Aspecte fundamentale ale stabilitatii SEE

Aspecte fundamentale ale stabilitatii SEE

In contextul dezvoltarii interconexiunilor dintre sistemele electroenergetice nationale, sistemele electroenergetice actuale reprezinta unele din cele mai extinse si complexe sisteme create de om.

Un sistem electroenergetic este un sistem dinamic supus in permanenta unor perturbatii. Acestea pot fi clasificate in doua categorii in functie de marimea lor (care influenteaza metoda de calcul si predictia instabilitatii):

perturbatiile mici: sunt acele perturbatii care permit liniarizarea sistemului de ecuatii care modeleaza comportamentul dinamic al sistemului, in jurul punctului initial de functionare. Asemenea perturbatii, cum ar fi mici variatii ale puterilor consumate sau generate, apar frecvent in sistemul electroenergetic.

perturbatiile mari: sunt acele perturbatii care nu permit liniarizarea sistemului de ecuatii neliniare care modeleaza comportamentul dinamic al sistemului electroenergetic. Astfel de perturbatii sunt provocate de scurtcircuitele trifazate, conectarile sau deconectarile de echipamente (transformatoare, linii si generatoare electrice), de consumatori de mare putere sau parti ale retelei de transport.

Datorita complexitatii sistemului electroenergetic, perturbatiile determina dinamici sau procese tranzitorii care evolueaza in intervale de timp diferite in functie de natura lor (de la ordinul microsecundelor pana la ordinul zecilor de minute sau al orelor).

Pentru studiul stabilitatii este inadecvata utilizarea unui model global care sa tina cont de toate tipurile de fenomene deoarece apar dificultati legate de timpul si metodele de calcul. In practica sistemelor electroenergetice procesele dinamice se impart in urmatoarele trei clase:

1. dinamici ultrarapide - se desfasoara in intervale de timp de ordinul micro sau milisecundelor si sunt aferente proceselor din retelele electrice de transport, statorul generatoarelor;
2. dinamici pe termen scurt - se desfasoara in intervale de timp de ordinul secundelor si sunt aferente proceselor tranzitorii electromecanice si electromagnetice din rotorul generatoarelor, motoarelor sincrone si asincrone;
3. dinamici lente ( pe termen mediu si lung) - se desfasoara in intervale de timp de ordinul minutelor, respectiv zecilor de minute si sunt asociate produselor de restabilire a sarcinii datorate actiunii transformatoarelor cu reglaj sub sarcina, limitarii curentilor din statorul si rotorul generatoarelor sincrone, proceselor din turbina si din cazan.

In dezvoltarea modelelor pentru studiul stabilitatii sistemelor electroenergetice se neglijeaza fenomenele tranzitorii ultrarapide si se modeleaza doar procesele dinamice tranzitorii si cele pe termen mediu si lung (ipoteza regimului cvasisinusoidal). In aceste conditii, modelul matematic care descrie comportamentul dinamic al sistemului electroenergetic este constituit din:

un set de ecuatii diferentiale aferente grupurilor generatoare si sistemelor de reglare automata ale acestora, motoarelor sincrone si asincrone de mare putere care sunt modelate individual;

un set de ecuatii algebrice format din ecuatiile statorice ale generatoarelor sincrone, ecuatiile bilantului de puteri in nodurile retelei electrice de transport;

Acest model matematic mai este cunoscut sub denumirea de "modelul EAD".

Stabilitatea sistemelor electroenergetice se defineste prin capabilitatea acestora de a ramane intr-o stare de echilibru dupa aparitia unei mici perturbatii si de a reveni intr-o stare de echilibru acceptabila dupa aparitia unei perturbatii mari.

In cazul perturbatiilor reale de mica sau mare amplitudine care determina tranzitia sistemului catre o noua stare, pentru evaluarea stabilitatii, se introduc conceptele de stabilitate locala, stabilitate finita si stabilitate globala.

Stabilitatea locala se refera la comportamentul sistemului in jurul punctului de echilibru corespunzator starii analizate si este asociata cu micile perturbatii. Metoda de analiza folosita este liniarizarea modelului EAD si se utilizeaza analiza modala pentru a evalua stabilitatea.

Stabilitatea finita se refera la comportamentul sistemului intr-o regiune finita din spatiul starilor. Daca regiunea de interes este extinsa la tot spatiul starilor atunci este vorba despre stabilitatea globala a sistemului.

Stabilitatea finita si cea globala sunt asociate, in general, cu perturbatiile mari.

Problema stabilitatii sistemelor electroenergetice este unica, adica sistemul poate fi stabil sau instabil. Din punct de vedere practic, o astfel de abordare globala este inadecvata deoarece starea de instabilitate se poate manifesta sub diverse forme si este influentata de o multime de factori.

Cele trei mari clase ale stabilitatii in functie de dinamica fenomenelor sunt:

stabilitatea unghiului rotoric (fenomen rapid) este definita ca proprietatea fiecarei masini sincrone dintr-un sistem electroenergetic de a-si pastra sincronismul in raport cu celelalte masini (unghiul relativ intre rotoarele a doua masini sincrone oarecare sa nu se modifice semnificativ, adica una dintre masini sa nu efectueze o rotatie de 2π radiani in raport cu o alta masina in conditii normale de functionare sau dupa o perturbatie). Stabilitatea unghiului rotoric vizeaza doua aspecte: stabilitatea la mici perturbatii si stabilitatea tranzitorie.

Stabilitatea la mici perturbatii este proprietatea ca dupa aparitia unei perturbatii mici sistemul electric sa isi regaseasca un regim de functionare identic sau apropiat de regimul permanent anterior perturbatiei.

