Probleme rezolvate

R 15.1) Un cilindru, avand dimensiunile din figura R 15.1.1 si greutatea G = 5000 N, este asezat pe un plan orizontal. Sa se determine lucrul mecanic necesar rasturnarii cilindrului in jurul punctului A de intersectie a unei generatoare cu planul orizontal.

Figura R 15.1.1 Figura R 15.1.2

Rezolvare: Pentru a rasturna cilindrul este necesar ca acesta sa fie adus cu diagonala AC in pozitie verticala (figura R 15.1.2). Centrul de greutate se ridica de la inaltimea la inaltimea Lucrul mecanic necesar rasturnarii va fi: .

R 15.2) Un con circular drept de greutate G, avand inaltimea h si raza r = h / 3, se rostogoleste fara sa alunece pe un plan orizontal in jurul varfului sau fix (figura R 15.2.1). Sa se determine energia cinetica a conului daca acesta se roteste in jurul axei verticale ce trece prin O cu viteza unghiulara constanta

Figura R 15.2.1      Figura R 15.2.2

Rezolvare: Miscarea solidului cu punct fix se studiaza in raport cu sistemul cartezian Oxyz avand originea O in varful conului si axa Oy in lungul axei de simetrie a conului (figura R 15.2.2). Energia cinetica este data de relatia:

(1)

unde sunt proiectiile vectorului viteza unghiulara pe axele sistemului Oxyz. Viteza unghiulara absoluta rezulta in urma unei compuneri de rotatii concurente, . Din triunghiul vitezelor unghiulare se obtine , astfel incat proiectiile vitezei unghiulare absolute pe axele reperului cartezian Oxyz vor fi:

(2)

Se poate arata (vezi problemele R 14.1 - R 14.3) ca momentele de inertie axiale si centrifugale pentru conul circular drept raportat la sistemul cartezian Oxyz sunt:

(3)

Introducand (2) si (3) in (1) gasim ca:

(4)

Dar , astfel incat:

(5)

R 15.3) Greutatile si sunt legate printr-un fir inextensibil si de greutate neglijabila, trecut peste scripetii ficsi B si D. Atunci cand greutatea coboara greutatea se ridica pe fata laterala AB a unei prisme ABDE, de greutate (figura R 15.3). Unghiul facut de AB cu orizontala este . Stiind ca initial sistemul celor trei corpuri se afla in repaus si neglijand frecarile, sa se afle deplasarea prismei fata de dusumea pentru o deplasare h a greutatii

Figura R 15.3

Rezolvare: Asupra sistemului de corpuri actioneaza doar fortele de greutate (verticale). Centrul de masa nu se deplaseaza pe verticala. Notand cu pozitiile initiale ale centrelor de masa ale celor trei corpuri, respectiv prin pozitiile acelorasi puncte dupa deplasarea greutatii pe verticala cu distanta h se determina abscisa a centrului de masa al sistemului corespunzatoare celor doua pozitii ale acestuia. Se considera ca prisma se deplaseaza spre stanga cu distanta x.

La momentul initial:

La momentul final: .

Cum obtinem: .

R 15.4) O placa omogena de greutate , avand frontiera un triunghi dreptunghic ABC de catete AB = a si BC = b, se roteste in jurul unei axe fixe ce contine cateta BC (figura R15.4.1). In momentul initial viteza unghiulara a placii este . Fiecare element al placii intampina in timpul miscarii o rezistenta din partea aerului proportionala cu aria elementului si cu viteza sa, directia fortei de rezistenta fiind perpendiculara pe suprafata elementului. Cunoscand factorul de proportionalitate k, sa se determine legea de variatie a vitezei unghiulare in miscarea de rotatie a placii.

Figura R 15.4.1 Figura R 15.4.2

Rezolvare: Notand cu si reactiunile din articulatiile si si cu forta de rezistenta a aerului care actioneaza normal pe elementul dreptunghiular de dimensiuni dx, respectiv y, se aplica teorema momentului cinetic in raport cu punctul B si se obtine:

(1)

unde integrala se extinde pe intreg domeniul ocupat de placa (figura R 15.4.2).

