conditie, numita ecuatia de constrangere sau de acord pe cote, se va prezenta sub forma :    z₁ + z₆ + z₈ = 0

3. Scrierea ecuatiilor de conditie ale corectiilor si calculul neinchiderilor.

In ecuatiile de conditie initiale, se inlocuiesc diferentele de nivel compensate prin diferente de nivel medii, masurate direct pe teren, la care se vor adauga corectiile :

z_i = z_i^o + v_i, unde i = 1,n = 1,7

rezultand ecuatiile :

(z₁^o + v₁) - (z₂^o + v₂) - (z₄^o + v₄) = 0

(z₂^o + v₂) - (z₃^o + v₃) + (z₅^o + v₅) = 0

(z₄^o + v₄) - (z₅^o + v₅) - (z₆^o + v₆) + (z₇^o + v₇) = 0

- (z₁^o + v₁) + (z₆^o + v₆) + z₈ = 0

Pe baza lor se scrie sistemul ecuatiilor de conditie al corectiilor care in cazul retelei nivelitice au o forma liniara :

v₁ - v₂ - v₄ + w₁ = 0

v₂ - v₃ + v₅ + w₂ = 0

v₄ - v₅ - v₆ + v₇ + w₃ = 0

- v₁ + v₆ + w₄ = 0

Ecuatiile sunt de forma generala finala :

a₁v₁ + a₂v₂ + + a₇v₇ + w₁ = 0

b₁v₁ + b₂v₂ + + b₇v₇ + w₂ = 0

c₁v₁ + c₂v₂ + + c₇v₇ + w₃ = 0

d₁v₁ + d₂v₂ + + d₇v₇ + w₄ = 0

Termenii liberi se calculeaza cu relatiile evidente :

w₁ = z₁^o - z₂^o - z₄^o = mm

w₂ = z₂^o - z₃^o + z₅^o = mm

w₃ = z₄^o - z₅^o - z₆^o - z₇^o = mm

w₄ = - z₁^o + z₆^o + (Z_B - Z_A) = mm

4. Calculul ponderilor diferentelor de nivel masurate direct.

Eroarea medie patratica a diferentei de nivel masurata de sectiunea i avand lungimea D_i (km) va fi :

s_i = + s_o ∙

unde s_o este eroarea medie a diferentei de nivel masurata intr-o singura statie .

Ponderea diferentei de nivel, masurata pe sectiunea i, se calculeaza pe baza patratelor erorilor cu relatia :

p_i =

Rezulta ca ponderea este invers proportionala cu lungimea drumuirii . masuratorile directe pe teren fiind ponderate, inseamna ca si compensarea se va face prin metoda masuratorilor conditionate ponderate.

In situatia prezentata se vor folosi inversele ponderilor, ale caror marimi sunt egale cu lungimile sectiunilor exprimate in kilometri. si se iau direct din datele masuratorilor, tabelul 11.1 coloana 4 .

p_i = D_i (km)

5. Scrierea sistemului ecuatiilor de corectii functie de corelate.

Sistemul liniar al ecuatiilor de conditie ale corectiilor, in care numarul ecuatiilor r = 4, este mai mic decat numarul necunoscutelor v_i, n = 7, nu se poate rezolva . Corectiile v₁, v₂,,v₇ fiind mici, comparabile cu erorile, li se pot aplica principiul de minim . Minimul functiei se obtine prin anularea derivatelor partiale in raport cu corectiile (necunoscutele), rezultand exprimarea explicita a corectiilor functie de corelate, avand forma :

E_i : v_i = (a_ik₁ + b_ik₂ + c_ik₃ + d_ik₄), i = 1,n = 1,7

sau prin introducerea inversei ponderilor :