Stabilitatea tranzitorie a sistemului electroenergetic este asigurata daca, dupa aparitia unei perturbatii mari, acesta revine intr-un regim permanent acceptabil de functionare.

In analiza stabilitatii unghiului rotoric ecuatia esentiala este cea de bilant al cuplurilor mecanic si electromagnetic care determina accelerarea sau franarea rotorului masinii sincrone (ecuatia de miscare).

stabilitatea frecventei (dinamici lente si rapide) se refera la capacitatea sistemului electroenergetic de a-si mentine frecventa intr-un domeniu dat ca urmare a unei perturbatii importante in functionarea sa, care poate sau nu sa conduca la separarea sistemului in subsisteme. Sistemul trebuie sa poata mentine echilibrul intre puterile generate si cele consumate cu pierderi minime ale sarcinii. Una din masurile de salvare a stabilitatii este descarcarea de sarcina.

stabilitatea de tensiune (fenomen lent) este definita ca proprietatea sistemului electroenergetic de a mentine un nivel de tensiune acceptabil in nodurile retelei si de a evita colapsul de tensiune. Stabilitatea sau instabilitatea de tensiune este determinata in principal de bilantul puterilor reactive in nodurile retelei electrice.

Exista si o alta maniera de clasificare a problemelor de stabilitate dintr-un sistem electroenergetic, in functie de domeniul de timp si elementul din sistem care le conditioneaza:

Intr-o prima clasa a stabilitatii de unghi rotoric se inscrie stabilitatea la mici perturbatii, care comporta studiul stabilitatii locale in jurul unui punct de echilibru initial, pe baza sistemului de ecuatii liniarizate.

In sistemele electroenergetice moderne pierderea stabilitatii la mici perturbatii are loc atunci cand variatia cuplului de amortizare devine negativa.

Problemele stabilitatii la mici perturbatii a unghiului rotoric pot fi: probleme locale si probleme globale.

Problemele locale cuprind o mica parte a sistemului si sunt asociate cu oscilatiile unghiului rotoric ale unei centrale in raport cu restul sistemului. Amortizarea acestor oscilatii depinde de robustetea sistemului de transport, de sistemele de control a excitatiei generatorului si de puterea centralei.

Problemele globale sunt cauzate de interactiunile intre marile grupuri de generatoare si efectul lor se resimte pe suprafete intinse geografic. In acest caz, generatoarele dintr- o anumita zona oscileaza coerent, dar diferit in raport cu oscilatiile generatoarelor dintr-o alta zona a sistemului electroenergetic. Astfel de oscilatii apar in sistemele electroenergetice de dimensiuni mari, atunci cand zonele respective sunt interconectate prin legaturi slabe (de capacitate mica).

A doua clasa a stabilitatii de unghi este stabilitatea tranzitorie. Aceasta se refera la revenirea la un nou regim permanent in care majoritatea masinilor sincrone componente functioneaza "in sincronism", dupa ce sistemul electric a parcurs un regim tranzitoriu datorat aparitiei unei perturbatii mari (scurtcircuite monofazate, bifazate sau trifazate, deconectarea unui grup generator, a unui consumator important sau a unei parti din reteaua de transport). Stabilitatea tranzitorie depinde de starea initiala de functionare a sistemului electroenergetic si de severitatea perturbatiei, dar mentinerea ei este conditionata si de performantele protectiilor prin relee si ale sistemelor de reglare automata.

Stabilitatea pe termen mediu analizeaza oscilatiile lente de putere intre masinile sincrone precum si pe cele ale fenomenelor lente asociate variatiilor mari de tensiune si frecventa.

Stabilitatea pe termen lung presupune existenta unei frecvente unice in sistem si studiaza reactia centralelor electrice la aparitia unor modificari importante in bilantul de puteri produse si consumate (se neglijeaza in acest caz fenomenele dinamice rapide).

Stabilitatea de tensiune in sistemele electroenergetice

Stabilitatea de tensiune reprezinta capabilitatea sistemului electroenergetic de a mentine un nivel de tensiune in limite acceptabile in toate nodurile atat in conditii normale de functionare, cat si in urma aparitiei unor perturbatii.

Un sistem electroenergetic intra intr-s stare de instabilitate cand o perturbatie determina o scadere progresiva si necontrolabila a nivelului de tensiune intr-un nod, intr-o zona sau in tot sistemul. Procesul de degradare este lent la inceput si apoi din ce in ce mai rapid si se produce daca sistemul functioneaza in vecinatatea limtei de putere transimisibila.

Principala cauza a declansarii fenomenului de instabilitate de tensiune o constituie caderile de tensiune datorate modificarilor circulatiei de putere prin elementele inductive ale retelei de transport in urma:

cresterii consumului de putere corelat cu un deficit local sau zonal de putere reactiva;

unor incidente care slabesc controlul local de tensiune (declansarea unor grupuri generatoare, depasirea limitelor de putere reactiva ale generatoarelor), slabesc reteaua de transport (declansarea unei linii de transport, de transformatoare sau autotransformatoare, defecte pe barele statiilor electrice) sau maresc puterea tranzitata prin reteaua de trasport (separarea retelelor electrice);

functionarii defectuoase a reglajului sub sarcina a prizelor transformatoarelor.

Desi instabilitatea de tensiune este un fenomen local, consecintele sale pot duce la colapsul de tensiune. Fenomenul de "colaps " de tensiune consta intr-o succesiune de evenimente in cascada, insotite de fenomenul de instabilitate, ce determina reducerea drastica a nivelului de tensiune intr-o zona sau in tot sistemul, antrenand in final si pierderea stabilitatii unghiulare a sitemului.

