MODELUL NAVIER-STOKES

Se va prezenta, in cele ce urmeaza, principalele modele matematice utilizate in dinamica fluidelor si, in particular, in metodele numerice ale dinamicii fluidelor. Aceste modele corespund diferitelor niveluri de aproximatie ale ecuatiilor generale din subiectul 1.

Modelul Navier-Stokes constituie cea mai generala descriere a miscarii unui fluid newtonian in echilibru termodinamic. El este format din ecuatia de continuitate, ecuatiile de impuls (miscare) si ecuatia energiei, completate cu ecuatiile de stare si cu legi empirice (pentru exprimarea variatiei vascozitatii si conductivitatii termice functie de parametrii curgerii).

Se va analiza, in continuare, cateva reprezentari ale sistemului Navier-Stokes. Desi, din punct de vedere matematic, aceste reprezentari sunt echivalente, din perspectiva metodelor numerice vor conduce la discretizari distincte. De asemenea, se vor introduce o serie de reprezentari utile pentru analiza teoretica a proprietatilor sistemului de ecuatii diferentiale.

FORMULAREA CONSERVATIVA LOCALA

Setul de ecuatii diferentiale care reprezinta modelul matematic al miscarii fluidului este format din:

ecuatia de continuitate (1.14):

)

ecuatiile de impuls (1.34):

)

unde tensorul tensiunilor vascoase este exprimat functie de tensorul vitezelor de deformatie (1.33):

)

ecuatia energiei (1.44):

)

Ecuatiile de mai sus pot fi scrise sub forma vectoriala:

)

sau inca:

)

unde U este vectorul variabilelor conservative, F este vectorul flux iar Q vectorul sursa, marimi definite prin:

)

Formularea locala conservativa, in sistem cartezian, se obtine prin particularizarea ecuatiei

)

unde vectorul variabilelor conservative este:

)

iar fluxurile F_x, F_y, F_z sunt definite de:

)

)

)

in care componentele tensorului tensiunilor vascoase, , sunt:

)

( )

O scriere echivalenta a ecuatiei (8), utila in aplicatii numerice, se obtine punand in evidenta componentele convectiva si, respectiv, difuziva ale fluxului:

)

unde F_x, F_y, F_z sunt componentele fluxului convectiv:

)

)

)

iar G_x, G_y, G_z      reprezinta componentele fluxului difuziv:

)

)

)

De regula, pentru aplicatiile din aerodinamica, fortele exterioare (forte masice) sunt neglijabile si, in consecinta, termenul sursa, Q, este nul.

FORMULAREA INTEGRALA CONSERVATIVA

Formularea integrala conservativa se poate obtine prin integrarea ecuatiei vectoriale (6) pe un domeniu arbitrar Q, urmata de aplicarea teoremei divergentei pentru integrarea fluxului:

)

unde Σ reprezinta frontiera domeniului Q, iar n reprezinta normala la aceasta frontiera.

Reprezentarea (21) deriva direct din aplicarea legilor de conservare, fiind cea mai "naturala' formulare a sistemului Navier-Stokes.

FORMULAREA NECONSERVATIVA LOCALA

Reprezentarea locala neconservativa este formata din urmatorul set de ecuatii:

ecuatia de continuitate (1.15):

)

ecuatiile de impuls (1.35):

( )

ecuatia energiei (1.51):

)

unde functia de disipatie Φ, scrisa explicit in sistemul cartezian, este:

)

FORMULARI CONSERVATIVE IN COORDONATE CURBILINII

Reprezentari conservative locale, intr-un sistem de coordonate generalizate, se pot obtine pornind de la reprezentarea conservativa vectoriala (1.5), prin introducerea unei transformari geometrice definite de:

)

in sistemul de coordonate curbilinii, (), ecuatiile Navier-Stokes, in absenta fortelor exterioare, sunt:

)

unde componentele contravariante ale fluxului convectiv se scriu:

)

Fluxurile F_x, F_y, F_z sunt fluxurile convective, date de relatiile (15) - (17). Analog, fluxul difuziv are componentele contravariante:

