ELEMENTE DE TEORIA RELATIVITATII RESTRANSE

ELEMENTE DE TEORIA RELATIVITATII RESTRANSE

1 Limitele fizicii clasice

La sfarsitul secolului trecut si inceputul secolului a XX-lea s-a produs o dezvoltare rapida a unor ramuri ale fizicii clasice cum ar fi termodinamica, electrodinamica, fizica atomica etc. Adeptii mecanicismului au cautat sa reduca orice lege a naturii la legile mecanicii, dar acest lucru a dus la aparitia unor importante contradictii. In cele ce urmeaza vom incerca pe scurt sa prezentam o mica parte dintre ele, cu scopul de a arata ca fizica clasica are limitele sale.

a)      Transmiterea interactiunilor      In mecanica clasica ca o consecinta a universalitatii timpului (timpul se scurge la fel in orice sistem de referinta) transmiterea interactiunii se face instantaneu . In electrodinamica clasica s-a demonstrat ca transmiterea interactiunilor se face prin contiguitate cu viteza finita de propagare a campului electromagnetic.

b)      Propagarea undelor prin medii elastice

Existenta unei unde mecanice presupune o sursa de perturbatii si un mediu elastic. Unda mecanica se defineste ca fiind propagarea unei perturbatii intr-un mediu elastic.

Unda electromagnetica , spre deosebire de cea elastica se propaga in medii elastice si in vid.Pentru a pune in concordanta cu mecanica clasica , pentru propagarea undelor electromagnetice se considera ca suport elastic eterul substanta care umple tot universul ( se gaseste in tot spatiul cosmic precum si in interiorul corpurilor.

Acest eter era considerat de Hertz ca fiind in repaus absolut si el ar fi putut constitui sistemul de referinta absolut.

Experienta lui Fizeau prin rezultatele sale pune in evidenta ca eterul este partial antrenat ( ipoteza lui Fizeau),iar coeficientul de antrenare este:

unde n este indicele de refractie al mediului in care se afla eterul.

Experienta lui Michelson- Morley cunoscuta si sub numele de "experienta negativa" ne duce la concluzia generala ca eterul nu exista si inlatura ipoteza miscarii absolute.

c) Legea de compunere a vitezelor.

Legea de compunere a vitezei in mecanica clasica este o consecinta a grupului de transformari Galilei si se scrie sub forma:

V=V¹+ U

Iar aplicata vitezei luminii ecuatia devine:

C'=C+ U

In electrodinamica clasica viteza luminii este independenta de miscarea sursei si este aceeasi in orice sistem de referinta.

d) Forta Lorentz

Forta Lorentz care este o forta caracteristica electrodinamicii clasice nu poate fi incadrata in randul fortelor din mecanica clasica, derivata dintr-un potential.De asemenea este dependenta de viteza conform relatiei :

e) Masa corpurilor

In mecanica clasica masa corpurilor este o marime constanta , independenta de viteza corpului ,de timp sau de alte marimi cinematice.

Experientele lui Bertozzi de accelerare a electronilor in campuri magnetice puternice ,arata ca viteza electronilor accelerati nu poate depasi viteza luminii si ca masa lor este functie de viteza m=m(v)

2 Principiile relativitatii restranse

Plecand de la contradictiile constatate pana in acel moment , Einstein a introdus in fizica ideea propagarii din aproape in aproape a interactiunilor, cu viteza finita, postuland existenta unei viteze limitata in univers, egala cu viteza de propagare a luminii in vid.

Principiul relativitatii clasice a fost inlocuit cu urmatoarele doua principii:

a)      Principiul relativitatii restranse

In aceleasi conditii, toate fenomenele fizice au loc la fel in toate sistemele de referinta inertiale.

b)      Principiul vitezei maxime de transmitere a interactiunilor

Viteza maxima de transmitere a interactiunilor este egala cu viteza luminii in vid si este invarianta in raport cu orice sistem de referinta inertial si cu orice directie de masurare.

Observatii:

In cadrul teoriei relativitatii restranse trebuie sa ramana valabil principiul ce corespondenta, conform caruia legile unui fenomen exprimate in cadrul unei teorii generale ,trebuie sa coincida cu legile aceluiasi fenomen exprimate in cadrul unei teorii cu grad mai restrans de generalitate.