Stabilitatea de tensiune se poate clasifica in:

• stabilitatea de tensiune la mici perturbatii

• stabilitatea de tensiune la mari perturbatii

Aspecte statice si dinamice ale stabilitatii de tensiune

Aspecte statice ale stabilitatii de tensiune:

Existenta solutiilor de regim permanent:

Relatia dintre t ensiunea U2 si puterile P2 si Q2 pentru o structura simpla de tipul generator-linie-consumator

Proiectia punctelor corespunzatoare puterilor maxime in planul () determina o curba care il separa in doua zone.

Zona hasurata reprezinta domeniul de existenta a solutiilor. Aceasta corespunde punctelor posibile de functionare A si B pentru care ecuatia bipatrata

are doua solutii reale pozitive distincte.

Se fac urmatoarele notatii:

si se obtine ecuatia de gradul 2 in y: cu solutiile . Tensiunile corespunzatoare celor doua puncte posibile de functionare A si B sunt

respectiv .

Zona exterioara reprezinta domeniul de inexistenta a solutiilor, de absenta a punctelor de functionare.

Punctele critice situate pe frontiera constituie puncte de bifurcatie statica pentru evolutia sistemului si sunt caracterizate de faptul ca disriminantul al ecuatiei bipatrate se anuleaza si rezulta:

Daca se considera =0, in punctele critice se obtin solutii confundate pentru tensiunile si corespunzatoare punctelor de functionare posibila:

In punctele critice situate pe curba de separatie a domeniului de existenta a solutiilor in planul (), matricea Jacobian a modelului matematic pentru calculul regimului permanent prin metoda Newton-Rapson devine singulara.

Se considera urmatoarea retea:

(a) Schema echivalenta monofazata a unei linii scurte    (b) Diagrama fazoriala

Pentru aceasta retea, stiind ca in nodul 1 (de echilibru), si respectiv in nodul 2, matricea Jacobian este:

=

unde ; ; ;

Se calculeaza determinantul Jacobianului:

In punctul critic det [J] = 0

Aceasta proprietate este valabila atat pentru cazul structurii simple de tip "generator-linie-consumator" cat si pentru orice retea complexa si sta la baza evaluarii riscului declansarii fenomenelor de instabilitate si colaps de tensiune, datorita disparitiei punctelor de echilibru (nu exista solutii ale regimului permanent) ca urmare a cresterii sarcinii si restrangerii domeniului de existenta a solutiilor datorita unor contingente.

Puncte si zone de functionare:

Pentru analiza punctelor situate in zona hasurata se considera relatia de dependenta dintre si , prin intermediul factorului de putere cos:

Consideram si . Pentru valori ale puterii active

se obtine o relatie de forma , relatie care mai poarta numele de caracteristica a retelei electrice:

Se constata ca pentru o valoare exista doua puncte posibile de functionare: punctul A, caracterizat de o valoare ridicata a tensiunii, corespunde unei functionari normale a sistemului si este un punct stabil de functionare; punctul B care corespunde unei functionari anormale si este punct instabil de functionare.

Pentru a putea explica de ce punctul A este un punct stabil iar B unul instabil, se vor analiza efectele reglajului de tensiune la capatul receptor al liniei de transport, prin modificarea factorului de putere si prin modificarea tensiunii la capatul sursa.

a) Efectul compensarii puterii reactive transportate

Se considera diferite valori pentru si se mentine constanta valoarea tensiunii la capatul sursa al liniei de transport . Se obtine urmatoarea familie de caracteristici :

Observam ca pentru o valoare data , valoarea tensiunii corespunzatoare punctului de functionare A creste atunci cand factorul de putere trece de la la . In punctul B efectul compensarii puterii reactive este contrar, adica valoarea tensiunii scade atunci cand trece de la o valoare inductiva la una capacitiva.

Punctul A este un punct de functionare controlabil (stabil). Punctul B este necontrolabil (instabil).

b) efectul modificarii tensiunii la capatul sursa al liniei de transport

Se considera diferite valori ale tensiunii la capatul sursa al liniei de transport, valori obtinute prin modificarea excitatiei generatorului, si o valoare constanta a factorului de putere . Se obtine familia de caracteristici :

Si in acest caz observam ca, pentru o valoare data a puterii active transmisa catre zona de consum, punctul A este punct de functionare normala (deoarece valoarea tensiunii corespunzatoare acestuia creste odata cu cresterea tensiunii sursei) iar punctul B este de functionare anormala.

Valorile tensiunii critice si ale puterii maxime transmisibile cresc odata cu cresterea gradului de compensare a puterii reactive, respectiv cresterea valorii tensiunii la capatul sursa al liniei de transport. Pentru o functionare in apropierea limitei, cele doua tensiuni corespunzatoare punctelor de functionare posibile vor avea valori ridicate si apropiate.

Deci, numai valoarea tensiunii intr-un punct de functionare nu poate constitui un indicator de proximitate a instabilitatii de tensiune. E necesara analiza sensibilitatilor tensiunii la variatia puterilor activa si reactiva.

c) Sensibilitatile tensiunii la variatia puterilor activa si reactiva

Se face ipoteza unui defazaj mic intre fazorii tensiunilor la cele doua capete ale liniei: si .

Valorile tensiunilor corespunzatoare punctelor posibile de functionareA si B sunt date de expresiile:

si

Conditia necesara si suficienta de controlabilitate a sistemului electroenergetic:

Vazut dintr-un nod i , un sistem electroenergetic este stabil din punct de vedere al tensiunii in acel nod, daca adaugarea unei conductante , respectiv a unei susceptante (eventual infinitezimale) determina o crestere a puterii active respectiv reactive consumate si in acelasi timp o scadere a tensiunii in nodul considerat.