Proiectand ecuatia vectoriala (1) pe axa BC si observand ca (deoarece axa Bc contine punctele si ) si ca (deoarece BC este paralela cu directia greutatii), rezulta:

      (2)

Momentul cinetic al placii ABC, aflata in miscare de rotatie, se determina cu formula:

(3)

Se poate arata (vezi capitolul 13) ca . Forta elementara de rezistenta a aerului corespunzatoare unui element de arie dA este , astfel incat momentul rezultant al fortelor rezistente in raport cu axa de rotatie va fi:

      (4)

Din (2-4) se obtine ecuatia diferentiala cu variabile separabile:

(5)

Solutia sa particulara (in conditiile initiale ) este:

      (6)

R 15.5) Pe o bara rectilinie aflata in pozitie verticala se deplaseaza (in jos) o culisa de greutate G = 20 N prinsa prin intermediul unui resort de constanta elastica k = 3 N/m de punctul fix O (figura R 15.5.1). Stiind ca la momentul initial culisa se afla in repaus in punctul A si ca lungimea resortului in stare nedeformata este , sa se determine viteza culisei in punctul B. Se mai cunosc distantele AB = h = 6 m, OA =

Figura R 15.5.1      Figura R 15.5.2

Rezolvare: La momentul de timp t culisa se afla in punctul M si are viteza v. Se aplica teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic intre momentele de timp la care culisa se gaseste in punctele A si B:

(1)

unde (figura R 15.5.2).

Reactiunea normala este perpendiculara pe deplasarea si nu produce lucru mecanic, lucrul mecanic al greutatii este iar lucrul mecanic al fortelor elastice este dat de relatia:

      (2)

Dar

astfel incat:

(3)

Se obtine

R 15.6) Se considera mecanismul de ridicat din figura R 15.6.1, format din corpuri omogene, legate intre ele prin fire perfect flexibile si inextensibile. Frecarile sunt neglijabile. Pentru ridicarea sarcinii mecanismul este actionat printr-un cuplu de moment . Presupunand ca mecanismul porneste din repaus, sa se determine legea de miscare a sarcinii Q.

Figura R 15.6.1

Rezolvare: Vom folosi, de la caz la caz, teorema miscarii centrului de masa si / sau teorema momentului cinetic.

Corpul de greutate Q (figura R 15.6.2)

Teorema miscarii centrului de masa proiectata pe Oy:

(1)

Figura R 15.6.2 Figura R 15.6.3

Corpul de greutate 3 G (figura R 15.6.3)

Teorema miscarii centrului de masa proiectata pe Oy:

(2)

Teorema momentului cinetic in raport cu punctul , proiectata pe

      (3)

Corpul de greutate 4G (figura R 15.6.4)

Teorema momentului cinetic in raport cu , proiectata pe

      (4)

Figura R 15.6.4 Figura R 15.6.5

Corpul de greutate 5G (figura R 15.6.5)

Teorema momentului cinetic in raport cu , proiectata pe

      (5)

Dar:

(6)

iar studiul cinematic conduce la relatiile:

(7)

Din (1-7) se obtine acceleratia greutatii Q:

(8)

15.5. Probleme propuse

15.5.1. Teste clasice

TC 15. Doua barci de greutate se deplaseaza in acelasi sens cu aceiasi viteza . La un moment dat din prima barca se arunca spre cea de-a doua o greutate cu viteza (fata de barci). Sa se determine vitezele celor doua barci dupa aruncarea greutatii, respectiv, primirea greutatii.

TC 15.2) O roata de raza r, care se roteste cu viteza unghiulara constanta in jurul axei sale de simetrie, este apasata de un sabot de frana AB cu forta radiala constanta F (figura TC 15.2.1). Stiind ca momentul de inertie al rotii in raport cu axa de rotatie este J si ca roata se opreste dupa secunde ca urmare a frecarii dintre ea si sabot, se cere :

a)      Coeficientul de frecare dintre sabot si roata ;

b)      Numarul de rotatii efectuat de roata pana la momentul opririi.

Figura TC 15.2.1 Figura TC 15.3.1

TC 15.3) Peste un scripete ce se roteste in jurul axei orizontale Oz trece un fir inextensibil ce poarta la unul din capete o sarcina de masa m. Celalalt capat al firului este prins de un arc vertical ce are extremitatea B fixa. Forta de tensiune a arcului este proportionala cu alungirea lui, factorul de proportionalitate fiind k (figura TC 15.3.1). Sa se determine perioada oscilatiilor sarcinii stiind ca masa scripetelui este M si ca firul nu aluneca pe scripete.

TC 15.4) Se considera sistemul de corpuri din figura TC 15.4.1, care porneste din repaus sub actiunea propriilor greutati. Discul de greutate Q si raza R se poate deplasa pe un plan orizontal si este legat prin intermediul unui fir flexibil si inextensibil de un corp de greutate P, aflat pe un plan inclinat cu unghiul fata de orizontala. Firul este infasurat pe discul de raza r al unui troliu si se desfasoara de pe discul de raza R al aceluiasi troliu. Momentul de inertie al troliului in raport cu axa de rotatie este J.