Conform acestui principiu rezultatele teoriei relativitatii restranse trebuie sa cuprinda rezultatele fizicii clasice drept cazuri particulare limita pentru (v<<c ) viteze mult mai mici decat viteza luminii.

3 Relatiile de transformare Lorentz - Einstein

Deoarece al doilea principiu al teoriei relativitatii restranse este in dezacord cu regula de compunere a vitezelor din relativitatea clasica se impune gasirea unor noi relatii de transformare care sa permita trecerea de la un sistem de referinta inertial la altul, in conformitate cu principiile teoriei relativitatii restranse .

Pentru deducerea acestor relatii de transformare, vom considera doua sisteme de referinta inertiale, care au axele paralele, unul fix S( oxyzt) si unul mobil S(o'x'y'z't'), care se deplaseaza cu viteza v fata de sistemul fix in directia pozitiva a axei ox . In acest caz coordonatele spatiale au aceeasi valoare de-a lungul axelor oy si oz adica

y=y'

z=z'

Presupunem ca la momentul initial originea axelor celor doua sisteme coincide, lucru care duce la faptul ca relatiile de transformare in teoria relativitatii restranse difera fata de relatiile de transformare din mecanica clasica printr-o constanta α si se poate scrie:

x'=α (x-vt)

x=α (x'+vt')

Pentru determinarea valorii constantei α consideram ca la momentul t=t'=0 . sistemele au origine comuna O≡O' si din acel punct se lanseaza un semnal luminos. Conform principiului invariantei vitezei luminii , viteza luminii in ambele sisteme este aceeasi ,iar distantele x si x' strabatute de semnal in cele doua sisteme de referinta sunt:

x=ct

x'=ct'

inlocuind in expresiile anterioare rezulta:

ct'=α(c-v)t

ct=α(c+v)t'

din aceste ultime relatii se calculeaza expresia lui α:

α=

Inlocuind in expresiile lui x si x', obtinem relatiile:

Eliminam variabila x din aceste ultime doua relatii si rezulta relatia pentru timp

Analog, eliminand variabila x' din relatiile anterioare rezulta relatia care exprima pe t' dupa cum urmeaza:

Am obtinut in final relatiile de transformare Lorentz -Einstein care se scriu sub forma:

Observatie:

Relatiile obtinute satisfac principiul de corespondenta, in cazul vitezelor mici fata de viteza luminii in vid (v<< c) grupul de transformari Lorentz- Einstein se transforma in relatiile lui Galilei din mecanica clasica.

4 Consecinte ale transformarilor Lorentz- Einstein

4.1 Contractia lungimilor

Consideram doua sisteme de referinta inertiele ,sistemul S fix si sistemul S' mobil care se deplaseaza de-a lungul axei ox cu viteza v fata de sistemul fix. Fie o bara legata solidar cu sistemul de referinta mobil S' asezata in lungul axei o'x'. Lungimea barei l_o numita si lungime proprie ,este masurata in sistemul de referinta propriu S' si are valoarea:

l_o=x'₂ - x'₁

unde x'₂ si x'₁ sunt coordonatele capetelor barei in sistemul mobil S' masurate la momentele de timp t'₂=t'₁

In sistemul fix S capetele barei au coordonatele x₂ si x₁ si sunt masurate in acelasi moment de timp t₂=t₁. Lungimea barei numita si lungime cinematica ,este:

l=x₂ - x₁

Utilizand transformarile Lorentz- Einstein vom avea:

Calculam lungimea proprie:

Aceasta relatie arata ca l < l_o, adica lungimea cinematica este mai mica decat lungimea proprie . Sau, lungimea barei are valoarea cea mai mare in sistemul propriu. Sau, lungimea barei masurata de un observator aflat in miscare fata de bara este mai mica decat lungimea aceleiasi bare masurata de un observator aflat in repaus fata de bara.

Fenomenul este cunoscut sub numele de contractia lungimilor.

Observatii:

Contractia lungimilor trebuie considerata ca un fapt real si obiectiv, ne fiind legata de vreo iluzie a observatorului.

