ANALIZA, SINTEZA SI PROCESAREA SEMNALELOOR DIGITALE

ANALIZA, SINTEZA SI PROCESAREA SEMNALELOOR DIGITALE

Introducere

Scopul lucrarii - este fixarea cunostintelor despre semnalele utilizate in electronica, cu accent pe latura calitativa a studiului.

- sunt prezentate aprofundat doua "studii de caz", dintre care "Tehnica Ferestruirii" este esentiala pentru achizitiile de date in vederea masurilor a procesarilor pentru telecomunicatii, a procesarilor de imagini, etc.

Necesitati hard: calculator compatibil IBM-PC

Necesitati soft: - setul de programare PCDSP ("Digital Signal Processing On Personal Computers")

autor: Oktay Alkin,

Universitatea "Southern Illinois"

Edwardsville - S.U.A.

setul de fisiere de date ce reprezinta

desfasurarea completa a lucrarii de laborator

Memiul programului PCDSP

Sistem

Incarcare Date

Salvare Aritmetica

Citire Adunare

Nucleu DOS Secv+Secv

Lista variabile Const+Secv

Stergere Multiplicare

Tiparire Secv * Secv

Restart Const* Secv

Filtre Conjugat

Filtre RFI Real

Proiectare Imeginar

Analiza Par

Filtre RII Impar

Proiectare Generare

Analiza Rampa

Procesare Fereastra

Extern Rectangulara

Spectre Triunghiulara

Periodograme Blackman

Blackman-Tukey Hamming

Auto-regresiv Hanning

AR-meie mobila

Medie mobila Impuls

Grafice Sin

Variabile Cos

Optiuni Exp

Reset Normal

Incarcare Uniform

Salvare Nelinear

Afisare Amplitudine

Macro Faza

Iesire Sin

Cos

Tg

Exp

Ln

Radical

Reciproc

Procesare

Convolutie

Auto-corelatie

Corelatie

Translatie

Decimare

Inserare 0

Adaugare 0

Transformate

TFR

TFR-Inv

TFD

TFD-Inv

Z-Inv

Editare

Copiere

Basculare

Adaugare

Complex

Indicatii de lucru - Selectiile in meniu si in sub-meniu-uri se fac cu tastele-sageti sau prin tastarea initialei sau majusculei marcate explicit in denumirea pozitiei respective, dupa care se tasteaza <Enter>.

- In fiecare etapa se recomanda afisarea pe ecran a notelor explicative, accesibile prin tastarea <F1>.

Documentatia explicativa pentru lucrarea de laborator - este structurata, dat fiind specificul soft al lucrarii, prin intrepatrunderea - operatiunilor de executat de catre student

(caractere supra-imprimate ("Bold"))

prezentarii teoretice, explicatiilor,

obeservatiilor (caractere normale)

detaliile specifice deutilizare a PCDSP

(caractere cursive ("Italice"))

Modul de lucru - pentru a avea posibilitatea unui studiu calitativ si a face toate observatiile fara consum inutil de timp pentru operare si rulare, desi se recomanda parcurgerea tuturor etapelor din tehnologia lucrarii, se poate apela in caz de dificultate sau, eventual, pentru verificare, la fisierele *.DSP de pe disc ce contin toate rezultatele.

Continutul referatului - un rezumat cuprinzand, principal, operatiile facute; se recomanda respectarea succesiunii din desfasurarea lucrarii , impreuna cu rezultatele masuratorilor si observatiile cerute, fara detaliile de sintaxa prezentate intre paranteze paranteze drepte sau detaliile specifice de utilizare a PCDSP prezentate cu litere cursive si , doar optional, eventuale consideratii teoretice, formule sau reprezentari grafice sumare.

Desfasurarea lucrarii

Sinteza semnalelor - se face in principal, in modul

DATE / GENERARE al PCDSP, fie prin specificare functional-analitica, fie dintr-un set de forme prestabilite sau secvente aleatoare cu distributie normala sau uniforma ( vezi notele explicative, accesibile pe ecran cu tasta <F1>). Propunem ca exercitiu generarea catorva secvente simple.

1.1 Sinteza semnalelor prin transformare z inversa - este o metoda de sinteza indirecta, care va fi detaliata pe o aplicasie din curs. Sintetizam semnalul la iesirea unui system cu esantioane:

(v.aplicatia 3.4, pag108. din curs)

Programul determina ca transformata z inversa a lui Y(z) specificat ca fractie rationala,

, prin inpartire continua nelimitata a numaratorului, notat A(y) a lui Y(y) la numitorul sau, notat B(z), (cu rezultatul aproximativ determinat in aplicasia din curs si din definisia transformatei z ca serie de puteri)

,

Intrarea pentru PCDSP o constituie polinomul A, scris cu puteri pozitive, scris cu puteri pozitive ale lui z, prin intermediul unei secvente ce contine coeficientii puterilor lui z in ordinea descrescatoare a acestora din urma. polinomul B(z) de la numitor, specificat la fel, si numarul de impartirii pe care sa le faca programul, din sirul infinit de impartirii nelimitate (s-au presupus A(z) si B(z) ireductibile), deci n maxim din sirul aproximat.

* Se incarca de pe disc fisierul YA .DSP, ce contine secventa A, specificatie pentru A(z), [SISTEM / INCARCARE <YA_>] si se listeaza coeficientii SISTEM/ TIPARIRE <A, (S(pe ecran))>].

