Teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic

Teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic

1. Energia cinetica a unui sistem de puncte materiale si a unui solid rigid.

Teorema lui Koenig pentru energie cinetica.

Prin definitie, energia cinetica a unui punct material de masa m si viteza este data prin relatia:

(32)

Pentru un sistem de puncte materiale de mase , si viteze , energia cinetica se defineste prin relatia:

(33)

Energia cinetica a unui solid rigid se defineste prin relatia:

(34)

unde integrala se considera pe intreg domeniul ocupat de acesta.

Teorema lui Koenig pentru energie cinetica (enunt): Energia cinetica a unui sistem de puncte materiale (rigid) aflat in miscare este egala cu suma dintre energia cinetica a centrului de masa in care se presupune concentrata intreaga masa a sistemului (rigidului) si energia cinetica in miscarea relativa a sistemului (rigidului) in jurul centrului de masa.

(35)

Demonstratie: Se considera sistemul de puncte materiale studiat in paragraful 2.1. (vezi si figura T 1). Folosind definitia (33) si relatia (20) gasim ca:

.

Observand ca (masa sistemului), si ca (energia cinetica in miscarea relativa a sistemului in jurul centrului de masa), se obtine relatia (35).

2. Lucrul mecanic elementar si lucrul mecanic finit al unei forte

Prin definitie, lucrul mecanic elementar efectuat de forta este egal cu:

(36)

unde reprezinta deplasarea elementara a punctului de aplicatie al fortei.

Folosind exprimarea analitica a vectorilor si , in functie de proiectiile lor pe axele unui reper cartezian Oxyz, putem scrie ca:

(37)

Lucrul mecanic finit corespunzator unei forte variabile si unei deplasari finite intre doua pozitii A si B se defineste prin relatia:

(38)

Lucrul mecanic corespunzator unui cuplu de forte, de moment , si unei deplasari unghiulare se defineste prin relatia:

(39)

3. Forme ale energiei cinetice in diferite miscari particulare ale rigidului

3.1. Miscarea de translatie

Deoarece toate punctele au aceiasi viteza la un moment de timp dat rezulta ca:

(40)

unde este masa rigidului iar viteza centrului de masa.

3.2. Miscarea de rotatie

Intr-o miscare de rotatie toate punctele se misca cu aceiasi viteza unghiulara iar modulul vitezei punctului este , unde este distanta de la punct la axa de rotatie. Din ( 33) gasim ca:

(41)

unde este momentul de inertie in raport cu axa de rotatie .

3.3. Miscarea rigidului cu punct fix

Componentele vitezei punctului sunt:

, , .

Observand ca , din (33) se obtine ca:

.

Deci:

(42)

Daca axele reperului mobil Oxyz (O punct fix) sunt axe principale de inertie , atunci:

(43)

3.4. Miscarea elicoidala

Componentele vectorului viteza al punctului pe axele reperului mobil Oxyz sunt:

astfel incat:

(44)

unde este momentul de inertie al rigidului in raport cu axa miscarii elicoidale si M este masa rigidului.

3.5. Miscarea plan - paralela

Componentele carteziene ale vectorului viteza al punctului pe axele unui triedru mobil, solidar cu rigidul, si avand planul Oxy paralel cu planul fix la care se raporteaza miscarea iar originea O chiar in centrul maselor C, sunt:

astfel incat:

,

unde este momentul de inertie al rigidului in raport cu o axa ce trece prin centrul de masa si este perpendiculara pe planul fix iar M este masa rigidului. S-a tinut cont de faptul ca , aceste sume reprezentand momentele statice al rigidului in raport cu planele Cxz si Cyz (a se vedea teorema momentelor statice).

4. Teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic in miscarea unui sistem de puncte materiale sau rigid fata de un punct fix

Enunt (cazul sistemului de puncte materiale) : Variatia energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale intr-un interval de timp infinitezimal este egala cu suma dintre lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare si lucrul mecanic elementar al fortelor interioare, efectuate in acelasi interval de timp:

(46)

Demonstratie: Se considera sistemul de puncte materiale studiat in paragraful 1.2. Inmultind scalar relatiile (7) cu diferentialele vectorilor de pozitie , si adunand relatiile astfel obtinute se gaseste ca:

Cei doi termeni din membrul drept al relatiei (47) reprezinta lucrul mecanic al fortelor exterioare, respectiv lucrul mecanic al fortelor interioare ce actioneaza asupra sistemului:

In plus:

Din (46 - 48) se obtine (46).