Contractia lungimii apare numai de-a lungul directiei de miscare , dimensiunile transversale ale unui corp mobil raman neschimbate ( y =y',z=z')

Daca notam cu dV_o=dx_ody_odz_o elementul de volum in sistemul propriu S', atunci elementul de volum in sistemul de referinta S este: dV= dx dy dz

Deoarece contractia lungimilor are loc numai de-a lungul directiei Ox, rezulta:

Rezultatul negativ al experimentului lui Michelson poate fi explicat prin faptul ca bratul interferometrului plasat pe directia de miscare a Pamantului sufera o contractie.

4.2 Dilatarea timpului

O alta consecinta a transformarilor Lorentz-Eistein este aceea ca timpul ca si spatiul este o marime relativa.

Consideram doua evenimente care au loc in acelasi loc in sistemul de referinta mobil S' (x'₁=x'₂), dar la momente diferite. Intervalul de timp ce separa cele doua evenimente este:

si reprezinta durata proprie .

Aceleasi evenimente, pentru un observator solidar cu sistemul fix S, se produc la momentele t₁ si t₂ in acelasi loc x₁=x₂. Intervalul de producere al lor este:

si reprezinta timpul (durata) cinematic.

Tinand seama de relatiile de transformare Lorentz-Einstein scriem relatiile:

rezulta: τ > τ_o

Durata unui fenomen masurata de on observator aflat in sistemul fix S este mai mare decat durata aceluiasi fenomen masurata in sistemul S'. Pentru un observator aflat in sistemul S ,timpul se scurge mai incet decat in sistemul propriu S'. acest fenomen este cunoscut sub numele de dilatarea timpului .

Observatii:

O verificare experimentala a acestui fenomen s-a realizat cu ajutorul dezintegrarii mezonilor μ: Pentru un observator legat solidar de particula, timpul de viata mediu al mezonului are aproximativ valoarea Δt'=2 10^-6 s. S-a constatat ca aceste particule se formeaza in atmosfera , la o inaltime de aproximativ 10 km fata de Pamant. Daca durata medie de viata a mezonilor μ ar avea aceeasi valoare si pentru observatorul de pe Pamant catre care mezonii se deplaseaza cu viteza de v=2,910⁸m/s. atunci distanta parcursa de ei ar fi de 0,6 km insuficienta pentru a ajunge la suprafata Pamantului. Experimental s-a ajuns la concluzia ca mezonii μ ajung pe Pamant. Acest lucru se explica pe baza consecintei conform careia timpul de viata mediu al mezonilor pentru observatorul de pe Pamant se dilata si are valoarea 31,710^-6s. In acest timp mezonii parcurg distanta de 9,5 km , ceea ce justifica posibilitatea ajungerii lor pe Pamant.

Dilatarea timpului din teoria relativitatii restranse este o consecinta directa a sincronizarii sistemelor inertiale. Nu este vorba de o dilatare spontana pe care ar produce-o natura, ci de o dilatare produsa de observatori, prin sincronizarea ceasornicelor.

Pentru v<<c timpul se scurge la fel in orice sistem de referinta, in conformitate cu principiile mecanicii clasice.

Daca ( x₁y₁z₁t₁) si (x₂y₂z₂t₂) sunt coordonatele a doua evenimente in spatiul cvadridimensional, marimea:

se numeste interval spatio- temporal Aceasta marime este invarianta la schimbarea sistemului de referinta.

In cadrul teoriei relativitatii restranse durata dt si distanta dx nu mai au un caracter absolut , in schimb intervalul spatio- temporal este un invariant, marimea sa fiind aceeasi in toate sistemele de referinta inertiale.

Definim un element de volum in spatiul Minkovschi, determinat in raport cu referentialul propriu S'

dΩ=dx₀dy_odz_oicdτ_o

unde ict este coordonata temporala. In raport cu referentialul S elementul de volum cvadridimensional este:

dΩ= dxdydzicdτ

Datorita contractiei lungimilor de-a lungul axei ox si dilatarii timpului rezulta ca volumul cvadridimensional este invariant relativist.

dΩ₀=dΩ

4.3 Relativitatea simultaneitatii

O noua consecinta a relatiilor de transformare Lorentz -Einstein este legata de caracterul de relativitate al simultaneitatii .