Sensibilitatile tensiunii in raport cu puterile activa si reactiva in cele doua puncte:

Rezulta ca A este un punct controlabil de functionare (stabil) iar B un punct instabil.

Se pot defini pe caracteristica urmatoarele zone de functionare:

• Zona controlabila - corespunde ramurii superioare a caracteristicii si cuprinde punctele de functionare pentru care iar sensibilitatile sunt negative. Aceasta zona este definita zona stabila de functionare. Daca valoarea tensiunii critice este mai mica decat cea a tensiunii minime admisibile in exploatare, aceasta zona se imparte in doua subzone:

Zona de securitate - definita intre valorile maxima si minima de tensiune, caracterizata de valori negative si apropiate de zero ale sensibilitatilor;

Zona critica - cuprinsa intre valorile si ale tensiunii, caracterizata tot de valori negative ale sensibilitatilor, dar mari in valori absolute. In functie de caracteristica sarcinii o functionare in aceasta zona poate declansa fenomenul de instabilitate sau de prabusire a tensiunii, fenomen caracterizat de o scadere a valorii tensiunii catre fie datorita unei cereri suplimentare de putere, fie datorita actiunii transformatoarelor cu reglaj sub sarcina.

• Zona necontrolabila - corespunde ramurii inferioare a caracteristicii si cuprinde punctele de functionare pentru care , iar valorile sensibilitatilor sunt pozitive. Aceasta zona este mentionata in literatura de specialitate si ca zona instabila de functionare.

Ipoteza defazajului mic nu poate fi adoptata si pentru determinarea tensiunii critice; daca se impune conditia de anulare a discriminaului se obtine valoarea care depinde de valoarea tensiunii sursei dar este independenta de valoarea .

Metode si indicatori de evaluare a stabilitatii de tensiune

Scopul metodelor de analiza a stabilitatii de tensiune il constituie atat identificarea punctelor vulnerabile ale sistemului precum si a masurilor care trebuie luate pentru a creste siguranta in exploatare a acestuia.

Metodele de analiza trebuie sa fie suficient de exacte si de rapide astfel incat in activitatea de exploatare operatorul sa poata lua deciziile in timp util. Acestea se pot imparti, in functie de simularea efectuata si de testul utilizat pentru a aprecia existenta unei probleme de tensiune, in metode dinamice si metode statice.

Metodele dinamice sunt metode generale bazate pe integrarea numerica a modelului dinamic EAD care fac apel la algoritme de studiu asemanatoare cu cele ale stabilitatii tranzitorii, completate cu modele mai complicate pentru regulatoarele de tensiune, comportarea dinamica a sarcinilor si a echipamentelor speciale cum ar fi dispozitivele de reglare sub sarcina a ploturilor transormatoarelor. Aceasta maniera de abordare este dificila, inadecvata deorece necesita un efort de calcul foarte mare, nu furnizeaza informatii privind gradul de stabilitate sau instabilitate, nu ofera informatii cantitative privind rezervele de stabilitate iar rezultatele obtinute trebuie interpretate de specialisti.

Modelele dinamice nu se aplica in exploatarea sistemului electroenergetic; ele sunt folosite in activitatile de planificare a exploatarii si dezvoltarii sistemului.

Metodele statice se bazeaza pe faptul ca principalul aspect al stabilitatii de tensiune intr-un sistem electroenergetic il constituie capacitatea acestuia de a transfera puterea de la surse la zonele de consum, atat in conditii normale de functionare, cat si in conditiile regimurilor perturbate. Acesta poate fi analizat folosind metode statice bazate pe ecuatiile bilantului de puteri modificate pentru a lua in considerare factorii esentiali in declansarea mecanismelor de instabilitate de tensiune si pe termen mediu si lung.

Metodele statice sunt suficient de exacte, mult mai rapide decat metodele dinamice, permit definirea unor indicatori de evaluare locala sau globala a stabilitatii de tensiune utilizabili in activitatea de exploatare si pot fi utilizate pentru a evalua riscul aparitiei unor probleme de tensiune atat la mici perturbatii, cat si in diverse momente ale evolutiei dinamice a sistemului in urma unor mari perturbatii, precum si pentru identificarea celor mai eficiente masuri preventive sau corective.

a) Metoda analizei modale a matricei Jacobian redusa.

Analiza modala este o metoda de studiu a stabilitatii sistemelor dinamice. Se bazezaza pe liniarizarea in jurul unui punct de echilibru si pe calculul valorilor si vectorilor proprii. Punctul de echlibru este stabil daca toate valorile proprii au partea reala negativa.

Se demonstreaza ca, in conditii specifice declansarii fenomenelor de instabilitate de tensiune, singularitatea matricei de stare este determinata de singularitatea matricei Jacobian din metoda Newton-Rapson modificata pentru a lua in considerare efectele caracteristicilor statice ale sarcinilor, precum si pe cele determinate de limitarea curentilor statorici sau rotorici ai generatoarelor, de reglajul sub sarcina al ploturilor transformatoarelor.

Pentru evaluarea stabilitatii de tesniune la mici perturbatii nu se foloseste analiza modala a matricei de stare ci a matricei Jacobian redusa . Aceasta metoda se bazeaza pe proprietatea de cvasisimetrie a matricei si utilizeaza descompunerea unei matrice dupa valoriule si vectorii proprii.

