Distributia liniara de sarcina electrica - Teorema lui Gauss

Distributia liniara de sarcina electrica - Teorema lui Gauss

Consideram o linie a carei densitate liniara de sarcina, uniform distribuita, este (C/m).

Se cere sa se determine, folosind o metoda analitica, intensitatea campului electric creat intr-un punct P, aflat pe mediatoarea dusa pe linie, la distanta z de aceasta, considerand ca:

a) linia filara este infinita;

b) linia incarcata electrostatic uniform este o tija de lungime finita .

c) Rezolvati aceeasi problema folosind teorema (legea) lui Gauss pentru fluxul electric.

Se considera cunoscute: k =.

Rezolvare

a) Consideram (vezi Figura 1) linia de sarcina pozitiva, plasata pe directia axei Oy, cu centrul in O. Un element infinitezimal dy din linie aflat la distanta y, contine un element de sarcina dQ = si va produce in punctul P un camp electric de intensitate:

(1)

Dupa cum se poate vedea din figura, vectorul are componentele:

(2)

Fiecarui element dy din linie din partea dreapta ii va corespunde un altul, simetric, in partea stanga care va genera o componenta a campului , egala si de semn contrar.In aceste conditii, componenta totala a campului pe directia Oy va fi nula.

z

q

q

P

z

y

O y

dy

Figura 1

Fiecare element simetric va produce insa pe directia Oz o componenta identica in acelasi sens. In aceste conditii, tinand cont si de relatiile (2) se poate scrie:

(3)

Din figura se poate constata ca variabilele y si q nu sunt independente intre ele. Scriind ecuatia de legatura dintre aceste marimi si diferentiind, se obtine:

(4)

Inlocuind variabila y, variatia sa dy din ultimele doua egalitati in (3), si, efectuandu-se schimbarea de variabila, se obtine:

(5)

b)In cazul in care linia are o lungime finita, singura diferenta care apare in rezolvarea problemei anterioare este ca se vor modifica limitele integralei de mai sus dupa cum urmeaza:

(6)

unde q_M este valoare maxima atinsa de unghiul q, atunci cand vectorul de pozitie se situeaza la extremitatea din dreapta a firului incarcat electric. Aceasta valoare se determina din relatia:

(7)

Inlocuind (7) in (6), se obtine:

(8)

Observatie

Se poate pune intrebarea: ce sens are rezolvarea unei probleme despre o distributie liniara infinita de sarcina electrica, din moment ce orice distributie nu poate fi, practic, decat finita? Mai ales ca, dupa cum se poate observa si din rezultatele obtinute, pentru punctele suficient de apropiate de distributia liniara finita si suficient de indepartate de extremitatile lor, ecuatiile deduse dau valori atat de apropiate de cele adecvate situatiilor reale, incat diferenta poate fi neglijata in multe dintre situatiile intalnite in practica.

In mod obisnuit, nu este necesar sa se rezolve exact fiecare tip de distributie particulara intalnita.

Problema majora consta in aceea ca, daca nu s-ar face idealizari si aproximatii, cea mai mare parte a problemelor importante din fizica si tehnica nu ar putea fi deloc rezolvate.

c)In Figura 2 este reprezentata o portiune dintr-o distributie liniara infinita de sarcina.Din considerentele pe care le-am analizat la punctele anterioare, este evident ca distributia campului electric produs de o sarcina liniara, uniform distribuita, nu poate fi decat radiala. Ca suprafata Gauss, alegem, de aceea, un cilindru drept, de raza z si lungime finita , care sa inconjure simetric firul incarcat.

Campul electric, , dupa cum se poate observa si din figura, este constant pe intreaga suprafata laterala a cilindrului reprezentat si este nul pe suprafetele de sectiune transversala a cilindrului.

In aceste conditii, fluxul electric prin suprafata laterala a cilindrului va fi:

(9)

z

P

z

y

Aplicand legea (teorema) lui Gauss pentru sarcinile cuprinse in interiorul unei suprafete gaussiene inchise, se deduce:

(10)

Se poate observa simplitatea rezolvarii problemelor de acest tip folosindu-se teorema lui Gauss, in comparatie cu metodele analitice de integrare, folosite la punctele anterioare.

Este de remarcat insa ca, rezolvarea problemelor de electrostatica, prin folosirea teoremei Gauss, este posibila numai daca suprafata Gauss este astfel aleasa incat sa poata fi folosite simetriile radiale dictate de distributia campului electric. Drept suprafete gaussiene pot fi alese, dupa cum s-a vazut, suprafetele cubice, sferice, cilindrice.

Din exemplele oferite, se poate concluziuna insa ca, numai posibilitatea alegerii suprafetelor cilindrice, ofera, prin aceasta metoda, solutii facile.

Teorema lui Gauss devine astfel o tehnica de calcul extrem de folositoare pentru situatiile in care se ofera o simetrie adecvata.