REZOLVAREA GRAFICA A UNOR PROBLEME DE CINEMATICA

1 Interpretari de arii. Daca intre marimile fizice M₁, M₂ si M₃ exista relatia dimensionala: si in plus , atunci reprezentarea grafica a ultimei functii, permite urmatoarea interpretare : aria figurii de sub grafic este proportionala ( adesea numeric egala ) cu marimea M₃. In figurile urmatoare prezentam doar cateva exemple.

Aria = deplasare

Aria = variatia vitezei

Aria = variatia impulsului

Aria = durata

2 Interpretari de unghiuri. Daca intre marimile fizice M₁, M₂ si M₃ exista relatia dimensionala: si in plus , atunci tangenta la graficul acestei functii este proportionala cu M₃. Cateva exemple pentru cazul in care f este functie liniara sunt aratate in figurile de mai jos.

tgα = acceleratie

tgα = viteza

tgα = deplasare

tgα = putere

Utilizarea acestor observatii, dealtfel banale, permite deseori o rezolvare simpla a unor probleme care altfel necesita o parte de calcul laborioasa sau chiar sunt inaccesibile elevilor de liceu. In continuare vom analiza cateva exemple din cinematica, iar in unul din numerele urmatoare vom reveni cu exemple si din alte capitole ale fizicii.

3 Exemple de probleme

1. Un tren se deplaseaza rectiliniu uniform. La un moment dat se desprinde ultimul vagon care, miscandu-se uniform incetinit parcurge pana la oprire distanta d = 250 m. Ce distanta D parcurge in acest timp trenul, considerand ca in urma desprinderii vagonului viteza trenului nu se modifica?

Solutie:

In figura am reprezentat vitezele trenului, respectiv vagonului in functie de timp, de la desprinderea vagonului si pana la oprirea acestuia.

Segmentele OC si OA reprezinta viteza initiala comuna a celor doua mobile, respectiv timpul de la desprinderea vagonului pana la oprirea lui. In acest timp trenul parcurge distanta D = aria(OABC), iar vagonul d = aria(OAC). Se vede imediat ca D = 2d = 500 m.

2. Un tren care franeaza uniform a parcurs pana la oprire distanta D = 400 m. ce distanta a parcurs in prima jumatate a timpului de oprire ?

Solutie:

Segmentul OA reprezinta timpul in care se opreste trenul. Distanta parcursa pana la oprire D = aria(OAB), iar cea parcursa in prima jumatate a timpului este d = aria(ODCB). Cele doua triunghiuri sunt asemenea si atunci raportul ariilor lor este egal cu patratul raportului de asemanare. Avem: . Rezulta ca

3. O saniuta lansata in sus de-a lungul unui plan inclinat, care formeaza unghiul α = 45 cu orizontala, revine inapoi la baza planului astfel incat timpul de coborare este de n = 1,1 ori mai mare decat timpul de urcare. Care este coeficientul de frecare?

Solutie:

Fie (1) si (2) , acceleratiile la urcare, respectiv la coborare. Deoarece distanta parcursa la urcare este egala cu cea parcursa la coborare, ariile OAB si ADC sunt egale si vom avea: (3). Dar cum BO = t_u , AD = t_c , BO = OAtgα = t_ua₁ si DC = ADtgβ = t_ca₂ , relatia (3) devine: . Folosind conditia impusa , rezulta , de unde folosind (1) si (2) se obtine

4. De un tren de masa M = 100 t care merge rectiliniu uniform, se desprinde la un moment dat ultimul vagon de masa n = 10 t. Acesta parcurge o distanta d = 9 km pana se opreste. LA ce distanta de vagon se va gasi in acest moment trenul, daca forta de tractiune a locomotivei a ramas aceeasi?

Solutie:

In figura de mai sus distanta dintre tren si vagon, in momentul opririi acestuia este reprezentata prin aria triunghiului ABC. Notand si , avem:

. Distanta parcursa de vagon se poate scrie: . Eliminand timpul rezulta : .

Daca, problemele anterioare pot fi rezolvate fara un efort deosebit, folosind legile de miscare, nu la fel stau lucrurile in privinta celor ce urmeaza.

5. O gazela, urmarita de un leu, alearga in linie dreapta plecand de langa un copac, astfel incat viteza ei este invers proportionala cu distanta pana la copac. Atunci cand gazela se afla in punctul A la distanta de 100 m de copac viteza ei este 20 m/s. In cat timp ajunge ea din punctul A pana in punctul B, aflat la 200 m de copac?

Solutie:

In figura de mai jos s-a reprezentat inversul vitezei in functie de distanta. Aria hasurata reprezinta distanta parcursa din A(x₁) pana in B(x₂).

Din se determina viteza din B: . Timpul in care este parcursa distanta de la A la B este: .

6. La baza unui stalp cilindric vertical cu raza R, fixat pe o suprafata neteda orizontala, este legat in punctul A capatul unui fir inextensibil, infasurat in jurul stalpului, avand la celalalt capat un mic corp. Lungimea firului este egala cu circumferinta stalpului. Se imprima corpului o viteza radiala v₀. Dupa cat timp corpul va lovi stalpul? Se neglijeaza frecarile. Aplicatie numerica: R = 1 m, v₀ = 2 m/s.

Solutie:

Traiectoria corpului este cea din figura de mai jos (ACDEA). Modulul vitezei ramane v₀, conform legii conservarii energiei mecanice, iar orientarea ei este mereu perpendiculara pe fir. In timpul desfasurarii firului, distanta de la centrul stalpului la corp OC = r, este variabila. Viteza de variatie a acestei distante este:

Deci: (1); . Pentru se obtine, iar pentru rezulta Graficul functiei (1) este reprezentat mai jos.

Timpul t₁ , necesar desfasurarii complete a firului ( timp in care corpul descrie traiectoria ACD ), este egal cu aria trapezului hasurat. Se obtine: Timpul in care corpul descrie semicercul DE, de raza va fi , iar timpul dupa care corpul va lovi stalpul este