Daca se neglijeaza rezistentele liniilor electrice ,cele ale transformatoarelor si in retea nu exista transformatoare cu reglaj longo-transversal (matricea admitantelor nodale este simetrica), atunci matricea este simetrica. Aceasta proprietate se pastreaza si in cazul sistemelor electroenergetice reale. Matricea are in realitate o structura cvasisimetrica deoarece, in cadrul retelelor electrice de transport reale, raportul R/X<<1 iar numarul transformatoarelor cu reglaj longo-transversal este relativ redus.

Moduri de variatie U-Q

Aplicand descompunerea dupa valorile proprii matricei Jacobian obtinem:

Variatiile tensiunilor in functie de variatia puterilor reactive consumate :

Fiecare valoare proprie si vectorii proprii asociati , respectiv definesc un mod i de variatie sau raspuns U-Q al sistemului electroenergetic.

Deoarece , relatia anterioara se mai poate scrie:

unde este vectorul variatiilor modale de tensiune si este vectorul variatiilor modale de putere reactiva.

Matricea este o matrice diagonala si, prin urmare, relatia reprezinta un sistem de ecuatii de ordinul intai necuplate: ,i = 1,2,, care definesc asa zisele moduri de variatie U-Q.

Observam ca amplitudinea fiecarei variatii modale a tensiunii este egala cu raportul dintre variatia modala a puterii reactive si valoarea proprie . Valoarea proprie constituie un indicator al gradului de stabilitate si ea este de fapt o sensibilitate a variatiei tensiunii modale la variatia puterii reactive modale. Rezulta:

• daca >0 sistemul este stabil in modul i de variatie U-Q deoarece tensiunea modala si puterea reactiva modala au acelasi sens de variatie (o injectie de putere reactiva determina cresterea nivelului de tensiune);

• daca <0 sistemul este instabil in modul i de variatie U-Q deoarece tensiunea modala si puterea reactiva modala au sensuri contrare de variatie (o injectie de putere reactiva determina scaderea nivelului de tensiune);

• daca     =0 tensiunea modala se prabuseste deoarece orice schimbare a puterii reactive modale determina o variatie infinita a tensiunii modale .

Conditia de stabilitate in tensiune a sistemului elctroenergetic este ca toate valorile proprii ale matricei Jacobian redusa sa fie pozitive.

Analiza modala a matricei Jacobian redusa este o tehnica care se utilizeaza fie individual pentru analiza unui anumit punct de functionare, fie impreuna cu metodele de determinare a distantelor in putere. In cadrul procesului de calcul al unei distante in puterepe o anumita directie de stres, analiza modala se aplica in fiecare punct de fuctionare al traiectoriei calculate.

Aplicarea analizei modale permite sa se determine cat de stabil e sistemul, cat de mare poate fi sarcina suplimentara sau nivelul puterii tranzitate, iar cand sistemul atinge punctul critic de stabilitate in tensiune ea poate ajuta la identificarea zonelor cu stabilitate de tensiune critica si a elementelor care participa in fiecare mod.

. Factorii de participare ai nodurilor

Participarea relativa a nodului k la modul i de variatie U - Q este data de catre factorul de participare:

determina contributia valorii proprii la sensibilitatea U - Q la nodul k

Factorii de participare determina zonele asociate cu fiecare mod de variatie. Suma tuturor factorilor de participare pentru fiecare mod este egala cu unitatea intrucat vectorii proprii dreapta si stanga sunt normalizati. Marimea factorului de participare al unui nod indica efectul actiunilor corective aplicate la acel nod in stabilizarea modului de variatie U - Q.

In general exista doua tipuri de moduri de variatie:

- modul localizat, caracterizat de existenta catorva noduri cu valori mari ale factorilor de participare si toate celelalte noduri cu participari apropriate de zero. Un astfel de mod localizat apare daca un singur nod care alimenteaza o zona de consum este legat printr-o linie de transport lunga la o retea electrica foarte puternica;

- modul dispersat, caracterizat de existenta unui numar mare de noduri cu valori mici dar apropriate ale factorulor de participare si restul nodurilor cu participari apropiate de zero; acesta indica ca modul nu este localizat. Un mod de tip nelocalizat apare cand intr-o zona dintr-un mare sistem electric sarcina creste si principalul suport de energie reactiva pentru zona respectiva s-a epuizat.

Pentru identificarea punctelor slabe ale sistemului electroenergeetic si stabilirea masurilor preventive ce se impun, in afara de factorii de participare ai nodurilor la modurile de variatie U - Q, este necesar sa se determine si factorii de participare ai laturilor (linii electrice si transformatoare), cat si cei ai generatoarelor.

. Factorii de participare ai laturilor

Factorul de participare al laturii k-j la modul i de variatie U-Q, se defineste ca fiind raportul dintre variatia pierderii de putere reactiva pe latura k-j si valoarea maxima a variatiei pierderilor de putere reactiva din toate laturile retelei produse de o variatie a consumului de putere reactiva in sistem, adica:

Factorii de participare permit identificarea, pentru fiecare mod i de variatie U-Q, a laturilor cu pierderile cele mai mari de putere reactiva ca raspuns la o modificare incrementala in sarcina reactiva. Laturile cu factori de participare mare sunt fie linii slabe din punct de vedere electric, fie linii electrice incarcate puternic. Factorii de participare ai laturilor pot fi utilizati pentru luarea masurilor corective pentru a preintampina problemele de stabilizate de tensiune si pentru selectarea contingentelor.

. Factorii de participare ai generatoarelor

Participarea relativa a generatorului m la modul i de variatie U-Q este data de factorul de participare:

adica de raportul dintre variatia puterii reactive debitata de generatorul m si valoarea maxima a variatiilor de putere reactiva debitate de toate generatoarele din sistem la o variatie a puterii reactive consumate.

