TRIUNGHIUL SFERIC DE POZITIE

TRIUNGHIUL SFERIC DE POZITIE.

1. ELEMENTELE TRIUNGHIULUI SFERIC DE POZITIE.

Triunghiul sferic de pozitie are o importanta deosebita in navigatia astronomica pentru calculul coordonatelor orizontale ale unui astru cunoscand pozitia observatorului pe globul terestru si coordonatele ecuatoriale ale astrului.

Rezolvarea triunghiului sferic de pozitie este necesara pentru determinarea coordonatelor punctului navei folosind observatiile efectuate la astrii.

Triunghiul sferic de pozitie ia nastere prin intersectarea a trei cercuri mari :

- meridianul ceresc al observ.;

- cercul vertical al astrului;

- cercul orar al astrului.

Elementele triunghiului sferic sunt :

- varfurile triunghiului;

- laturile triunghiului;

- unghiurile triunghiului.

Varfurile triunghiului sferic de pozitie sunt :

- zenitul Z;

- polul ceresc ridicat P_N (P_S);

- astrul A.

Laturile triunghiului sferic de pozitie sunt arcuri de cerc mare rezultate prin combinarea coordonatelor orizontale si ecuatoriale la intersectia celor trei cercuri mari :

- colatitudinea ℓ = 90 j

- distanta zenitala z = 90 - h ;

- distanta polara p = 90 d

Unghiurile triunghiului sferic de pozitie sunt :

- unghiul la zenit Z ;

- unghiul la pol P ;

- unghiul la astru A (unghiul paralactic).

Unghiul paralactic A este format intre planul cercului vertical si planul cercului orar al astrului. Determinarea lui nu este necesara, nefiind important pentru navigatia astronomica.

1.1. REZOLVAREA TRIUNGHIULUI SFERIC DE POZITIE

Nu este necesara reprezentarea intregii sfere ceresti, ci numai a triunghiului sferic de pozitie.

Rezolvarea triunghiului sferic de pozitie presupune doua cazuri, si anume :

- se dau coordonatele orizontale ale unui astru - sa se determine coordonatele

ecuatoriale si invers;

- se dau coordonatele unui astru obtinute prin observatii - sa se determine o

coordonata geografica a observatorului, cealalta fiind cunoscuta.

In rezolvarea triunghiului sferic de pozitie trebuie sa se respecte urmatoarele reguli: - se respecta tipurile de calcul;

- se va scrie citet si clar, unitati sub unitati, zeci sub zeci etc.;

- unde lipsesc unitati se inlocuiesc cu 0 (ex.: 3^h 24^s = 3^h 00^m 24^s );

- calculele sa se execute rapid si cu precizia ceruta;

- pentru a arata gradul de precizie, cand lipsesc unitati, se inlocuiesc cu 0 (ex.: 34

- dupa efectuarea fiecarui calcul se face controlul;

- pentru cautarea in table se va folosi o rigla.

2. CALCULUL INALTIMII (h) FUNCTIE DE LATITUDINE (j), DECLINATIE (d) SI UNGHI LA POL (P).

Reguli pentru stabilirea semnelor :

Latitudinea j - pozitiva in emisfera nordica si negativa in cea sudica. Valoarea sa nu depaseste 90 si atunci functiile trigonometrice au semnul cadranului I daca j este nordica (toate functiile pozitive) si IV daca j este sudica (toate functiile negative mai putin "cos" si "sec").

Declinatia astrului d - pozitiva in emisfera nordica si negativa in cea sudica. Valoarea sa nu depaseste 90 si atunci functiile trigonometrice au semnul cadranului I daca d este nordica (toate functiile pozitive) si IV daca d este sudica (toate functiile negative mai putin "cos" si "sec").

Inaltimea astrului h - pozitiva in emisfera vizibila si negativa in cea invizibila. Valoarea sa nu depaseste 90 si atunci functiile trigonometrice au semnul cadranului I daca h este pozitiva (toate functiile pozitive) si IV daca h este sudica (toate functiile negative mai putin "cos" si "sec").