* Se repeta operatiunea pt. YB_.DSP, secventa B. Se pot verifica coeficientii lui B(z) din formula analitica de mai sus

* Se calculeaza transformata z inversa lui Y(z), pentru 6 esantioane care se listeza, se trec in urmatorul tabel si se

Compara cu valorile analitice , ,

(vezi aplicatia din curs)

2. Analiza (identificarea) sistemelor prin metode de corelatie

Identificarea sistemelor, prin determinarea funtiei de transfer care descrie intrare-iesire, se poate nu numai prin determinarea iesirii la intrare tip impuls unitate, ci si prin raspunsul sistemului la alte semnale, dintre care zgomotul alb (metoda exemplificata aici) si treapta unitate (metoda de analiza a sistemelor pe baza raspunsului la treapta unitate se va detalia in lucrarile de laborator urmatoare, in contextul analizei filtrelor).

(vezi paragraf 2.8 curs)

Corelatia

Se aproximeaza (pt )

Zgomotul alb, v(t) [ cu densitatea spectrala de putere, d.s.p, constanta pentru , si cu medie nula (deci si deci si V(0)=0), reprezentabil cantitativ prin abatarea medie patratica , intrucat, in acest caz, pentru F=0, avem evident d.s.p, ] este util in identificarea sistemelor, oferind o metoda practica de determinare a functiei pondere: corelatia intre intrarea de tip zgomot alb si iesirea sistemului, v(t) y(t) reprezinta tocmai h(t) ( cu factorulde proportionalitate ). Calculand , prin integrare intre si

(intrucat spectrul auto- corelatiei zgomotului alb v(t) e constant, egal cu d.s.p, ) rezulta ca autocorelatia zgomotului alb este tocmai impulsul Dirac de inaltime )

Deci

Observatii:

- trebuie evitata confuzia dintre d.s.p constanta a zgomotului alb si spectrul Fourier constant al impulsului Dirac. Doar modulul spectrului Fourier al zgomotului alb e constant.

- corelatia de identificare prezentata anterior , trebuie facuta, din motivele expuse mai sus, cu exact acelasi semnal v(t) care se aplica si la intrarea sistemului analizat, si in aceeasi ordine, intrucat, spre deosebire de convolutie, corelatia nu e comutativa.

- comparativ cu metoda teoretica de aplicare la intrarea sistemului necunoscut a unui impuls cat mai apropiat de impulsul unitate (Dirac) ideal si masurarea iesirii h(t) (difcultati practice de generare si masurare), metoda de identificare prin corelatie are, in compensatie, de rezolvat un calcul, intr-un bloc suplimentar, corelatorul.

* Se incarca de pe disc fisierul HN.DSP si se vizualizeaza secventa HN, cu 30 de esantioane, functia pondere de identificat.

* Se calculeaza si se vizualizeaza secventele HNCONVHN si HNACORHN, continand respectiv HN * HN si HN HN, pentru a observa sondarile reciproce caracteristice convolutiei si corelatiei, reglarizarea (netezirea) introdusa de convolustie, ca si analogia auto-corelatie energie de interactiune a semnalului cu el insusi, cu maximul

HN HN in 0 (energia, propriu-zisa a SEMNALULUI HN) (v. Paragraful2.14 pag.53-curs)

[DATE / PROCESARE / CONVOLUTIE ()AUTO-CORELATIE, < HNCONVHN ) HNACORHN, HN, (HN) >])

Se genereaza si se vizualizeaza secventa ZGOMOT, cu 300 de esantioane, de tip zgomot alb (cu distributie statistica normala), cu medie 0 si abatere medie patratica 1, prin intermediul generatorului de numere aleatoare continut in program:

[DATE/ GENERARE/ NORMAL <ZGOMOT, 0, 1, 300 >]

* Se calculeaza si se vizualizeza (sprea a verifica obsinerea, cu aproximatie, a unui impuls unitate) secventa ACZGOMOT, auto-corelatia secventei ZGOMOT:

[DATE/ PROCESARE/ AUTO-CORELATIE <ACZGOMOT, ZGOMOT >].

* Se calculeaza si se vizualizeaza secventa YYYY de la iesirea sistemului de identificat, prin convolutia intrarii ZGOMOT cu functia pondere HN:

[DATE/ PROCESARE/ CONVOLUTIE <YYYY, ZGOMOT, HN >].

* Se calculeaza si se vizualizeaza secventa HHNN, calculata, pentru identificarea sistemului, drept corelatia ZGOMOT YYYY

(atentie la ordinea de calcul):

[DATE/ PROCESARE/ CORELATIE < HHNN, ZGOMOT ,YYYY >].

* Se vizualizeaza, separat, doar primele 30 de esantioane ale secventei HHNN; spre a putea vedea, comparativ cu HN, , precizia metodei de identificare: [GRAFICE/ OPTIUNE <.. X max >]

Metode de analiza spectrala

3.1 Analiza semnalelor cu Transformata Fourier Rapida

* Se genereaza o secventa "SIN64", de lungime N=64, reprezentand perioada de baza a unei sinusoide redresate

Deci

[DATE/GENERATE/SIN<SIN64, A=1, B=.0490873852, C=0, N=64>]

(se detaliaza un exemplu tratat analitic la seminar (v. Si aplicatia 3.7, pag 133-curs), in care s-au calculat coeficientii seriei Fourier a sinusoidei 0 pentru k impar [perioada efectiva este redresate,

a)0 pt. k impar [perioada efectiva este de 0,5 T(sinusoida neredresata)]

b) -2/ pentru k par

;

* Se vizualizeaza "SIN64" ca secventa discreta, observandu-se numaratarea tipica contextului TFR (SIN64 =sin 0,.)