E_i : v_i = p_i (a_ik₁ + b_ik₂ + c_ik₃ + d_ik₄),    i = 1,n = 1,7

sau dezvoltat :

v₁ = p (a₁k₁ + b₁k₂ + c₁k₃ + d₁k₄)

v₂ = p (a₂k₁ + b₂k₂ + c₂k₃ + d₂k₄)

v₃ = p (a₃k₁ + b₃k₂ + c₃k₃ + d₃k₄)

v₄ = p (a₄k₁ + b₄k₂ + c₄k₃ + d₄k₄)

6. Scrierea sistemului ecuatiilor normale al corelatelor si calculul coeficientilor.

Caracteristica sistemului ecuatiilor normale consta in aceea ca termenii liberi sunt aceeasi cu cei ai ecuatiilor de conditie . Din aceasta cauza, trebuie sa se calculeze numai coeficientii necunoscutelor ( corelatelor ) . Operatia se executa prin inmultirea succesiva a ecuatiilor de corectii cu coeficientii a_i, b_i, c_i si d_i si insumarea produselor pe coloane . Calculul se face tabelar in tabelul 11.2 .

Tab- 11.2

Se calculeaza sumele pe coloane : a₁ + a₂ + + a₇ = [a] = -1

b₁ + b₂ + + b₇ = [b] = 1

c₁ + c₂ + + c₇ = [c] = 0

d₁ + d₂ + + d₇ = [d] = 0

s₁ + s₂ + + s₇ = [s^¢

ca si suma pe orizontala : [a] + [b] + + [g] = S^¢

Controlul inscrierii coeficientilor ecuatiilor de corectii functie de corelate, se face cu relatia sintetica S^¢ = [s^¢

In tabelul 11.3, sunt trecuti numai coeficientii ecuatiilor scrise prescurtat, deoarece coeficienti sunt simetrici fata de diagonala principala, iar la insumare se vor lua si termenii de deasupra coeficientilor patratici .

7. Rezolvarea ecuatiilor normale folosindu-se schema Cholesky - Banachiewicz.

Operatia de rezolvare a ecuatiilor normale facandu-se cu ajutorul schemei Cholesky-Banachiewicz, se calculeaza mai intai termenii de control cu relatiile :

pas^¢] + w₁ = s₁

pbs^¢] + w₂ = s₂

pcs^¢] + w₂ = s₃

pds^¢] + w₄ = s₄

In tabelul 11.4 se prezinta schema Cholesky - Banachiewicz sub forma literara, adaptata pentru numarul de ecuatii normale si coeficientii de pondere ceruti in tabelul 11.5, exemplul numeric .

Verificarea lor se face cu relatiile de forma

A_j+B_j+C_j+D_j+L_j = S_j, j = 1,r = 1,4

iar pentru controlul final L_j+1 = S_j+1, respectiv L₅ = S₅ .

Verificarea rezolvarii ecuatiilor normale, se face cu relatia sintetica :

-[wk] = [LL]₁⁴,

8. Calculul corectiilor si verificarea ecuatiilor de conditie ale corectiilor.

Calculul corectiilor se face intotdeauna prin inlocuirea valorilor numerice ale corelatelor in sistemul ecuatiilor de corectii functie de corelate, exprimat de ecuatia .

E_i : v_i = p_i (aik1 + b_ik₂ + c_ik₃ + d_ik₄) i = 1,n = 1,7

Calculul se conduce in tabelul 11.6 . Controlul de calcul se face pe ultima linie cu relatia

[a]k₁ + [b]k₂ + [c]k₃ + [d]k₇ = [v/p

Un al doilea control se face prin inlocuirea lor in sistemul liniar al ecuatiilor de conditie ale corectiilor :    v₁ - v₂ - v₄ + w₁ = 0

v₂ - v₃ + v₅ + w₂ = 0

v₄ - v₅ - v₆ + v₇ + w₃ = 0

v₁ + v₆ + w₄ = 0

v₄ - v₅ - v₆ + v₇ + w₃ = 0

- v₁ + v₆ + w₄ = 0

Prin inlocuirea valorilor necunoscutelor dx, dy, dz in sistemul initial al ecuatiilor de corectii, se obtin marimile corectiilor :

E_i : -dz - a_idx - b_idy + l_i^cc = v_i^cc

9. Calculul valorilor cele mai probabile ale diferentelor de nivel si efectuarea controlului final.

Marimile cele mai probabile ale diferentelor de nivel, se obtin din insumarea algebrica a valorilor medii, masurate direct pe teren, cu valorile cele mai probabile ale corectiilor :

z_i = z_i^o + v_i, i = 1,n = 1,7 .