Factorii de participare permit identificarea, pentru fiecare mod i de variatie U-Q, a modului in care fiecare generator din sistem participa la acoperirea unui consum suplimentar de putere reactiva constituind un criteriu de planificare a rezervelor de reactiv, in scopul mentinerii unui nivel corespunzator al stabilitatii de tensiune.

Referitor la implementarea practica a metodei bazata pe analiza modala a matricei Jacobian redusa se fac urmatoarele precizari:

pentru sisteme electroenergetice foarte mari (mii de noduri), nu este nici practic si nici necesar sa se calculeze toate valorile proprii ale matricei . Cel mai periculos mod de variatie U - Q este cel corespunzator celei mai mici valori proprii a matricei . Totusi calculul numai a celei mai mici valori proprii nu este suficient deoarece exista mai multe moduri periculoase asociate cu diferite parti ale sistemului, iar modul asociat cu valoarea proprie minima poate sa nu fie cel mai suparator mod care streseaza sistemul. In practica, pentru a identifica toate modurile critice, se recomanda sa se calculeze un numar mai mare, de regula 5 pana la 10, dintre cele mai mici valori proprii;

datorita proprietatii de cvasisimetrie a matricei , valorile proprii si valorile singulare ale acesteia sunt practic identice si, prin urmare, calculul valorii proprii si a vectorilor proprii stanga si dreapta se poate reduce la calculul valorii singulare si a vectorilor singulari stanga si dreapta.

b) Metoda de analiza a sensibilitatilor. Indicatori locali.

Sensibilitatile tensiunii la variatii ale puterii active si reactive consumate constituie indicatori locali ai stabilitatii de tensiune.

Intr-un sistem electroenergetic cu n noduri avand nodul 1 ca nod de echilibru, nodurile 2,3,,de tip generator (noduri de tip PU) si nodurile +1,,n de tip consumator (noduri de tip PQ), calculul sensibilitatilor se realizeaza pornind de la ecuatiile bilantului de puteri in noduri:

i =1,2,3,,n

i =+1,,n

Aceste ecuatii se scriu sub urmatoarea forma compacta:

Argumentele functiei F sunt grupate in functie de natura nodurilor astfel:

vectorul variabilelor de stare

vectorul variabilelor de intrare

vectorul variabilelor de control

vectorul variabilelor de iesire

Tinand cont de aceasta regrupare a marimilor de stare ce definesc functionarea sistemului electroenergetic la un moment dat, expresia lui F devine F(x,c,s)=0 iar vectorul variabilelor de iesire poate fi scris sub forma q = f(x,c). Dezvoltand in serie Taylor aceste doua relatii, in jurul punctului de echilibru analizat, obtinem:

respectiv

unde este matricea Jacobian din modelul Newton-Rapson pentru calculul regimului permanent.

In ipoteza ca este inversabila

in care este matricea de sensibilitate a variabilelor de stare la variatii ale variabilelor de control iar este matricea de sensibilitate a variabilelor de stare la variatii ale variabilelor de intrare.

Deoarece este matrice unitate rezulta ca matricea este inversa matricei Jacobian.

Tinand cont de expresia lui obtinem: unde:

este matricea de sensibilitate a variabilelor de iesire la variatii ale variabilelor de control iar este matricea de sensibilitate a variabilelor de iesire la variatii ale variabilelor de intrare.

Desi stabilitatea de tensiune este afectuata atat de circulatia de putere activa, cat si de circulatia de putere reactiva, avand in vedere cuplajul strans U-Q, in continuare vor fi studiate numai efectele variatiei de putere reactiva asupra stabilitatii de tensiune.

Se pot calcula, pe baza matricelor de sensibilitate, indicatorii locali de stabilitate de tensiune.

Sensibiolitatea tensiunii intr-un nod consumator c la variatia puterii reactive consumate in nod -

Analizand caracteristica care, pentru o valoare constanta a factorului de putere reprezinta la o alta scara dependenta , observam ca panta tangentei in punctul de functionare normala A este negatova si apropiata de zero. Pe masura ce acest punct se apropie de punctul critic, panta tangentei creste tinzand catre infinit si se schimba semnul cand trece pe ramura inferioara.

Elementele de pe diagonala principala a matricei corespunzatoare modulelor tensiunii si puterilor reactive consumate reprezinta panta curbelor , , deci constituie indicatori ai stabilitatii de tensiune.

Sistemul electroenergetic vazut dintr-un nod consumator c este controlabil si, deci, stabil daca =.

Modulul valorii reprezinta un indicator al riscului de declansare a instabilitatii de tensiune, adica cu cat valoarea lui este mai mare cu atat riscul este mai mare.

Sensibilitatea puterii reactive debitata de generatoare la variatia puterii reactive consumata intr-un nod consumator c - :

Cand punctul de functionare se afla in zona critica pe caracteristica , pierderile de putere reactiva cresc foarte mult, iar puterea debitata de generatoare nu mai ajunge la consumator. Daca puterea reactiva intr-un nod consumator c creste cu , iar variabilele de control [c] nu se modifica, adica , atunci, din relatia rezulta ca suma puterilor reactive debitate suplimentar de generatoare este egala cu suma elementelor de pe coloana corespunzatoare nodului c a matricei . Punctul de functionare se afla in zona stabila daca aceasta suma este apropiata de 1 iar punctul de functionare se afla in zona critica atunci suma puterilor reactive debitate suplimentar de generatoare este foarte mare si tinde catre infinit in punctul critic.

Valoarea constituie un indicator local al stabilitatii de tensiune.