)

unde G_x, G_y, G_z sunt definite anterior de relatiile (18) - (20). In ecuatiile de mai sus s-a notat cu J determinantul matricei iacobiene a transformarii geometrice:

cu etc. matricele:

)

)

)

si cu matricele transformarii inverse:

)

)

)

Schimbarea de coordonate se aplica, de asemenea, componentelor tensorului tensiunilor vascoase:

)

)

)

unde:

)

)

)

Se observa ca fluxurile convective pot fi exprimate functie de componentele contravariante ale vitezei, u, v, w:

)

)

)

acestea luand forma:

)

)

)

FORMULAREA TENSORIALA

Reprezentarea in notatii tensoriale (sau indiciale) este foarte comoda si utila in analize teoretice, datorita simplificarii semnificative a scrierii. Ecuatiile Navier-Stokes in notatii tensoriale se scriu in modul urmator:

ecuatia de continuitate:

( )

ecuatiile de impuls:

( )

unde tensorul tensiunilor vascoase se scrie:

)

iar

)

este simbolul lui Kronecker;

ecuatia energiei:

)

FORMULAREA ADIMENSIONAIA

Reprezentarea adimensionala este utila atat in analiza teoretica, cat si in calculele numerice. Avantajul reprezentarii adimensionalizate este dat punerea in evidenta unor parametri adimensionali ca numarul Mach, numarul Reynolds, numarul Prandtl etc, care pot fi variati independent. O alta proprietate a sistemului adimensional este aceea ca toate variabilele sunt "normalizate', astfel ca ele au valori intre limite prescrise (de exemplu, sunt cuprinse intre 0 si 1). Oricare dintre formele introduse anterior poate fi adimensionalizata. Se vor prezenta, pentru exemplificare, forma adimensionaia a ecuatiilor Navier-Stokes corespunzatoare ecuatiilor (15). Astfel, daca se vor defini urmatoarele marimi adimensionale:

)

( )

unde sunt valori de referinta, de regula, corespunzatoare curentului neperturbat (pentru probleme de aerodinamica), atunci ecuatiile (15), in ipoteza neglijarii fortelor exterioare, se pot pune sub forma:

)

unde:

)

E_cx, E_cy, E_cz sunt fluxurile convective adimensionale:

)

)

)

iar E_vx, E_vy, E_vz fluxurile difuzive adimensionale:

)

)

)

Valorile adimensionale ale energiei totale si, respectiv, entalpiei totale rezulta in forma:

)

Expresiile adimensionale ale tensiunilor vascoase sunt:

)

( )

( )

iar fluxurile termice adimensionale rezulta sub forma:

)

Parametrii adimensionali care intervin in expresiile de mai sus sunt: numarul Reynolds, , numarul Mach, si numarul Prandtl, Pr definiti prin relatiile:

)

( )

( )

Ecuatiile de stare (1.61) adimensionale vor fi:

)

8 COMENTARII PRIVIND ECUATIILE NAVIER-STOKES

Se vor evidentia, pe scurt, cateva aspecte fizice, matematice si numerice legate de sistemul de ecuatii Navier-Stokes.

Aspecte fizice. Experienta arata ca miscarea unui fluid este determinanta de interactiunea a foarte multi parametri. Un rol esential il are raportul a doua tipuri de forte: fortele de inertie si, respectiv, cele de frecare. Acest raport este pus in evidenta de numarul Reynolds (69). In functie de numarul Reynolds se pot distinge trei regimuri de curgere: regimul laminar (pentru valori mici ale numarului Reynolds), regimul turbulent (la valori ridicate ale numarului Reynolds) si regimul tranzitoriu (intre cel laminar si cel turbulent). Aspectul miscarii este foarte diferit in functie de regimul de curgere. Daca pentru o curgere laminara, cand fortele de frecare sunt dominante, miscarea are un aspect perfect ordonat, pentru o curgere turbulenta, (forte de inertie dominante), aspectul miscarii devine complet haotic. Caracterul haotic este pus in evidenta prin variatii mari in timp si spatiu ale tuturor parametrilor miscarii (campul de viteze, campul de presiuni etc).