SIN64=sin

* Se calculeaza "FSIN64", TFR a secventei "SIN64":

[DATE/ TRANSFORMARE/ TFR<FSIN64, SIN64>]

* Pentru comparare cu coeficientii seriei Fournier , in acest caz particular in care perioada efectiva e jumate din perioada luata in calculul seriei Fourier, [](m)/N) se imparte "TFR64"la 64: [DATE/ ARITMETICA/ MULTIPLIFICARE/ CONSTANTA<TRF64, TRF64, 0.015625 (=1/64)>]

* Se listeaza pe ecran PSIN64: [SITEM/TIPARIRE/ <FSIN64, S>]

* Considerand partea imaginara nesemnificativa (spectrul unui semnal real e real), se compara primele 4 valori cu . t

* Se pregateste FSIN64 pentru repzentare grafica (sunt admise doar secvente reale): [ DATE/ ARITMETICA/ REAL <RFSIN64,FSIN64>] si se face reprezentarea grafica, observand simetria fata de N/2, provenita din simetria fata de N/2 a secventei SIN64; deci, pentru aproximarea coeficientilor seriei Fournier, trebuie considerata doar 1-a jumatate a secventei FSIN64.

* Se decimeaza SIN64, obtinandu-se SIN32:

[DATE/ PROCESARE/ DECIMARE <SIN32,SIN64,2>] si se reiau etapele de analiza de mai sus, observand, cresterea erorilor de aproximare.

* Se continua decimarea (SIN16, SIN8, SIN4) reland doar listarea valorilor, pentru comparatie (inclusive cu calculele de la seminar, pt. N=4).

3.2. Calculul densitatii spectrale de putere

3.2.1 Metoda periodogramelor se bazeaza pe teorema Weiner-Hincin: Spectrul Fourier al auto-corelatiei este densitatea spectrala de energie: (veyi paragraph 2.14, pag 53 din curs)

Interpretarea lui ca densitate spectrala de energie rezulta din teorema Parseval (varinata Razleigh pt. semnale complexe) (vezi paragraful 1.1, formula 1.8, pag.6 din curs).

si se numeste energia semnalului x(t)

Se justifica astfel calculul aproximativ (estimativ) al densitatii spectrale de putere ca "periodograma":

(unde F e frecventa normata ).

Impartirea la N (durata normata a duratei ferestrei de observatie ). Face trecerea de la densitate spectrala de energie din formulele de mai sus la d.s. de putere.

Pentru semnale nedeterminate (prezentate in detaliu la cursul de Tehnica Transmisiunii Informatiei), se poate arata ca abaterea medie patratica a estimatului d.s.p. de mai sus nu se anuleaza cand , dar scade daca se calculeaza d.s.p. ca medie a d.s.p. (metoda Welch a periodogramelor mediate) calculate pe segmente de lungime N din secventa de lungime N care se suprapun pe cate L esantioane la capete (nu trebuie neaparat ca N-L sa fie multiplu de M-L):

3.2.2 Metoda Blackman-Tukez - contine calculul bazat direct pe teorema Wiener-Hincin, al autocorelatiei (pe suport aproximat la m=-M, .,M) si apoi al spectrului acesteia, cu impartire la durata secventei:

Metoda estomarii spectrale auto-regresive - contine calulcul aproximativ al unui filtru digital recursive, cu o functie de transfer fara zerouri in planul z, care, cu zgomot alb la intrare, sa furnizeze la iesire secventa de date respectiva.

Zgomotul alb, prezentat anterior vezi si notatiile convenite) este util in acesta metoda prin relatia spectrala de tip produs algebric dintre intrare- functie de transfer-iesire, scrisa pentru d.s.p:

Particularizata:

Intrucat calculul filtrului, prin , duce la un rezultat direct proportional, prin , cu d.s.p cautata.

Se calculeaza un filtru, ales doar cu poli in planul z,

pentru simplificarea sistemului de ecuatii recursive "regresiv" corespunzator:

Dindu-se secvanta de intrare , , ;I ordinal N al filtrului, se calculeaza coeficientii al filtrului (evident adaptat la forma semnalului de la iesire) si (care reprezinta cantitativ zgomotul alb de la intrare); coeficientul se zice "coefficient de reflexie". Cu se calculeaza direct si apoi estimatul d.s.p.

Implementarea metodei se face prin 2 algoritmi de calcul care difera mai ales in modul de rezolvare a sistemului recursive de tip "predicsie liniara" de mai sus: algoritmul Yule-Wlaker si algoritmul Burg, dintre care utilizatorul este invitat sa aleaga.. In ambele cazuri, Akaike a demonstrate ca, pentru o estimare optima a d.s.p., dintre valorile lui M trebuie aleasa cea pentru care rezulta minim.

3.2.3 Metoda estimarii spectrale auto-regresive cu medie mobila e o varianta a celei prezentate anterior, de data aceasta cu filtru digital fara poli in planul z,

, sistemul de ecuatii generic , rezolvandu-se prin metoda Durbin, care include o etapa Yule-Walker de ordinal I.

L este "mobil" (poate fi ales de utilizator) .

4.Tehnica ferestruirii

Prelucrarile in timp real asupra semnalelor oarecare esationate tipice in telecomunicatii digitale, masirari, si achizitii de date, procesari de imagine, etc., necesita observatii finite, de lungime N (limitat inferior de caracteristicile domeniului specific de semnale de procesat si superior de costuri/tehnologie).