Reteaua electrica vazuta dintr-un nod va fi stabila din punct de vedere al tensiunii daca <0, respectiv.

c) Indicatori globali de tipul distante in putere

Indicatorii si ofera informatii locale, valabilitatea lor fiind limitata la punctul de functionare in jurul caruia s-a facut liniarizarea. Valorile lor se modifica semnificativ daca in retea apare o perturbatie ce determina o neliniaritate puternica de tipul celei provocate de limitarea puterii reactive debitate de generatoare. In aceste conditii este necesara definirea unor indicatori care sa ia in considerare atat evolutia sarcinii cat si neliniaritatile produse in sistem. Un astfel de indicator il constituie distanta in putere care reprezinta sarcina suplimentara dintr-un nod consumator c sau dintr-o zona, astfel incat sistemul electroenergetic aflat initial intr-o stare stabila sa ajunga in starea finala corespunzatoare limitei de stabilitate de tensiune.

Se pot defini urmatoarele trei tipuri de distante in putere:

- distanta in putere reactiva: ;

- distanta in putere activa: ;

- distanta in putere aparenta: ;

In trecut, pentru evaluarea acestor distante s-a folosit tehnica calculului de regimuri permanente repetate inrautatite. Aceasta prezinta dezavantajul ca in vecinatatea punctului critic apar probleme de convergenta in cadrul metodelor de calcul a regimului permanent. Pentru a elimina acest impediment se poate utiliza fie metoda Newton - Raphson cu multiplicator optimal, fie metoda bazata pe tehnica parametrizarii continue locale pentru detectarea punctelor de pe suprafata critica.

Dupa cum este cunoscut, pentru calculul regimului permanent este necesara rezolvarea numerica a sistemului de ecuatii neliniare:

i =1,2,3,,n

i =+1,,n

In acest sens, se utilizeaza metoda iterativa Newton-Raphson care, pentru un pas oarecare (p+1) ce urmeaza pasului curent (p) consta in:

- liniarizarea sistemului de ecuatii de mai sus pentru a obtine sistemul de ecuatii liniare in care este matricea Jacobian calculata cu valorile tensiunilor la pasul (p);

- rezolvarea sistemului de ecuatii liniare si corectarea vectorului variabilelor necunoscute cu relatia :

Pentru a evita problemele de convergenta datorate singularitatii matricei Jacobian in apropierea punctului critic si pentru a detecta inexistenta solutiilor, calculul regimului permanent se efectueaza folosind o tehnica de optimizare. In acest sens, pentru corectia vectorului variabilelor necunoscute se utilizeaza relatia:

in care poarta denumirea de multiplicator optimal si se determina din conditia de minimizare a functiei obiectiv (norma euclidiana a vectorului abaterilor de putere activa si reactiva). In cazul in care regimul este convergent (exista solutie) valoarea functiei obiectiv tinde catre 0, iar valorile coeficientului sunt apropiate de 1. In schimb, daca nu exista solutie, valorile coeficientului tind catre 0, iar valoarea functiei obiectiv catre o valoare strict mai mare ca zero.

Tehnica parametrizarii continue locale are la baza metoda matematica de trasare a diagramei de bifurcatie statica a unui sistem dinamic a carui comportare depinde de un parametru si provine dintr-o clasa generala de metode denumita "path-following methods".

Pentru aplicarea acestei metode la calculul distantelor in putere dintre punctul curent de functionare si punctul critic (punctul de bifurcatie statica de tip nod-sa) este necesara parametrizarea ecuatiilor modelului static sau de regim permanent. Astfel, in scopul simularii cresterii sarcinii, puterile nodale consumate se scriu sub urmatoarea forma:

in care: si sunt puteri consumate in starea initiala ; este un parametru avand dimensiunea unei puteri aparente care simuleaza modul de evolutie a sarcinii;

, sunt coeficienti ce permit selectarea nodurilor in care se simuleaza cresterea sarcinii.

In cazul in care se simuleaza si cresterea puterii active consumate este necesara repartizarea surplusului de sarcina pe centralele electrice din sistem. In acest sens se folosesc coeficientii de repartitie a consumului , iar puterea activa generata care se exprima cu relatia , in care este puterea activa furnizata de generatorul din nodul i in starea initiala .

In aceste conditii sistemul de ecuatii care exprima bilantul puterilor nodale in cadrul modelului static se scrie sub urmatoarea forma compacta: si constituie modelul matematic parametrizat al regimului permanent.

Este evident faptul ca acest sistem de ecuatii nu admite solutii pentru orice valoare a parametrului . Exista o valoare , corespunzatoare unui punct critic de pe suprafata critica pentru care cele doua puncte de echilibru ale sistemului electroenergetic se confunda formand un punct de bifurcatie de tipul nod-sa. In acest punct se produce o modificare semnificativa in evolutia dinamica a sistemului electroenergetic prin aparitia de noi traiectorii ce conduc la fenomene de instabilitate. Pentru determinarea valorii se utilizeaza o tehnica de tipul predictor-corector.

In etapa predictor, pornind de la o solutie cunoscuta, se estimeaza o noua solutie considerand o deplasare in lungul vectorului tangent. In acest sens se diferentieaza ecuatia obtinandu-se:

Pentru calculul vectorului tangent cu ajutorul relatiei obtinute este necesara adaugarea unei ecuatii suplimentare. Aceasta se poate realiza prin impunerea valorii unei componente din vectorul [t]. Astfel, in primul pas de calcul (p=0) se impune , iar in pasii urmatori p=1,2,..n se selecteaza componenta a vectorului tangent folosind relatia:

Acest proces de selectare a unei componente a vectorului tangent poarta denumirea de parametrizare continua locala si permite scrierea sistemului nostru de ecuatii sub forma:

unde este vectorul k al bazei canonice, adica =[0,,1,,0], iar valorile +1 sau -1 se aleg astfel incat sa reflecte tendinta crescatoare sau descrescatoare a componentei fixate.