Unghiul la zenit Z - daca Z < 90 atunci functiile trigonometrice au semnul cadranului I (toate functiile pozitive) iar daca Z > 90 atunci functiile trigonometrice au semnul cadranului II (toate functiile negative mai putin "sin" si "cosec").

Unghiul la pol P - daca P < 90 atunci functiile trigonometrice au semnul cadranului I (toate functiile pozitive) iar daca P > 90 atunci functiile trigonometrice au semnul cadranului II (toate functiile negative mai putin "sin" si "cosec").

Daca din calcul rezulta :

- declinatia - pozitiva : are acelasi semn cu latitudinea;

- negativa : are semn contrar latitudinii;

- inaltimea astrului - pozitiva : astrul in emisfera vizibila;

- negativa : astrul in emisfera invizibila;

- unghiul la zenit - pozitiv : Z < 90

- negativ : Z > 90 , se obtine 180 - Z ;

- unghiul la pol - pozitiv : P < 90

- negativ : P > 90 , se obtine 180 - P .

2.1. CALCULUL h FUNCTIE DE j d SI P CU FORMULA "sin h" .

Se cunosc coordonatele ecuatoriale P si d (din efemerida) si latitudinea estimata a observatorului j . Se poate calcula inaltimea astrului aplicand in triunghiul sferic de pozitie formula cosinusului unei laturi :

"cosinusul unei laturi este egal cu produsul cosinusurilor celorlalte doua laturi plus produsul sinusurilor celorlalte doua laturi prin cosinusul unghiului dintre ele".

cos(90 -h) = cos(90 j) cos(90 d) + sin(90 j) sin(90 d) cos(P)

sin h = sin j sin d + cos j cos d cos P

Formula se rezolva logaritmic pe parti astfel :

a = sin j sin d b = cos j cos d cos P sin h = a + b

a > 0 daca j si d de acelasi semn; b > 0 daca P < 90

a < 0 daca j si d de semne contrare; b < 0 daca P > 90

Tipul de calcul este :

Calculul h _

j lg sin j = .. lg cos j

d + lg sin d = .. + lg cos d

P = . + lg cos P =.. _

lg a = .. lg b = ..

a = ..

+ b = ..

sin h = ..

h = ..

Aplicatie :

Z_e ( j 08'.₀ N ; l 22'.₀ E ) , P_W = 14 d = S 26

Calculul h _

j 08'.₀ N lg sin j lg cos j

d = S 26 + lg sin d + lg cos d

P_W = 14 + lg cos P = 9,98646

lg a = 9,48970 lg b = 9,79486

a = - 0,30881

+ b = +0,62353

sin h = +0,31472

h = 18

2.2. CALCULUL h FUNCTIE DE j d SI P CU FORMULA "sin² z/2" .

Se foloseste pentru marirea preciziei cand inaltimile astrilor sunt mai mari de 30

cos(90 -h) = cos(90 j) cos(90 d) + sin(90 j) sin(90 d) cos(P)

-h = z cos z = sin j sin d + cos j cos d cos P

cos(a) = 1-2sin²(a 1 - 2 sin² z/2 = sin j sin d + cos j cos d ( 1 - 2 sin² P/2)

1 - 2 sin² z/2 = sin j sin d + cos j cos d - 2 cos j cos d sin² P/2

sin j sin d + cos j cos d = cos( j d ) si

cos(a) = 1-2sin²(a 1 - 2 sin² z/2 = 1 - 2 sin² (( j d ) / 2) - 2 cosj cosd sin² P/2

sin² z/2 = sin²(( j d ) / 2) + cos j cos d sin²(P/2)

Daca j si d sunt de acelasi semn se scade cel mai mic din cel mai mare, iar daca sunt de semne contrare se aduna netinand cont de semne.