Pe langa filtrarea spectrala de garda asupra semnalului, (FTJ la )conform criteriului Nyquist), se impune deci si o filtrare temporala de garda (trunchiere in timp, pe care o vom numi "ferestruire" pentru a deosebi de filtrarea spectrala) la N esantioane/ observatie, de exemplu pentru un transformator Hilbert sau Fourier numeric de ordin N.

Semnalul de procesat va fi deci aproximat prin trunchiere. In urmatoarea "fereastra temporala" de lungime se face o noua observatie (achizitie), urmata de un nou calcul de procesare.

In general , pentru a spori viteza de prelucrare la un anumitN, sau a permite marirea lui N la aceeasi viteza de prelucrare, achizitia unei noi secvente se face in pararlel cu calculul secventei precedente (viteza de achizisie e in general mai amre decat viteza de calcul).

Trnchierea propri-zisa (retinerea a N esantioane pastrandu-le intocmai valoarea) are unele dezavantaje tipice seriilor Fourier trunchiate, cu care asemanarea se face pe baza dualitatiii timp-frecvanta. Astfel, seriile Fournier trunchiate la un numar finit de coeficientii spectrali, aproximeaza neconvenabil discontinuitatea semnalelor periodice. Pentru un tren de impulsuri dreptunghiulare periodice, semnalul aproximat sintetizat cu un numar finit de coeficienti spectrali are supracresteri in aproximarea flancurilor care nu scad sub 17 %, chiar dac[ num[rul de coeficient cu care sintetizam aproximantul creste si supracesterea devine tot mai ingusta - "fenomenul Gibbs".

Semnalul sintetizat cu un numar finit de coeficienti spectrali corespunde in spectru cu o trunchiere (ferestruire) dreptunghiulara deci aproximantul convolutia aproximantului cu sinus cardinal, ondulatiile aproximantului si supracresterile in dreptul falncuriloe fiind datorate laobilor laterali destul de pronuntasi pe care ii are sinus cardinal.

Dual, trunchiereain timp de tip fereastra dreptunghiulara corespunde cu supracresteri spectrale nedorite.

Se justifica deci utilizarea trunchierii temporale, cu ferestre de pondere optimizate pe diferite criterii.

Regularizarea prin convolutie este nedorita daca se doreste rezolutie mare in evidentierea oricarei discontinuitati spectrale.

Pentru rezolutie mare, trebuie ca lobul principal al spectrului ferestrei sa fie foarte ingust - durata mare a ferestrei)

Pentru ripluri mici trebuie ca lobii laterali ai spectrului ferestrei sa fie foarte scunzi(- netezime mare a ferestrei in timp).

Cele doua cerinte sunt contradictorii: plecarea/sosirea in extremitatii cu netezime cat mai mare (derivate nule pana la un ordin tot mai mare) inseamna racordare cu un clopot central al ferestrei tot mai ingust (deci locul central al spectrului se lateste)

O apreciere globala a ferestruirii x(t)f(t) a unui semnal x(t) cu o fereastra f(t) este data de abaterea spectrala.

A(w)=[X(w)*F(w)]-X(w)

Caracterizarea spectrala a ferestrei se face si cu parametrii:

b - frecventa la care lobul principal cade la valoarea de varf a lobilor laterali (in unitati logaritmice, normata prin inmultire cu durata ferestrei)

a1) - valoarea de varf a lobilor latrali (in [dB], relative la valoarea de varf a lobului central

a2) - valoarea lobilor laterali la frecventa relativa 64 (la care se poate considera ca s-a atins comportamentul asimptotic an descresterea lobilor laterali.)

d - panta de descrestere asimptotica a anvelopei lobilor laterali (in dB/ octava sau dB/Decada cu scarile de reprezentare de mai jos)

Considerand ferestruirea unui semnal esantionat

, putem, asociativ, ca consideram prelucrarea in asamblu ca produs, sa consideram prelucrarea in ansamblu ca produs al x(t) cu fereastra esantionata:

si deci spectrul semnalului esantionat si ferestruit este:

a)      Fereastra dreptunghiulara

("nucleul Dirichlet" care va fi evidentiat si in calculul spectral al celorlalte ferestre

Pe langa ferestra dreptunghiulare (Dirichlet) amintim, fara sa detaliem, o alta fereastra simpla, fereastra triunghiulara (Bartlett), de tip rampa descrescatoare utilizata si ea in analizele nepretentioase (ale proceselor (semnalelor) liniare)

b) Ferestrele in (natural, usual antre 1 si 4)

Au avantajul unei generari simple si al unei identificari proprietarilor transformatiei functiilor cosinus.

(deci fereastra Dirichlet e cazul particular pt. a=0)

[un semnal inrudit, utilizat pentru aproximarea impulsurilor, este "cosinus ridicat", egal cu pentru si 0 in rest]

Pe langa fereastra , mai importante sunt:

b1) Fereastra Hanning (cosinus patrat) - pt. a=

- se numesc nuclee translatate, localizate in primele zerouri ale nucleului central si in opozitie de faza cu lobii laterali si acestuia anularea partiala a lobilor laterali si se foloseste principiul ferestrelor

b1 ') Fereastra Hamming derivate din fereastra Hanning pe principiul anularii partiale a lobilor laterali

(fereastra Hanning e caz particular al ferestrei Hamming pt.

b1'')Fereastra Hamming propriu-zisa respecta conditia

Principal, 1-ul lob lateral care poate fi anulat e centrat in jurul lui [si nu la care ramane in lobul principal latit (acesta latire e dezavantajul complementar avantajului dat de netezirea spectrului ferestrei)].