Presupunem ca avem doua evenimente simultane t₁=t₂ in doua puncte diferite x₁ si x₂ ale unui sistem de referinta inertial S aflat in repaus. Se pune problema daca aceste evenimente vor fi simultane pentru un observator situat in sistemul de referinta S' care se afla in miscare rectilinie uniforma fata de sistemul S.

Folosind relatiile de transformare calculam momentele la care se produc cele doua evenimente in sistemul mobil S' :

intervalul de timp dintre cele doua evenimente masurat in sistemul S' este:

Evenimentele nu mai sunt simultane in sistemul de referinta inertial mobil. Doua evenimente simultane dar distantate in spatiu ce se produc in sisteme de referinta inertiale nu mai sunt simultane in raport cu orice alt sistem inertial aflat in miscare.

Observatie:

Conditia de simultaneitate a doua evenimente atat in sistemul inertial fix cat si in sistemul inertial mobil S' este satisfacuta daca pe langa coincidenta temporala t₂=t₁ este indeplinita si coincidenta spatiala x₂=x₁ a celor doua evenimente . In acest ca se spune ca evenimentele se gasesc in coincidenta absoluta.

4.4 Legea de compunere a vitezelor

Intr-un sistem de referinta S' care se misca rectiliniu si uniform cu viteza v ,fata de un sistem de referinta S fix, de-a lungul axei Ox ,o particula are viteza u' fata de sistemul propriu S' .Componentele vitezei u' dupa axele de coordonate vor fi :

viteza particulei fata de sistemul S este u avand componentele:

Pentru a stabili o relatie de legatura intre componentele vitezelor in cele doua sisteme de referinta S si S' diferentiem sistemul de relatii Lorentz-Einstein.

rezulta:

Observatii:

Se constata ca este indeplinit principiul de corespondenta, adica pentru viteze mult mai mici decat viteza luminii, se obtine legea clasica de compunere a vitezelor.

Legea de compunere a vitezelor verifica principiul al doilea al relativitatii daca u'_x=c

5 Elemente de dinamica relativista

5. 1. Universul cvadridimensional al lui Minkovski

Consideratiile lui Minkovski asupra teoriei lui Einstein , prin care se pun bazele universului cvadridimensional au fost expuse in conferintele acestui "Principiul relativitatii "1907 si " Spatiul si timpul " 1909 constituind momentele de desavarsire a conceptiei unitare asupra continuumului spatiu- timp din fizica relativista.

Prin analogie cu spatiul euclidian tridimensional, in care distanta dintre doua evenimente este invarianta la o transformare de coordonate,definim un spatiu 4-D (cuadridimensional) cu trei coordonate spatiale reale, x, y, z, si o coordonata temporala imaginara ict, numit spatiul Minkovski, ca o varietate 4-D pentru descrierea fenomenelor fizice, in care intervalul dintre doua evenimente ramane invariant la o transformare de coordonate.

In acest fel , ansamblul unitar de patru coordonate (x,y,z .ict) se preteaza mai bine la descrierea fenomenelor fizice, punand in evidenta corelatia dintre proprietatile spatio-temporale ale evenimentelor, ca urmare a invariantei schimbarea referentialului, a intervalului s², care le coreleaza explicit.

Spatiul Minkovski este un spatiu pseudoeuclidian, deosebinduse de spatiul euclidian cu trei sau patru dimensiuni, prin modul in care este definita distanta

Evolutia unui punct material in spatiul Minkovski este descrisa de o curba numita linie de univers., care poate fi definita cu ajutorul a patru coordonate, spre deosebire de miscarea punctului in mecanica clasica unde se utilizeaza cele trei coordonate spatiale functie de timp, ca variabila independenta. Se observa ca apare o diferenta calitativa in descrierea miscarii in cele doua cazuri , intrucat in cazul relativist timpul nu mai este o variabila independenta, invarianta la schimbarea reperului, ci este o coordonata echivalenta coordonatelor spatiale.