Aspecte matematice. Ecuatiile nestationare Navier-Stokes constituie un sistem de ecuatii cu derivate partiale neliniare de ordinul doi. Neliniaritatea este introdusa de termenul de inertie ). El este considerat sursa esentiala de turbulenta, deoarece introduce interactiuni complexe intre structurile de diferite scari care coexista in miscarea unui fluid.

Atat timp cat fortele de inertie (destabilizatoare) sunt mici in raport cu cele de frecare (difuzia vascoasa are rol stabilizator), neliniaritatea este relativ slaba si ecuatiile respective pot fi integrate numeric fara alte ipoteze suplimentare. Conform celor de mai sus, acest caz corespunde regimului laminar de curgere. La ora actuala integrarea sistemului Navier-Stokes este posibila doar pentru miscari laminare.

Din nefericire, in practica, majoritatea curgerilor intalnite sunt turbulente. O curgere turbulenta este sediul unei instabilitati permanente. In fiecare moment, perturbatiile se amplifica creand noi structuri, sau modificand aspectul celor existente inainte de a conduce ele insele, la alte instabilitati. Aceasta instabilitate la perturbatii interne, sau externe, face imposibila predictia deterministe a unei curgeri pe o perioada relativ mare de timp. Ea este comuna la toate sistemele haotice. Se cunoaste ca sunt suficiente un numar mic de grade de libertate pentru a pune in evidenta un comportament haotic. Spre exemplu, in cazul unui sistem diferential ordinar sunt necesare doar trei variabile (sistemul Lorentz). In cazul miscarii unui fluid, guvernata de ecuatii cu derivate partiale neliniare, numarul de variabile este infinit, de unde si imposibilitatea predictiei (integrarii) miscarii pornind de la ecuatiile generale Navier-Stokes.

In general insa, din punct de vedere practic, in aerodinamica si in mecanica fluidelor, nu suntem interesati decat de cateva caracteristici ale curgerii (coeficientul de frecare, fluxul de caldura, vitezele medii, campul de presiuni medii etc). La fel ca in termodinamica, aceste marimi sunt expresia unor proprietati statistice ale fluidului, de unde si posibilitatea de a media statistic ecuatiile Navier-Stokes. Se obtine astfel modelul ecuatiilor Reynolds care, utilizand o serie de ipoteze suplimentare (formulate prin modelele de turbulenta) pot fi integrate numeric. Exista insa aplicatii ale dinamicii fluidelor, cum este, de exemplu, meteorologia, cand tratarea statistica nu are relevanta, deoarece intereseaza valorile instantanee ale parametrilor miscarii, iar nepredictibilitatea miscarilor turbulente face dificile prognozele meteo.

Aspecte numerice. In final, vom evidentia si aspecte strict numerice legate de integrarea ecuatiilor Navier-Stokes. Problema de baza in calculul numeric al curgerilor turbulente este aceea a coexistentei unor structuri caracterizate prin scari de timp, de viteze si lungimi de diferite ordine de marime: de la scari corespunzatoare miscarii generale de convectie, pana la scari cu cateva ordine de marime mai mici, caracteristice difuziei turbulente sau vascoase. Este evident ca, pentru o rezolvare numerica, o retea de calcul va trebui sa aiba o rezolutie, spatiala si temporala, mai fina decat scarile fizice. Astfel, chiar daca s-ar dispune de un algoritm numeric de rezolvare a sistemului neliniar, numarul de puncte ale grilei de calcul, precum si pasii de timp foarte mici, conduc la concluzia ca se depaseste cu mult capacitatea (sub aspectul timpului de calcul si a memoriei necesare) celor mai puternice calculatore actuale. De exemplu, considerand suficiente doar 10 puncte pentru a descrie geometria unei structuri turbulente si, stiind ca scara celor mai mici structuri turbulente este cam de o mie de ori mai mica decat o scara de lungimi in lungul unui perete, ajungem la concluzia ca este nevoie de 10⁵ puncte pentru a calcula 1 cm³ din domeniul curgerii.