Asa se ilustreaza mai jos, maximele celor doua spectre laterale sinc adaugate la dreapta si la stanga nucleului central sinc Dirichet, compenseaza cu primul si, respectiv, cel de-al doilea minim local, maximul local principal de la , anuland astfel la aceasta pulsatie. Se obtine profilul spectral scontat, netezit, dar cu o latime a lobului central.

Considerand, aproximativ, ca extremele locale alea celor trei functii sinc sunt la , ecuatia de compensare este

Astfel ca fereastra Hamming propriu-zisa e

Fata de fereastra Dirichlet, imrautatirea b (desi lobul central se lateste practic cu mai putin de fata de fereastra Dirichlet caci b e raportat la 1-ul lob lateral care scade semnificativ) e insotita de o importanta (de peste 30 de ori) a atenuarii lobilor laterali.

c) Fereastra Blackman

Ferestrele Blackman reprezinta deci generalizari ale celor prezentate pana acum:

Dirichlet:

: se calculeaza din coeficientii binomului Newton de dezvoltare ()

Hanning:

Hamming:

(pt. Fereastra propriu zisa,

In general se calculeaza pentru anularea partiala a lobilor laterali. Pentrua realize un lob principal ingust, numarul coeficientilor nenuli trebuie sa fie cat mai mic. Atfel, cu primii 3 coefienti nenuli, anuland spectrul in centrele primilor 3 lobi laterali, la si , se obtine aproximativ.:

(intrucat 0,42-0.5+0.08=0, la limita de prelungire periodica, fereastra Blackman aproximativa e nula).

In acest context, deasemenea cu o caracteristica de tip clopot, amintim si
d) Fereastra Gauss:

(f(t, deci si F(w) sunt "clopote" Gauss))

Pt. si w mic, se aproximeaza:

Pentru r= , si d=6 dB/octava.

e) Ferestre adaptate la domeniul semnalelor de analizat

e1) Ferestre Tseng - se determina prin impunerea unor conditii de latime a lobului principal si inaltime a lobilor laterali, eventual cu frecvente impuse de anulare, (care permit, de exemplu, o rezolutie sporita in vecinatatea imediata a liniilor spectrale principale ale semnalului x(t) de analizat), spectrul ferestrei fiind deci incadrat intr-un gabarit de tip"filtru trece jos" si sintetizat pe tipicul teoriei electrice, cu polinoame Cebisev.

Fereastra temporala se determina de aici prin transformarea Fourier inversa.

e2) Ferestre Kaiser-Bessel - dintre ferestrele de aceeasi durata, aceasta e adaptata la semnalele cu durata respectivasi o anumita banda. Formula ei , in care e considerata banda, a fost detrminata de Kaiser cu ajutorul functiei Bessel de primul ordin modificata.

e3) FErestre Papoulis - sunt adaptate la profilul spectral al semnalelor de analizat, specificat prin dispersia (abaterea medie) minim a spectrului. La o durata data, fereastra cu dispersie minima e data de formula Papoulis, cu variantele ei sub-optimale Tukez si Parzen.

4.2 STudiul experimental al ferestrelor uzuale

Modul de lucru

Se face scarii de frecventa la inmultind frecventa normata (la ) a periodogramei, NFREQ, cu durata ferestrei (normata la ), obtinandu-se frecventele F.

Pentru determinarea si b se recomanda utilizarea unor ferestre scurte, astfel ca spectrul calculate, intre 0<NFREQ< sa cuprinda doar 1-a decada a lui F, pentru a se putea observa mai bine detaliile (pentru tipurile de ferestre prezentate cantitativ mai sus, valoarea de varf a lobilor laterali e in decada 1<F<10). Durata ferestrei se alege deci in jur de 10/0,5=20.

Propunem , mai convenabil d.p.d.v al criteriului Nyquist.

Pentru determinarea si d se recomanda utilizarea unor ferestre cu spectrul calculate mult peste limita F=64, intrucat zona frecventelor extreme, ,e afectata de alierea la capatul benzii esantionare si periodizare in vederea analizei TFD(TFR). Se recomanda deci . Propunem

Pentru calculul d, se poate trece, desi nu e obligatoriu, la reprezentare logaritmica si pe scara frecvenselor, pe calea DATE / NELINIAR/ LOG [reprezenatarea e utila si pentru a vedea asimptota (-anvelopa) liniara la frecvente mari].

Pentru a evita saturarea la -100 dB pe curba d.s.p introdusa de program, pentru determinarea d se recomanda o inmultire cu 1000 a ferestrei (cel putin pentru Blackman si Hanning), inaintea calcului periodogramei:

[DATE/ ARITMETICA/ MULTIPLICARE/ CONSTANTA< >]

In lipsa unor cursoare de trasaj parallel cu axele, determinarile pe graphic se pot face si prin optiunile (GRAFICE/ OPTIUNI /) X,Y; min,max alese pe coordonata reprezentativa pentru sau, incadrand (dupa o pre-vizualizare cu optiunile "Auto") punctele de interes in fisii convenabil delimitate, tinand cont ca grila are 5 x 5 linii (ex. pentru a masura d.s.p. de -32, 5 dB la F=2,1 poate fi

convenabila Y min. = -35, Y max. = -30 si

X min. X max. = 2 etc. )

Pentru determinarea lui d, se recomanda incadrarea intre

min. 45 si X max. = 90 (deci o octava, in al carei centru geometric se afla

Masuratori in laborator

* Se genereaza, se vizualizeaza si se studiaza experimental ferestrele Dirichet, Bartlett, Blackman, Hamming si Hanning:

- DATE/ GENERARE/ FEREATRA/ <tip>, apoi

- SPECTRU/ PERIODOGRAMA ..<ferestruire rectangulara>,

<scalare logaritmica>..