Prin integrarea relatiei (46) intre doua momente de timp si se obtine teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic sub forma finita:

(50)

In general lucrul mecanic elementar al fortelor interioare nu este nul, desi fortele interioare sunt doua cate doua direct opuse. Considerand perechea de forte interioare si , , lucrul mecanic corespunzator este:

deoarece si . S-a notat cu viteza relativa a punctului fata de punctul .

Pentru ca este necesar ca . Acest lucru se intampla daca:

- nu exista interactiune intre si ;

- punctul are aceiasi viteza cu punctul (cazul a doua corpuri care se rostogolesc unul peste celalalt fara ca sa alunece);

- forta interioara intre punctele si este perpendiculara pe viteza lor relativa (cazul in care distanta ramane constanta in timpul miscarii, iar punctul descrie o miscare pe o sfera cu centrul in . Viteza va fi perpendiculara pe raza sferei, adica pe dreapta care este suportul fortei ).

In particular, daca sistemul este un solid rigid (distanta dintre oricare doua puncte nu se modifica in timpul miscarii) lucrul mecanic al fortelor interioare este nul.

Se obtine astfel urmatorul enunt al teoremei energiei cinetice si a lucrului mecanic:

Enunt (cazul rigidului): Variatia energiei cinetice a unui solid rigid intr-un interval de timp infinitezimal este egala cu lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare care actioneaza asupra rigidului in acelasi interval de timp:

(51)

Sub forma finita relatia (51) se scrie ca:

(52)

5. Teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic in miscarea unui sistem de puncte materiale sau rigid fata de centrul de masa

Enunt (cazul sistemului de puncte materiale) : Variatia energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale in miscarea acestuia in jurul centrului sau de masa este egala cu lucrul mecanic al fortelor exterioare si lucrul mecanic al fortelor interioare aplicate sistemului, calculate cu deplasarile relative fata de centrul de masa:

(53)

Demonstratie: Se utilizeaza teorema lui Koenig pentru energie cinetica si relatia (20) (vezi si paragraful 1). Din (35) si (46) gasim:

Dar iar

astfel incat din (54) se obtine (53).

Observatie: In cazul rigidului, , astfel incat relatia (53) se reduce la

(55)

ceea ce inseamna ca teorema energiei cinetice si a lucrului mecanic in miscarea rigidului fata de centrul sau de masa va avea aceiasi forma ca la miscarea sa fata de un punct fix (acelasi lucru este valabil si pentru un sistem de puncte materiale).

6. Conservarea energiei mecanice

Fiind data o forta , ea se numeste forta conservativa daca exista o functie scalara astfel incat:

, , (56)

Functia U se numeste functie de forta. Forta si lucrul sau mecanic elementar capata forma:

(57)

(58)

Sa consideram un sistem de puncte materiale la care fiecare forta interioara deriva dintr-o functie de forta.

Astfel, pentru perechea de forte interioare , , , exista functia astfel incat:

,

Lucrul mecanic elementar al fortelor interioare este:

(59)

unde este functia de forta a sistemului si depinde de pozitiile punctelor care formeaza sistemul.

Definim energia potentiala a sistemului prin relatia:

(60)

astfel incat:

(61)

Relatia (46) (forma matematica a teoremei energiei cinetice si a lucrului mecanic) devine:

sau (62)

Suma

(63)

poarta numele de energie mecanica a sistemului.

Daca , se obtine:

constant (64)

Relatia (64) reprezinta teorema conservarii energiei mecanice. Enuntul sau este:

Daca lucrul mecanic elementar al fortelor exterioare care actioneaza asupra unui sistem conservativ este nul intr-un interval de timp, atunci energia mecanica a sistemului este constanta in acel interval.