Prin urmare , in mod formal, in cazul relativist miscarea va fi descrisa, asemanator cu mecanica clasica, de variatia a patru coordonate functie de un parametru, daca vom purea introduce acest parametru, echivalent timpului din mecanica clasica, adica cu dimensiunea de timp si invariant fata de transformarea Lorentz.

Un astfel de parametru este timpul propriu τ. Vom utiliza concluziile de mai sus, pentru definirea vitezei cvadridimensionale

In cazul clasic, fiind date ecuatiile de miscare x_i(t)

Viteza se defineste prin relatia :

Prin analogie, pentru ecuatiile 4-D de miscare, in acceptiunea discutata ,se scriu expresiile x_i(τ) astfel ca viteza cvadridimensionala trebuie sa se defineasca prin relatii de forma :

Caracterul vectorial al cvadrivitezei ,definirta ca mai sus, este asigurat de caracterul vectorial al cresterii dx ,cresterea d , avand caracter scalar.

Observatie:

In virtutea relatiei ds =cdτ ,o alternativa principal echivalenta alegerii parametrului τ o constituie considerarea invariantului "interval" s, pentru definirea cvadrivitezei, care nu schimba decat scara de masura a acesteia.

Componentele cvadrivitezei ,considerand timpul propriu ca parametru invariant sunt obtinute din relatia:

facem urmatoarea notatie:

componentele cvadrivectorului viteza.

In virtutea principiului metodico- euristic de corespondenta se observa ca pentru cazul v<<c primele trei componente ale cvadrivitezei aproximeaza viteza clasica tridimensionala. A patra componenta a cvadrivitezei nu se anuleaza niciodata, fiind legata de un sens profund ,cel al scxurgerii eterne a timpului, al absurditatii notiunii de reper in universul cvadridimensional.

5.2. Legile dinamicii relativiste

Legea a doua a dinamicii nu este invarianta in raport cu transformarile Lorentz -Eistein . Pentru a gasi forma relativista invarianta a acestei legi ,si in general a legilor dinamicii, acestea trebuie exprimate sub forma unor relatii cvadridimensionale.

Proprietatile inertiale ale unei particule pot fi caracterizate prin scalarul masa invarianta sau masa de repaus (m₀), care reprezinta masa masurata in sistemul de referinta propriu, legat de particula.

Cvadrivectorul impuls al unei particule cu masa de repaus m_o se defineste ,prin analogie cu mecanica clasica ,prin formula:

P_i=m_oU_i unde i=1,2,3,4

Tinand seama de cele patru componente ale cvadrivitezei, componentele cvadriimpulsului se vor scrie sub forma:

p₁=γm_ov_x

p₂=γm_ov_y

p₃=γm_ov_z

p₄=γicm_o

Observatii:

Impulsul relativist pate fi scris ca in mecanica clasica

p=mv=γm_ov

unde m=γm_o se numeste masa de miscare.

Deci, in mecanica relativista masa depinde de viteza.

La viteze mici v<<c ,primele trei componente ale impulsului trec in componentele clasice ale impulsului, iar mase trece in masa se repaus

Cand viteza tinde catre viteza luminii v→c atunci p→∞ si m→∞ .Faptul ca atat masa relativista cat si impulsul relativist au valori ce tind spre infinit cand viteza este egala cu viteza luminii arata imposibilitatea corpurilor de a atinge viteza luminii , oricare ar fi forta finita care ar actiona asupra lui.

Cu aceste definitii , generalizarea relativista a ecuatiilor dinamicii newtoniene este urmatoarea:

F_i=

unde F_i este cvadrivectorul forta si are urmatoarele componente

aceste ecuatii sunt denumite ecuatiile dinamicii relativiste.

Pentru a da interpretare celor patru componente ale fortei cvadridimensionale, consideram mai intai prima dintre aceste componente:

sau

Pentru v<<c aceasta ecuatie trebuie sa treaca in legea a doua clasica.

In membrul stang al ecuatiei se afla derivata impulsului in raport cu timpul, si trebuie interpretat ca fiind componenta clasica a fortei dupa axa ox :

Rezulta asadar, ca prima componenta F₁ a fortei cvadridimensionale este legata de componenta dupa axa ox a fortei clasice prin relatia:

In mod analog se vor scrie si celelalte componente ale cvadrifortei

Cu aceste interpretari ,rezulta ca pentru v<<c ,ecuatiile de mai sus trec in legea a doua din mecanica clasica.