Fiind cunoscut vectorul tangent se estimeaza o noua solutie:

in care este vectorul necunoscutelor, iar h reprezinta lungimea pasului si poate fi determinata, de exemplu, impunand conditia ca un generator sa-si atinga limita maxima de putere reactiva.

In etapa corector solutia estimata este corectata rezolvand sistemul de ecuatii:

in care este componenta vectorului [x] aleasa ca parametru, pentru care se considera valoarea egala cu valoarea estimata.

Acest procedeu de calcul permite trasarea completa a caracteristicii U - P pentru cazul unui sistem electroenergetic complex precum si evaluarea cu exactitate a distantelor in putere pana la punctul critic.

Procesul de calcul de tip predictor-corector din metoda parametrizarii continue locale

Simuland diverse scenarii de crestere a sarcinii, aceasta metoda poate fi utilizata fie pentru calculul distantelor in putere pe o anumita directie de stres, fie pana la cel mai apropiat punct critic.

In practica, pentru calculul distantelor in putere considerand o anumita directie de stres este avantajos sa se utilizeze cele doua metode intr-o maniera complementara. Astfel, in prima etapa se stabileste un pas de crestere a sarcinii si se calculeaza o succesiune de regimuri (puncte de echilibru), folosind algoritmul Newton - Raphson cu multiplicator optimal, pana cand se ajunge in vecinatatea punctului critic (pana cand nu mai exista solutie). In continuare, pornind din ultimul punct de echilibru astfel determinat, se aplica metoda parametrizarii continue locale pentru identificarea cu precizie a punctului critic.

d) Metoda celei mai mici valori singulare. Indicatorul global VSI.

S-a demonstrat ca in punctele critice situate pe frontiera de separare a domeniului de existenta a solutiilor de regim permanent de domeniul in care acestea nu exista, matricea Jacobian a sistemului de ecuatii:

i =1,2,3,,n

i =+1,,n

este sngulara. Deoarece din punct de vedere matematic singularitatea unei matrice de ordinul n este semnalata de anularea valorii singulare rezulta ca cea mai mica valoare singulara a matricei Jacobian constituie o alta masura a distantei dintre starea curenta si starea critica.

Aplicand descompunerea dupa valorile singulare matricei Jacobian [J] din modelul liniar , obtinut prin liniarizarea sistemului de ecuatii de mai sus, in jurul punctului de echilibru analizat obtinem. unde si sunt vectorii singulari stanga, respectiv dreapta corespunzatori valorii singulare .

Daca matricea [J] nu este singulara atunci inversa ei este:

Efectul modificarilor puterilor active si reactive asupra argumentelor si modulelor tensiunilor poate fi evaluat cu relatia . Daca in aceasta relatie se considera si avand in vedere ca matricea [V] este ortonormata, adica si pentru , atunci

Celei mai mici valori singulare a matricei Jacobian si vectorilor singulari asociati le-au fost date urmatoarele semnificatii:
- este un indicator global al sensibilitatii de tensiune a sistemului electroenergetic, indicand cat de aproape se afla regimul de functionare al acestuia de un punct critic caracterizat de singulareitatea matricei Jacobian [J];

componentele vectorului singular dreapta indica sensibilitatile argumentelor si modulelor tensiunilor la variatii ale puterilor active si reactive;

componentele vectorului singular stanga indica cele mai sensibile directii de variatie ale puterilor.

Desi, in general, intr-un sistem electroenergetic stabilitatea de tensiune este afectata atat de puterea activa, cat si de puterea reactiva, totusi, avand in vedere cuplajul strans U-Q suntem interesati in formarea unei matrice care sa reflecte aceasta proprietate si care sa fie supusa descompunerii si analizei dupa valorile singulare in locul matricei Jacobian complet. In acest scop se utilizeaza submatricea din modelul liniar:

Totusi, avand in vedere faptul ca in conditii de stres sporit cuplajul dintre puterile reactive si argumentele tensiunilor nodale poate fi foarte important, in practica se recomanda utilizarea matricei Jacobian redusa. Aceasta se obtine pornind de la relatia de mai sus scrisa sub forma:

Considerand (cuplaj slab U-P) se determina .

Daca matricea nu este singulara se obtine

unde este matricea Jacobian redusa, obtinuta in ipoteza ca nu este singulara, adica nu exista probleme de stabilitate unghiulara in sistemul analizat. In aceasta ipoteza, conform formulei lui Schur:

rezulta ca singularitatea matricei Jacobian este determinata de singularitatea matricei , adica de existenta unor probleme de stabilitate de tensiune.

Cea mai mica valoare singulara a matricei Jacobian redusa devine un indicator global al stabilitatii de tensiune.

Desi cea mai mica valoare singulara constituie un indicator global al proximitatii aparitiei instabilitatii de tensiune, ea prezinta dezavantajul ca nu ofera o informatie precisa referitor la cat de aproape se afla sistemul de frontiera critica.

Pentru a avea o informatie globala asupra pozitiei punctului de echilibru analizat in raport cu suprafata critica, se calculeaza si valoarea minima singulara pentru regimul de mers in gol considerat ca fiind cel mai stabil si se defineste indicatorul de stabilitate de tensiune VSI (Voltage Stability Index):

O valoare a acestui indicator apropiata de 0 indica faptul ca sistemul se afla in vecinatatea frontierei critice, in timp de o valoare apropiata de 1 indica faptul ca sistemul se afla departe de aceasta.