* Se completeaza tabelul

* Se genereaza un semnal "xma" cu modulatie de amplitudine, banda laterala + purtatoare (MA BLD+P),

- de lungime , (N= )

- cu purtatoare cosinusoidala, "xp", 25 perioade/secvente:

- observatie: alegand un semnal cu (anti - ) simetrie fata de N/2, spectrul aproximat e    simetric , ca si cel al semnalului ne-aproximat

Parametrul si se numeste pulsatia normata:

observatie: pentru a respecta conditia Nyquist, trebuie ca F<0,5, deci

W(=B) , dar se recomanda o valoare mult mai mica, (cu cel putin un ordin de marime) data fiind aproximarea suplimentara introdusa de fesretruire.

[DATE/GENERARE/ COS <XP, A=1, B=0.30679616, C=0 >]

- cu semnal modulator, "xm", 2 perioade/ secvanta:

[generat analog cu "xp"]

- cu indice de modulatie m=0,4 ["xm" se prelucreaza prin:

- inmultire cu 0,4: DATE/ ARITMETICA/ MULTIPLICARE/ CONSTANTA <XM,XM,0,4>

- sumare cu 1: DATE/ ARITMETICA/ ADUNARE/ CONSTNATA <XM,XM,1>

- "xma" se obtine prin produsul "xp" cu "xm":

[DATE/ ARITEMETICA/ MULTIPLICARE/ SECVENTA <XMA,XP,XM>]

* Se calculeaza periodograma, cu ferestre Dirichlet si Hanning:

[SPECTRU/ PERIODOGRAMA <Segment'512, R, (respectivA),>

(scara liniara pt. d.s.p.:)1, XDXMA (respective XAXMA)]

* Se reprezinta graphic cele doua periodograme (e sufiecient si "plot direct <F2>), obserervand:

- dezavantajul ferestrei Hanning: - pierderea rezolutiei spectrale cu latimea zonei spectrale din jurul frecventei ourtatoare pana la inglobarea celor doua benzi laterale, si

- avantajul ferestrei Dirichlet (rezolutia) (pentru aceasta se poate comuta intre trasarea continua si discreta a pectrului, cu GRAFICE/ OPTIUNI/ C (respective D),..

(e sufiecient pt. comutare sa tastati <ESC> dupa ce ati mai coborat 1-2 pozitii in sub-meniul GRAFICE/ OPTIUNII), observand in spectrul d.s.p discret XDXMA purtatoare si cele doua linii spectrale laterale.

* Se verifica pe spectrul d.sp. discret XDXMA, ca cele doua linii spectrale laterale au inaltimea aproximativa

(m/2 in spectrul Fourier ) relative la purtatoare

Observatie: Cu acest exemplu nu se poate observa celalat aspect, al metezimii spectrului [fara prezenta unor ripluri care indica compenente spectrale false (desi, la spectrele "netede" obtinute cu celelalte ferestre, latimea zonelor spectrale inseamna tot componente spectrale false ], care, in mod dual, face ca fereastra Hanning sa fie mai avantajoasa, asa cum se poate vedea din studiul comparative urmator.

Pentru a preveni astfel de pierderi de rezolutie, e indicata, pe de-o parte ridicarea curbei logaritmice a d.s.p si , pe de-alta parte, prelungirea observatiei asupra semnalului analizat (spectrul propriu va intra in convolutie cu spectrul mai ingust al unei ferestre de durata mare, al carui lob principal e mai ingust decat pasul rezolutiei spectrale cerute)

* Se dubleaza lungimea secventei "xma":

[DATE/ EDITARE/ ADAUGARE <XMA2,XMA,XMA>], observand ca noua periodograma, "XAXMA2", cu fereastra Hanning, deceleaza cele 2 BL.

Studiu comparativ al ferestrelor

* Se genereaza o secventa "CC" de lungime N=256, cu spectrul cu 2 linii egale la F=0 si F=5/256=0,1953125: cu 0,122718463 (5 perioade/secventa):

[DATE/ GENERARE/COS<CC, A=2, B=0 , C=0>, apoi

DATE/ ARITMETICA/ ADUNARE/ CONSTANTA <CC,CC,1>]

* Se calculeaza periodogramele XDCC, XTCC; XBCC,XHCC si XACC, ale lui CC, cu toate tipurile de ferestre si scara logaritmica <..tip2..> pentru d.s.p

* Se vizualizeaza comparative cate doua perodograme, intre X min 0 (sau "Auto") si (), notand observatiile facute si ordinea descrescatoare pe criteriile de optim:

a) rezolutie, b)1-ul riplu c) latirea zonelor spectrale

Verificari de consistenta TFR - periodograme d.s.p

* Se genereaza o secventa dreptunghiulara "DREP" de lungime N=32 (durata relative scurta )spectru relative larg, mai usor de observat) :

[DATE/ GENERARE/ FEREASTRA/ RECTANGULARA <DREP,64>]

* Se calculeaza "XDREP", periodograma d.s.p a lui DREP, cu scara liniara (tip 1):

[SPECTRU/ PERIODOGRAMA <DREP, R, 1, XDREP>]

* Se calculeaza "RXDREP", radical din XDREP, pentru a obtine, conform teoremei Wiener-Hincin, estimatul modului spectrului:

[DATE/ NELINIAR/ RADICAL <RXDREP,XDREP>]

* Se prelungeste DREP, la N=512 esantioane, cu secventa de (512-32=)480 esatioane 0 (pentru a obtine o secventa TFR de 512 esantioane, din care 1-a jumatate, avand exact 256 esantioanem cat lungimea fixa a perodogramelor, sa poata fi comparata cu RXDREP):

[DATE/ PROCSARE/ ADAUGARE/ 0<DREP, DREP >]

observatie: spectrul TFR sau d.s.p. a unui semnal ( inerent de tip impuls generalizat - cu support finit - in contextual acestui set de prohrame) nu se modifica prin prelungirea lui la stanga sau la dreapta cu secvente 0, intrucat ferestruirea se face cu aceeasi functie de latime N=256 (spectrul exact e aproximat prin convolutie cu un acelasi spectru al ferestrei).