In scopul obtinerii unei interpretari si pentru componenta F₄ =F_t a cvadrifortei se inmulteste scalar cvadriviteza cu cvadriforta si se obtine:

Pentru a calcula relatia vom tine cont de relatia:

derivand in raport cu timpul propriu se obtine;

si atunci produsul scalar devine:

inlocuind in aceasta relatie componentele cvadrivectorilor avem.

de unde rezulta:

comparand cu relatia :

se obtine urmatoarea relatie:

deoarece in membrul drept al relatiei avem lucrul mecanic efectuat de particula in unitatea de timp , rezulta ca membrul stang reprezinta variatia energiei in unitatea de timp. Aceasta interpretare conduce la urmatoarea definitie a energiei totale a unei particule.

W=mc²

Aceasta relatie numita relatia lui Einstein ,arata ca fiecare particula care poseda masa are si energie.

Observatii:

Relatia W= mc² se interpreteaza ca reprezentand echivalenta dintre masa si energie, aceasta fiind inteleasa in sensul ca masa si energia sunt riguros proportionale intre ele. Masa si energia sunt caracteristici diferite ale particulei, iar legea echivalentei stabileste proportionalitatea si nu identitatea lor.

Dezvoltand in serie de puteri expresia si pastrand numai primii doi termeni , pentru energie se obtine relatia:

Al doilea termen din membrul drept al acestei expresii coincide cu energia cinetica clasica a particulei care se scrie:

E_c= mc²-m_oc²

deci, energia cinetica a corpului este diferenta dintre energia de

miscare si energia de repaus.

ΔW=c²Δm

exprima faptul ca variatia energiei corpului este insotita de o

variatie a masei corpului.

Daca viteza particulei este nula energia particulei de devine

W_o= m_oc²

si se numeste energie de repaus.

In teoria relativitatii restranse se admite valabilitatea legii conservarii energiei. Din relatia lui Einstein rezulta ca o data cu conservarea energiei are loc si conservarea masei relativiste. Spre deosebire de mecanica clasica ,unde exista doua legi de conservare separate pentru masa si respectiv pentru energie, in teoria relativitatii exista o singura lege de conservare: legea conservarii energiei.

5.3 Relatia relativista dintre energie si impuls

Pentru a deduce relatia de legatura dintre energie si impuls pornim de la expresia energiei de miscare a unei particule:

care ridicata la patrat si prelucrata duce la urmatorul rezultat.

sau:

relatia obtinuta reprezinta, relatia relativista dintre energie si impuls

Observatii:

Pentru particula in repaus p=0, obtinem W_o=m_o²c², adica energia are dublu semn. Interpretarea acestui rezultat isi gaseste explicatia in cadrul teoriei vidului, care explica fenomenul de conversie interna a radiatiei in perechi electron - proton .

Daca m_o=0 se obtine W=pc. Pe de alta parte putem scrie p=vW/c²; Comparand relatiile se obtine v=c, adica o astfel de particula cu masa de repaus nula se misca cu viteza luminii. O astfel de particula se numeste foton.

5.4. Functiile lui Lagrange si Hamilton in mecanica relativista

Exact ca in mecanica clasica ,legile dinamicii relativiste pot fi scrise in coordonate generalizate,sub forma ecuatiilor lui Lagrange. Pentru aceasta trebuie sa stabilim ,expresia functiei lui Lagrange in cazul relativist.

Prin definitie ,functia lui Lagrange este o marime ale carei derivate in raport cu componentele vitezei reprezinta componentele impulsului, iar derivatele dupa coordonate reprezinta componentele fortei.

Ecuatiile de mai sus sunt satisfacute numai daca functia Lagrange are forma:

Cunoscand functia lui Lagrange se poate determina functia lui Hamilton folosind relatia:

Tinand seama de legatura dintre impuls si energie, functia lui Hamilton devine:

Aceasta relatie permite sa se obtina toate rezultatele mecanicii relativiste si furnizeaza o alta cale de abordare a dinamicii relativiste.