Formula se rezolva logaritmic pe parti, valorile sin² (( j d ) / 2) si sin² P/2 fiind scoase din coloana sin² a/2 , in care se intra cu unghiurile (j d) si P :

m = sin² ( ( j d n = cos j cos d sin² ( P / 2 ) sin² ( z / 2 ) = m + n

Tipul de calcul este :

Calculul h _

P = .. lg sin² (P/2) = ....

j = .. + lg cos j = ....

d = .. + lg cos d = ....

j d = .. lg n = ....

lg sin² ( ( j d ) / 2 ) = .. n = ....

lg m = .. + m = ....

sin² ( z / 2 ) = ....

(-) z = ....

90 = 89

h = ....

Aplicatie :

Z_e ( j 10'.₀ N ; l 32'.₀ W ) , P_W = 53 d = N 8

Calculul h _

P_W = 53 lg sin² (P/2) = 9,30047

j = 43 10'.₀ N + lg cos j = 9,86295

d = N 8 + lg cos d = 9,99490

j d lg n = 9,15832

lg sin² ( ( j d ) / 2 ) = 8,94165 n = 0,14399

lg m = 8,94165 + m = 0,08743

sin² ( z / 2 ) = 0,23142

(-) z = 57

90 = 89

h = 32

CALCULUL AZIMUTULUI (Az) FUNCTIE DE INALTIME (h), DECLINATIE (d) SI UNGHI LA POL (P) CU FORMULA "sin Z" .

a) Deducerea formulei.

In triunghiul sferic de pozitie se aplica teorema sinusurilor :

"raportul dintre sinusurile unghiurilor si sinusurile laturilor opuse sunt egale".

Þ Þ

Þ sin Z = sec h cos d sin P

Formula se rezolva logaritmic.

Inaltimea h se calculeaza cu una din formulele studiate anterior : "sin h" sau "sin² z/2" . Unghiul la pol P si declinatia d se calculeaza din efemerida. Din calcul, unghiul la zenit este unghi la zenit cuadrantal Z_C .

b) Algoritm de calcul.

Tipul de calcul este : Aplicatie :

j = .. Calculul Az _ j 08'.₀ N Calculul Az _

h = .. lg sec h = ... h = 18 lg sec h_e = 0,02264

d = .. + lg cos d d = S 26 + lg cos d

P = .. + lg sin P = .. P_W = 14 + lg sin P = 9,39071

lg sin Z = .. lg sin Z = 9,36579

Z = .. Z = SW 13

Az = .. Az = 193

Stabilirea cadranului de orizont se face functie de pozitia astrului fata de primul vertical si de emisfera in care se afla astrul.

Pentru determinarea originii de contare, N sau S, a unghiului la zenit cuadrantal obtinut, se procedeaza astfel :

- daca d > j si de acelasi semn (nume), Z_C se conteaza de la verticalul polului

ridicat;

- daca d < j si de acelasi semn (nume), Z_C se conteaza astfel :

- daca h < h_I sau P > P_I , de la verticalul polului ridicat;

- daca h > h_I sau P < P_I , de la verticalul polului coborat;

- daca d si j de semne (nume) contrare, Z_C se conteaza de la verticalul polului

coborat.

De regula, calculul azimutului se executa pe tipul de calcul comun al inaltimii si azimutului :

Calculul h si Az _

j = .. lg sin j = .. lg cos j lg sec h_e = ..

d = .. + lg sin d = .. + lg cos d + lg cos d

P = .. + lg cos P = .. + lg sin P = ..

lg a = .. lg b = .. lg sin Z_C = ..

a = .. Z_C = ..

+ b = .. Az = ..

sin h = ..

h = ..

4. CALCULUL AZIMUTULUI (Az) FUNCTIE DE LATITUDINE (j), DECLINATIE (d) SI UNGHI LA POL (P) CU FORMULA "ctg Z".

a) Deducerea formulei.