* Se calculeaza "FDREP", TFR a lui "DREP":

[ DATE/ TRANSFORMARE/ TFR <FDREP, DREP>] si apoi modulul sau, "MFDREP": [DATE/ NELINEAR/ NODUL/ <MFDREP, FDREP>], care se trunciaza la 256 de esantioane:

[DATE/ EDITARE/ COPIERE/ <MFDREP, MFDREP, 0, 255>], pentru a putea fi repezentat pe acelasi graphic cu RXDREP, spre comparatie.

* Se recomanda normarea aproximativa (nu exact caci apare suprapunerea curbelor) a MFDREP si RXDREP la valorile lor maxime, pentru o mai usoara comparatie, si apoi reprezentarea lor pe acelasi grafic:

[GRAFICE/ VARIABILE < MFDREP, RXDREP>]

5)Procesarea semnalelor

Procesarea semnalelor e tratata de programul PCDSP drept convolutie cu o secventa oarecare ce poate fi asimilata si cu functia pondere temporala (raspunsul la impulsul unitate) a unui filtru digital.

* Se incarca de pe disc fisierul HTLB si se vizualizeaza secventa HTLB care contine functia pondere temporala (raspunsul la impulsul unitate) a unui transformator Hilbert digital de ordin 63 (obtinut ca filtru RFI, cu secsiunea FILTRE a setului de programare PCDSP, care va fi aprofundata in urmatoarele lucrari de laborator). Formula analitica a functiei pondere, pe baza careia secventa HTLB se poate obtine si direct, dar mai laborios, este:

v. paragrafele 3.9 (si 2.15) din curs,

generata in HTLB prin translare pentru centrare pe n=31 (in vederea acestei centrari
s-a ales impar).

Reamintim ca, la observatii / achizitii / procesari pe secvente de N esantioane, se recurge adesea la centrarea temporala conventionala pe N/2 pentru a putea trata si aspecte de paritate sau cauzalitate in domeniul temporal.

Dual, in TFR (si in periodogramele d.s.p. de 512 linii, calculate (doar) pentru secvente complexe ), in a doua jumatate a secventei se gaseste, translata cu N pozitii la dreapta, zona spectrala a frecventelor negative.

* Se genereaza secventa cosinusoidala COS1 cu (w cos = ) , avand 7 periode si 200 esantioane (nr. impar de perioade si 199 in loc de 200 la numitorul lui B - pentru simetrie perfecta, cu axa centrala la (n)=intrucat n=0,,,199):

[DATE/ GENERARE/COS <A=1, B=0,221016568, c=0,200>]

* Se calculeaza si se vizualizeaza transformata Hilbert a lui COS1, prin trecerea secventei COS1 prin filtrul digital RFI - transformator Hlbert (posibila si in modul filtru / procesare) realizata prin convolutia COS1HTLB=COS1*HTLB:

[DATE/ PROCESARE/ CONVOLUTIE <COS1HTLB, COS1,HTLB>],

Se observa ca

* Se elimina din portiunile de trecere de la inceputul si sfarsitul COS1HTLB cate 31 de esantioane (pentru a reveni la lungimea 200, in vederea comparatiei cu COS1, pastrand pentru aceasta si centrarea)

[DATE/ EDITARE/ COPIERE <COS1HTLB,COS1HTLB,31,230>]

* Se reprezinta, pe acelasi graphic, COS1HTLB si COS1, observand defazarea introdusa de transformatorul Hilbert

[GRAFICE/ VARIABILE <COS1HTLB, COS1>]

* Se revine la procesarea propriu-zisa, calculandu-sesemnalul asamblat BLU, ca secventa SSSBLU avand ca parte reala SSSS si parte imaginara SSSPHILB:

[DATE/ EDITARE/ COMPLEX < SSSBLU, SSS, SSSPHILB>]

* Se calculeaza si se vizualizeaza periodograma d.s.p. XSSSBLU a lui SSSBLU, observandu-se , comparativ cu XSSSPC, ca a ramas doar singura BL din banda de baza , dar cu amplitudine dubla, filtrarea celeilalte BL fiind perfecta.

* Se verifica corectitudinea si precizia procesarii de mai sus introducand o mica eroare; se incarca de pe disc fisierul SP2_.DSP si se vizuasizeaza secventa SP2, de aceeasi lungime 262, care reprezinta SSSS cu o mica translatie, de 1 esantion.

* Se calculeza si se vizualizeza periodograma d.s.p XSB a lui SB, observandu-se, comparativ cu XSSSPC si XSSSBLU, prezenta RBL.

Daca setul de programe PCDSP ar fi implementat si convolutia ciclica de ordin N, ar fi fost legatura intuitiva dintre secventa de intrare, tip cos, cu perioada N li iesirea prin functia pondere tip ctg a transformatorului Hilbert.