Considerand ca discul de greutate Q se rostogoleste fara sa alunece pe planul orizontal, coeficientul de frecare de rostogolire fiind s, iar corpul de greutate P se misca pe planul inclinat cu frecare, coeficientul frecarii de alunecare fiind , sa se studieze miscarea greutatii P si sa se determine acceleratia sa.

Figura TC 15.4.1 Figura TC 15.5.1

TC 15.5) O placa omogena de greutate P, avand latimea 2b si inaltimea h, se poate roti in jurul axului vertical AB pe care se gaseste si cilindrul C de raza r si greutate neglijabila (figura TC 15.5.1). Pe acest cilindru este infasurat un fir al carui capat trece peste scripetele de raza r al unui troliu care are momentul de inertie in raport cu axa de rotatie. Sistemul este pus in miscare de greutatea Q, atarnata la capatul firului ce trece peste scripetele de raza R al troliului. In timpul miscarii fiecare element de arie al placii intampina rezistenta aerului, care este proportionala cu aria si viteza elementului, factorul de proportionalitate fiind k.

a)      Sa se studieze miscarea sistemului si sa se determine legea miscarii si legea de variatie a vitezei unghiulare a placii ;

b)      Sa se determine tensiunile din fire ;

c)      Presupunand ca la un moment se desprinde greutatea Q, sa se determine timpul dupa care viteza unghiulara se reduce la jumatate.

15.5.2. Teste grila

TG 15.1) O barca de greutate si lungime l se gaseste in repaus si atinge cu prova

debarcaderul (figura TG 15.1). Un om de greutate aflat in acest moment in mijlocul barcii incepe sa se deplaseze spre mal. Sa se determine distanta cu care se va departa barca de mal atunci cand omul va ajunge la capatul barcii.

a)      ; b) ; c) ; d) .

Figura TG 15.1     

TG 15.2) Un pendul este lasat sa oscileze liber in planul vertical, din pozitia initiala data prin unghiul (figura TG 15.2). Cunoscand masa m a punctului material si lungimea l a firului, sa se determine perioada T a micilor oscilatii.

a) ; b) ; c) ; d) .

Figura TG 15.2

15.6. Indicatii si raspunsuri

TC 15.1) Deoarece fortele care actioneaza asupra sistemului sunt verticale impulsul pe directia x ramane constant (figura TC 15.1) . Se aplica conservarea impulsului pentru sistemul format din barca 1 si greutatea 3 intre momentele de timp , respectiv , la care greutatea 3 este in barca , respectiv , in aer :

Se obtine : .

Pentru determinarea vitezei a barcii 2 dupa primirea greutatii se aplica conservarea impulsului pentru sistemul format din barca 2 si greutatea 3 intre momentele de timp , respectiv , la care greutatea este in aer , respectiv , in barca 2:

Rezulta : .

Figura TC 15.1 Figura TC 15.2.2

TC 15.2) a ) Izoland cele doua corpuri ( sabotul si roata ) se obtine situatia din figura TC 15.2.2. Ecuatiile de echilibru pentru sabot sunt :

(1)

Aplicand teorema momentului cinetic in raport cu punctul O si proiectand relatia vectoriala obtinuta pe directia axei de rotatie se gaseste ecuatia de miscare a rotii:

(2)

Integrand ecuatia (2) in raport cu timpul si tinand cont de conditia initiala , se obtine legea de variatie a vitezei unghiulare :

Coeficientul de frecare se determina impunand conditia ca roata sa se opreasca dupa secunde : Rezulta :

(4)

b ) Observand ca si integrand inca o data ecuatia (3) in raport cu timpul se obtine legea de miscare a rotii :

(5)

Numarul de rotatii efectuat de roata pana in momentul opririi se determina observand ca o rotatie completa corespunde unui unghi . Aceasta va fi :

(6)

TC 15.3) Se noteaza cu x deplasarea corpului de masa m la momentul de timp t ( figura TC 15.3.2) .

) Corpul 1 : ( teorema miscarii centrului de masa )

) Corpul 2 : ( teorema momentului cinetic fata de O )

Figura TC 15.3.2

Dar , astfel incat din (1) si (2) se obtine ecuatia diferentiala :

Notand cu pulsatia proprie a oscilatiei , perioada miscarii va fi :

(4)

TC 15.4) Sensul miscarii sistemului este dat de greutatea P, care coboara pe planul inclinat. Pentru studiul miscarii se aplica teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic sub forma finita :

     

unde :

- energia cinetica a sistemului in momentul inceperii miscarii. Ea este nula deoarece sistemul porneste din repaus.