Calculul se conduce in tabelul 11.7 .

10. Calculul cotelor reperelor noi, ale retelei nivelitice de sprijin.

Cotele reperelor noi C, D si E ale retelei nivelitice, se calculeaza in functie de cota reperului cunoscut, la care se adauga algebric diferentele de nivel compensate, pe traseul unei drumuiri sprijinite A - B - C - D - E - B, pentru a avea un control al calculelor.

Z_C = Z_A + z₁

Z_D = Z_C + z₄

Z_E = Z_D + z₅

Z_B = Z_E + z₇

Calculul se conduce in tabelul 11.8 . Tab.11.8

11. Calculul erorii unitatii de pondere.

Eroarea medie patratica a unei singure masuratori directe fictive la care ponderea este egala cu unitatea, se calculeaza cu relatia :

m

Calculul sumei produselor dintre ponderi si patratele corectiilor, se face prin urmatoarele doua moduri :

- in functie directa cu inversele ponderilor si corectii :

[pvv] = [vv/p

- cu ajutorul sumei produselor dintre termenii liberi ai ecuatiilor de conditie :

[pvv] = - [wk] =

Eroarea unitatii de pondere va fi :

m = + 1,999 mm

12. Calculul erorii medii patratice ale diferentelor de nivel.

Evaluarea preciziei marimilor individuale compensate, determinate prin masuratori conditionate, se face prin particularizarea functiei generale de marimile compensate . Astfel, functia generala de marimile compensate are forma

F = f₀ + f₁z₁ + f₂z₂ + + f₇z₇,

unde coeficientii constanti sunt : f₁ = 1 ; f₀=f₂=f₃= =f₇= 0 .

Pe baza lor si ai coeficientilor ecuatiilor de corectii, se calculeaza termenii liberi ai ecuatiilor de tranzitie, iar calculul se conduce in tabelul 11.9 .

Tab 11.9

Calculul erorilor medii patratice post-compensare ale diferentelor de nivel reale se face cu relatia : (m_i m

Erorile medii patratice ale diferentelor de nivel reale sunt : (m ) = +4,10 mm, (m ) = +4,35 mm si (m ) = +4,58 mm

Calculul coeficientului de pondere al sumei, se obtine cu relatia :

Q_S = [pf^¢¢¢f^¢¢¢] - [F^¢¢¢F^¢¢¢

Eroarea medie patratica a sumei algebrice a diferentelor de nivel compensate, se calculeaza cu formula: m_S m= + 5,67 mm

13. Calculul erorii medii patratice ale cotelor reperelor noi ale retelei C, D si E.

Cotele reperelor noi fiind exprimate explicit de cota reperului cunoscut A si    de diferentele de nivel compensate :

Z_C = Z_A + z₁ ; Z_D = Z_A + z₂ ; Z_B = Z_A + z₃

erorile medii patratice ale cotelor, se vor calcula cu ajutorul erorii cotei reperului cunoscut si al erorii medii patratice ale diferentelor de nivel compensate :

m_Zc = +4,7 mm;

m_Zd = +4,9 mm;

m_Ze = +5,1 mm;

In tabelul 11.10 se prezinta valorile compensate ale diferentelor de nivel si ale cotelor, precum si erorile medii patratice ale marimilor relative si ale marimilor compensate ale diferentelor de nivel, ca si a cotelor reperelor .