In triunghiul sferic de pozitie se aplica formula celor patru elemente consecutive:

"cotangenta unghiului de margine inmultita cu sinusul unghiului de mijloc este egala cu produsul cotangentei laturii de margine prin sinusul laturii de mijloc, minus produsul cosinusurilor elementelor de mijloc".

Elementele consecutive se considera :

- unghiul la zenit Z ;

- colatitudinea ℓ = 90 j

- unghiul la pol P ;

- distanta polara p = 90 d

Atunci formula este :

ctg Z sin P = ctg p sin ℓ - cos ℓ cos P

ctg Z sin P = ctg (90 d) sin (90 j) - cos (90 j) cos P

Sau :

ctg Z sin P = tg d cos j - sin j cos P

Prin impartirea relatiei cu sin P se obtine :

ctg Z = tg d cos j cosec P - sin j ctg P

Formula se rezolva logaritmic, pe parti astfel :

m = tg d cos j cosec P n = - sin j ctg P ctg Z = m + n

m > 0 daca j si d de acelasi nume (semn); n > 0 daca P > 90

m < 0 daca j si d de nume (semne) diferite; n < 0 daca P < 90

Daca ctg Z > 0 , atunci Z_C = valoarea scoasa din T67a-DH90, iar daca ctg Z < 0 , atunci Z_C = 180 - valoarea scoasa din T67a-DH90.

Unghiul la zenit Z obtinut este unghi la zenit semicircular fiind contat de la verticalul polului ridicat, spre E sau W conform unghiului la pol P.

b) Algoritmul de calcul.

Tipul de calcul este :

Calculul Az

d = .. lg tg d = ..

j = .. + lg cos j = .. lg sin j = ..

P = .. + lg cosec P = .. + lg ctg P = ..

lg m = .. lg n = ..

m = ..

+ n = ..

ctg Z = ..

Z_S = ..

Az = ..

Aplicatie :

j 30'.₂ N , d = S 8 15'.₀ , P_W = 44

Calculul Az _

d = S 8 15'.₀ lg tg d

j 30'.₂ N + lg cos j = 9,85322 lg sin j = 9,84569

P_W = 44 47'.₄ + lg cosec P = 0,15211 + lg ctg P = 0,00318

lg m = 9,16668 lg n = 9,84887

m = -0,14678

+ n = -0,70610

ctg Z = -0,85288

Z = 49

Z_S = N 130 .₅ W

Az = 229

5. TABLA "A.B.C.", MOD DE INTOCMIRE SI UTILIZARE.

a) Mod de intocmire.

La baza intocmirii tablei sta formula :

ctg Z = tg d cos j cosec P - sin j ctg P

Aceasta este incomoda pentru calculul logaritmic si de aceea s-a transformat prin impartirea la cos j si inmultirea cu 10 , astfel :

Sau :

10 ctg Z sec j = 10 tg d cosec P - 10 ctg P tg j

Se noteaza :

A = 10 tg d cosec P

B = -10 ctg P tg j C = A + B

C = 10 ctg Z sec j

Pentru fiecare termen al formulei s-a intocmit cate o tabla, astfel :

Tabla A argument orizontal P A este + daca j si d de acelasi semn

argument vertical d A este - daca j si d de semne contrare

Tabla B argument orizontal P B este + daca P > 90

argument vertical j B este - daca P < 90

Tabla C argument orizontal A+B Z_C contat de la polul ridicat daca A+B>0

argument vertical j Z_C contat de la polul coborat daca A+B<0

spre E cand P_E sau W cand P_W .

b) Utilizare.

Tipul de calcul este : Aplicatie:

Calculul Az Calculul Az

d = .. A = .. d = N 44 25'.₅ A = +10.₆

j = .. + B = .. j 30'.₀ N + B = - 4.₀

P = ..    C = .. P_E = 67 40'.₅ C = + 6.₆

Z_C = .. Z_C = NE 64

Az = .. Az = 64