Modelul Cournot al duopolului

Modelul Cournot al duopolului

Presupunem ca pe piata functioneaza numai doua firme , numite aici A , B.

Acestea produc un acelasi produs omogen : fiecare firma are libertatea sa-si stabileasca nivelul productiei. Presupunem ca

- firma A produce cantitatea "a " de produs ;

- firma B produce cantitatea "b" de produs .

Notam : a + b = x .

Pretul de desfacere la acest produs este functie de cantitatea totala de produse oferita de cele doua firme , anume :

( lei / buc ).

Costul de productie este de " c " ( lei/buc) , acelasi pentru ambele firme .

Obs : - beneficiul firmei A este : , adica :

;

- beneficiul firmei B este : , adica :

Fie - numarul optim de produse pentru A , si - numarul optim de produse pentru B .

- valoarea care realizeaza maximul lui

este : ; (1)

- valoarea care realizeaza maximul lui

este : ; (2)

In final :

-

Obs : inlocuind , obtinem :

== // ==

Un exemplu numeric :

- Firma A produce cantitatea "x " de produse , cu cheltuielile de productie = 3∙x ;

- Firma B produce cantitatea "y " de produse , cu cheltuielile de productie = 5∙x ;

Notam : x + y = q ; pretul pietei este de : P(q) = 20 - q .

Avem : - beneficiul firmei A va fi :

- beneficiul firmei B va fi :

Determinarea nivelului optim al productiei :

- a : (1)

- b : (2)

Din (1) , (2) , egaland si rezolvand sistemul , obtinem :

== // ==

Comentariu asupra modului in care functioneaza echilibrul NASH :

Consideram exemplul :

- firma A produce cantitatea " x " , cu cheltuielile de productie = 3∙x ;

- firma B produce cantitatea " y " , cu cheltuielile de productie = 3∙y ;

- pretul pietei este dat de : p ( x,y) = 15 - x - y ;

- se obtine : π₁(x,y) = x∙( 12 - x - y ) , π₂( x,y) = y∙(12 - x - y ).

Care sunt consecintele urmatoarei pareri : din cauza simetriei , pare clar ca optimul ar

trebui sa presupuna x^* = y^* .

Fie atunci :

f ( x ) = π₁( x , x ) = x∙ ( 12 - 2∙x) = 2∙(-x² + 6∙x)

Avem : f(x) = maxim , daca x = 3 , deci as avea optimul :

x^* = y^* = 3 , cu

Aplicand optimul Cournot , gasim insa : .

Cum demonstram ca varianta x^* = y^* = 3 nu realizeaza echilibrul Nash ?

- Iata motivul :

- daca firma B alege politica y^* = 3 , atunci pentru firma A am avea

π₁( x, 3 ) = x∙ ( 9 - x )

cu optimul

, atins pentru .

Atunci pentru firma B s-ar obtine beneficiul :

( 4, 5 ; y) = y∙(12 - 4,5 - y ) = y∙( 7,5 - y ) = ;

Maximul lui ( 4, 5 ; y) va fi : pentru care valoarea maxima devine in loc de .

END