- energia cinetica a sistemului la un moment arbitrar de timp t. Greutatea P a parcurs in acest interval de timp spatiul x.

- lucrul mecanic al fortelor exterioare si de legatura ce actioneaza asupra corpurilor sistemului intre cele doua momente de timp.

Legatura intre caracteristicile cinematice ale miscarii corpurilor este data in tabelul de mai jos ( vezi si figura TC 15.4.2 ) .

Figura TC 15.4.2

Energia cinetica a celor trei corpuri la momentul t este :

Energia cinetica a sistemului la acelasi moment de timp se obtine prin sumarea energiilor cinetice ale corpurilor componente :

(3)

Singurele forte care dau lucru mecanic sunt forta de greutate P si forta de frecare , celelalte forte fiind normale pe deplasare ( ), cu punct de aplicatie fix () sau aplicate in centrul instantaneu de rotatie ( ) . Lucrul mecanic nenul se mai obtine si datorita momentului de frecare de rostogolire . Adunand aceste lucruri mecanice se obtine valoarea :

unde

Din relatia (4) si tabelul de mai sus se obtine :

(5)

Notand :

relatia ( 1 ) capata forma :

Derivand aceasta ecuatie diferentiala in raport cu timpul si simplificand cu , gasim valoarea acceleratiei corpului de greutate P :

(8)

Observatie : Din relatia de mai sus si tabelul T 12.8 se poate trage concluzia ca toate corpurile sistemului au miscari uniform accelerate ( de acceleratii constante ) .

TC 15.5) a) Se separa cele trei corpuri ale sistemului, se introduc fortele exterioare date si fortele de legatura si se aplica teoremele miscarii centrului de masa si momentului cinetic (in functie de miscarea corpului studiat ).

Corpul de greutate Q ( figura TC 15.5.2 )

Teorema miscarii centrului de masa proiectata pe Oy :

(1)

Figura TC 15.5.2 Figura TC 15.5.3

Troliul ( figura TC 15.5.3 )

Teorema momentului cinetic in raport cu pe

(2)

Placa plana si cilindrul ( figura TC 15.5.4 )

Figura TC 15.5.4

Teorema momentului cinetic in raport cu pe

(3)

unde reprezinta momentul datorat fortelor de rezistenta a aerului iar

, (4)

Dar , astfel incat

Momentul se calculeaza dupa cum urmeaza :

(5)

deoarece .

Notand , din ecuatiile ( 1 - 3 ) rezulta valorile tensiunilor in fire in functie de acceleratia unghiulara :

precum si ecuatia diferentiala in necunoscuta viteza unghiulara :

(7)

unde . Deoarece , unde este unghiul descris de planul placii fata de pozitia pe care aceasta o ocupa la momentul initial, se obtine urmatoarea ecuatie diferentiala liniara de ordinul doi neomogena :

      (8)

Solutia generala a acestei ecuatii este :

(9)

si reprezinta legea de miscare a placii plane. Viteza unghiulara si acceleratia unghiulara in miscarea de rotatie a placii se obtin prin derivarea legii de miscare (9) :

(10)

b) Tensiunile din fire rezulta din relatiile ( 6 ) :

c) Pentru Q = 0, valoarea constantei devine iar ecuatia diferentiala devine omogena, , si are solutia generala :

(12)

Impunand conditiile initiale, , se obtine solutia particulara . Timpul se determina punand conditia ca viteza unghiulara sa fie jumatate din valoarea inregistrata in momentul desprinderii greutatii Q, adica , de unde :

(13)

TG 15.1) Fortele care actioneaza asupra sistemului bara-om sunt verticale astfel incat impulsul (deci si viteza centrului de masa) se conserva pe orizontala. Deoarece la momentul initial sistemul este in repaus viteza centrului de masa va ramane nula in tot timpul miscarii, adica centrul de masa nu se modifica in timpul miscarii:

= .

Raspuns corect: d)

TG 15.2) Fie unghiul format de fir cu verticala la momentul arbitrar de timp t. Se aplica teorema momentului cinetic fata de punctul de prindere al firului O: (*). Singura forta care da moment fata de O este greutatea iar . Din (*) gasim ecuatia diferentiala . Pentru micile oscilatii ale firului se poate considera , de unde ecuatia de miscare . Solutia ei este de forma , unde reprezinta pulsatia miscarii. Deoarece , raspunsul corect este c).