5.2 Procesarea digitala BLU

Prezentam un "studiu de caz al procesarii digitale BLU a unui semnal BLD prin metoda defazarii cu transformator Hilbert."

Cele doua BL sunt benzile spectrului de baza, cea de la frecvente positive [care va ramane in aceeasi pozitie in spectrul BLU dar cu valoare dublata (avand deci aceeasi energie cu semnalul BLD initial)] si cea de la frecvente negative (care va dispune din spectrul BLU ).

A nu se confunda acesta procesare cu MA-BLU in care poate fi insa inclusa ca baza de implementare, pentr obtinerea semnalelor MA-BLU si a multiplexarilor aferente cu diviziune in frecventa cu utilizare de doua ori mai eficienta in telecomunicatii a sptiului de frecvente alocat decat la MA simpla.

* Se incarca de pe disc, din fisierul SSSP_DSP si se vizualizeaza secventa SSSP reala, construirea pentru a avea BL spectrale (simetrice caci semnalul e real) net conturate, aproximativ dreptunghiulare.

Pentru a obtine BL net conturate recurgem la o mica deplasare din zona F=0 prin multiplicare in timp cu o secventa conisuidala, deci o "MA de produs" auxiliara, care trebuie confundata, asa cum am aratat, cu MA cu purtatoare de inalta frecventa pentru telecomunicatii.

Pentru a obtine BL aproximativ dreptunghiulare, semnalul temporal "modulator", de baza, e de tip sinus cardinal cu pulsatia normata de lungime N=200, constituit dintr-o secventa SINC (dintr-o secventa SIN de 99 esantioane, (initial de 100 esantioane dar, cu eliminarea primului prin editare/ copiere a esantioanelor 1-99) impartita la o secventa RAMPA de 99 esatioane [incepand de la valoarea 1(pentru a evita o impartiere ulterioara la 0 in constituirea SINC) cu increment 1], impartirea facandu-se indirect prin inversarea valorilor rampei in modul nelinear/ reciproc si apoi prin inmultire cu SIN.

Completam SINC cu 1-ul esantion; de valoare 1, (constituim o secventa UNU (cu 1 esantion de valoare 1) de tip impuls, la care sa adugam, in modul editare/ adaugare,secventa SINC.

Pentru o perfecta simetrie, generam secventa CNIS, simetrica (si in denumire) cu SINC, prin editare/basculare, si apoi secventa globala SSS prin con-cantenare CNIS si SINC, prin editare/adaugare.

Purtatoarea COS e cosinusoidala cu ( avand 31 de perioade si 200 esantioane (nr.impar de perioade 199 in loc de 200 la numitorul lui B- pentru simetrie perfecta, cu axa centrala la (n)=99,5)-intrucat )

n 0,.,199)

Simulam MA de produs, obtinand SSSP prin inmultirea secventa a SSS si COS.}

* Se viyualizeaza periodograma BLD al lui SSSP, continuta in secventa XSSSPC, din fisierul XSSSPC_.DSP care incarca de pe disc.

* Se calculeaza transformata Hilbert a lui SSSP, prin trecerea secventei SSSP prin filtrul digital RFI - transformata Hilbert

(posibila si an modul filtru / procesare) realizata prin convolutia SSSPHTLB=SSSP*HTLB:

[DATE/ PROCESARE/ CONVOLUTIE/ <SSSPHTLB, SSSP, HTLB>].

* Se vizualizeaza SSSPHTLB, spre comparasie cu SSSP. (Secventa SSSPHTLB e disponibila si in fisierul SSSPHTLB.DSP de pe disc)

Se observa ca

* Se incarca de pe disc fiserul SSSS_.DSP, si se vizualizeaza secventa SSSS care reprezinta modificarea SSSP pentru procesarea ulterioara BLU, prin prelungirea la aceeasi lungime cu SSSPHTLB, pastrandu-l insa centrat , deci prin adaugare a cate 31 esantioane 0 la stanga si la dreapta (modul procesare/ -transalatie si - adaugare 0).

* Se incarca de pe disc fisierele SSSS_.DSP si SSSSHTLB. DSP ce contin trunchierea simetrica a secventelor SSSS, cu cate 3 esantioane, la sanga si la dreapta (realizata in modul editare/ copiere) pentru la lungimea 256(putere alui 2), in vederea TFR.

* Se calculeaza secventele FSSSSS si FSSSSH ce reprezinta TFR a secventelor SSSS si transformatei sale Hilbert, SSSSHTLB.

[DATE/ TRANSFORMARE/ TFR]

* Se verifica faptul ca transformatorul Hilbert digital e un defazor de banda larga (verificarea anterioara a defazorului s-a facut doar pentru o singura armonica, listand pe ecran FSSSSS si FSSSSH,

[SISTEM/ TIPARIRE <FSSSSS, S>, etc], alegand 3 perechi de esatioane spectrale, de exemplu cele numerotate 30 in liste si completand (cu doar 3 cifre exacte si cu o reprezentare grafica fazoriala aproximativa ) tabelul comparativ:

Exercitii - Se propun ca exercitii dezvoltarea unor exemple care sa prezinte si alte aspecte calitative ale analizei temporale si spectrale a semnalelor, de exemplu:

- Discontinuitate in semnal (/sau intr-o derivata de-a lui)

Prezenta in derivata (/ de ordin superior)

Spectru infinit

Semnal / spectru abrupt (derivate mari)

spectru/ semnal neted (derivate mici)

[la limita, ]

Simularea cu PCDSP a unui semnal MF

Interpolarea a doua secvente (intreteserea esansioanelor)

Evidensierea alierii spectrale la sub - esantionare, etc.