Trei ecuatii (+1) sau numai una?

Sa recapitulam.

Ei bine, aceste transformari fac parte din aceeasi familie .

Transformarea politropa este transformarea

gazului ideal in care coeficientii calorici raman constanti:

n = const

C = const.

. iar legea in "familie" este data de:

pVⁿ = const.      (#1),

unde (*) este exponentul politropic.

Folosind ecuatia de stare a gazului ideal

si (#1), putem obtine alte doua forme ale ecuatiei politrope:

TV^n-1 = const.      (#2)

P^1-nTⁿ = const.      (#3)

Variatia energiei interne, caldurasi lucrul mecanicin transformarea politropa

Deoarece energia interna este o marime de stare, ea nu depinde de transformarea efectuata si deci avem:

DU = nC_VDT (#4),

deoarece in transformarea izocora L = 0 si din principiul I al termodinamicii Q = L + DU si definitia caldurii molare la volum constant rezulta (#4).

Din definitia caldurii molare si (*) deducem:

(#5)

(#6),

iar din (#4, #6) si principiul I al termodinamicii:

(#7)

Exemplificare pe membrii cunoscuti ai familiei

Transformarea izoterma

Din definitia caldurii molare cu conditiile DT = 0 si rezulta: C = ∞. Deci (*); pV = const (#1); T = const (#2, #3);

DU = 0 (#4); Q si L fiind nedeterminate (in #6, #7 intervine nedeterminarea ).

Transformarea izobara

Evident caldura molara in acest caz este C = C_p, iar din (*) rezulta: n = 0.

Din (#1, #3) p = const.; (#2) ;

(#6) Q = nC_pDT; (#7 + ecuatia termica de stare)

L = nRDT = pDV.

Transformarea izocora

Caldura molara este C = C_V si din (*) rezulta ca n = -¥. Din (#1, respectiv #2) avem:

; Din (#3) rezulta :

(#6) Q = nC_VDT, iar din (#7) L = 0.

Transformarea adiabata

In acest caz avem C = 0 ceea ce conduce la: si de aici: (#1) - legea lui Poisson; (#2) ;

(#3) ;

(#6); (#7 + relatia lui Robert Mayer C_p = C_V + R)

Exemple de probleme

1. O masa m de gaz perfect cu masa molara μ sufera un proces descris de legea T ~ p², de la T₁ la T₂. Aflati lucrul mecanic efectuat de gaz si caldura molara in aceasta transformare. Reprezentati procesul in diagramele p-V, V-T, p-T. (probl.2.2.45/pag.33 - A. Hristev, Probleme de Fizica **, 1992)

Rezolvare

T ~ p² → p² T^-1 = const. → n = - 1 → (#7) L = ν R ( T₂ - T₁ ) / 2; ν =m / μ si (#5) C = ( C_P + C_V ) / 2. Din (#1) si (#2) avem pV^-1 = const., TV^-2 = const. sau p ~ V si T ~ V². Deci:

2. Sa se determine caldura molara a unui gaz ideal in timpul procesului pentru care p²V = const. Se cunoaste caldura molara a gazului respectiv la volum constant (C_V). (Tabara nationala de fizica - Pitesti - 1988)

Rezolvare

In acest caz din ecuatia data si (#1) deducem ca

n = ½. Cu aceasta, cu (*) si cu relatia lui Robert Mayer gasim: C = C_V+2R.

3. Sa se determine semnul caldurii molare in transformarea politropa AD, stiind ca: AB - transformare izoterma, AC - transformare adiabatica, BC - transformare izobara. (Tabara nationala de fizica - Sinaia - 1986)

Legile celor trei transformari sunt:

AB: p_AV_A = p_BV_B (1)

AC: p_AV^γ_A = p_CV^γ_C (2)

AD: p_AVⁿ_A = p_DVⁿ_D (3)

Pentru transformarea BDC avem p_B = p_D = p_C (4)

Din (3), (1) si (4) avem

iar din (3), (2) si (4) avem

Din (#5), (5) si (6) rezulta ca C < 0. In aceasta transformare (AD) gazul care se destinde produce un lucru mecanic mai mare decat caldura primita, energia sa interna micsorandu-se (∆T < 0). In plus avem o "curiozitate": desi sistemul primeste caldura, temperatura lui scade!

Deducerea ecuatiei politrope

Din primul principiu al termodinamicii Q = DU + L si din definitia caldurii molarerezulta:

nCDT = L + DU (1)

Avand o transformare infinitezimala, adica parametri de stare variaza foarte putin, putem scrie: L = pDV si impreuna cu (#4) obtinem:

nCDT = pDV + nC_VDT (2)

In cele ce urmeaza vrem sa scriem ecuatia (2) in functie de doar doi parametri de stare. Pentru aceasta ne folosim de ecuatia de stare, pe care o scriem starea initiala si in starea finala si apoi le scadem:

pV = νRT → ∆p V + p ∆V = νR∆T (3)

Din (2) si (3) si relatia lui Robert Mayer (C_P = R + C_V) rezulta:

( C - C_V ) ∆p V = ( C_P - C ) p ∆V →

( C - C_P ) / ( C - C_V ) p ∆V + ∆p V = 0 (4)

Cu notatia (*) rezulta: n p ∆V + ∆p V = 0. Aceasta ecuatie se imparte cu "pV":

n ∆V / V + ∆p / p = 0 → n ∑∆V / V + ∑∆p / p = 0 n ln( V_f / V_i ) + ln( p_f / p_i ) = 0 → n lnV_f + ln p_f = n lnV_i + ln p_i → n lnV + ln p = const. → pVⁿ = const. (q.e.d.)