CAMPUL ELECTROSTATIC IN PREZENTA DIELECTRICILOR

CAMPUL ELECTROSTATIC IN PREZENTA DIELECTRICILOR

a. Momentele electrice ale unei distributii de sarcina

b. Potentialul electric creat de un dipol

c. Polarizarea dielectricilor

d. Potentialul si intensitatea campului electric intr-un punct exterior unui dielectric

e. Formula fundamentala a mediilor dielectrice

f. Legea lui Gauss in cazul dielectricilor

g. Aplicatii

a. Momentele electrice ale unei distributii de sarcina

Prin dielectric se intelege un mediu, care atunci cand este incarcat cu o sarcina electrica intr-o anumita parte a sa, aceasta sarcina nu se propaga si in alte zone ale mediului.

Un dielectric, ca de altfel orice corp, este alcatuit din atomi sau molecule. Acesti constituenti sunt facuti din nuclee atomice pozitive inconjurate de nori electronici. Sarcinile electrice din molecule, prin intermediul campurilor electrice pe care le produc, pot sa actioneze asupra altor sarcini. Deoarece moleculele sunt foarte mici, in comparatie cu distantele fata de sarcinile asupra carora actioneaza, vom cauta expresia potentialului electric produs de acestea la o distanta foarte mare.

Fie distributia de sarcina electrica din fig. 65. In punctul P, potentialul produs de distributia de sarcina este:

(I.85)

unde:

Putem face urmatorul artificiu de calcul:

Fig. 65 Referitor la potentialul creat de o distributie de sarcina intr-un punct aflat la o distanta mare

Cum in cazul in care x << 1,

si r'/r <<1, rezulta:

Inlocuind acest rezultat in formula (I.85), rezulta:

Dupa cum se constata, potentialul electric creat de distributia de sarcina intr-un punct P aflat la distanta mare de ea este dat de relatia:

(I.86)

unde k₀ , k₁ , k₂ , . . . se numesc momentele electrice ale distributiei de sarcina.

Momentul electric k₀ se numeste moment electric de monopol si reprezinta sarcina electrica totala a distributiei. Momentul electric k₁ reprezinta componenta pe axa Oz a vectorului moment electric dipolar. Momentul electric dipolar are dimensiuni de sarcina ori lungime. In Sistemul International, unitatea de masura a momentului electric dipolar este coulomb ori metru:

Se obisnuieste ca vectorul moment electric dipolar sa se noteze cu . Un exemplu tipic de distributie ce are moment electric dipolar este cea din fig. 6

Fig. 66 Distributia de sarcini cu moment electric dipolar

Momentul electric k₂ este o componenta a momentului electric quadripolar. Exemplu de distributie cu moment quadripolar este cea din fig. 67.

Fig. 67 Distributie de sarcina electrica cu moment electric quadripolar

Din forma potentialului electric, produs de o distributie de sarcina electrica, la o distanta mare, se observa ca, pentru descrierea campului este suficient sa se ia in considerare numai primul moment electric nenul. Adica, daca distributia de sarcina are o sarcina electrica totala diferita de zero (k₀ diferit de zero) nu se mai iau in considerare k₁, k₂,.Daca k₀ = 0 si distributia de sarcina are moment electric de dipol nu se mai iau in calcul k₂, k₃, .

b. Potentialul electric creat de un dipol

Experienta arata ca, pentru moleculele dielectricilor, esential este momentul electric dipolar. Din acest motiv este necesar sa analizam mai detaliat potentialul produs de un dipol electric. Din formula (I.86) rezulta expresia potentialului electric dipolar:

(I.87)

Fie versorul vectorului . Formula (I.87) se poate scrie astfel:

(I.88)

In relatia (I.88), marimea:

(I.89)

este vectorul dipol electric. In aceste conditii expresia momentului electric ne permite sa dam o forma simpla potentialului creat de un dipol:

(I.90)

Cunoscand potentialul electric produs de un dipol, la distanta mare de acesta, putem determina intensitatea campului electric cu ajutorul formulei (I.49).

c. Polarizarea dielectricilor

Unii dielectrici sunt alcatuiti din molecule simetrice, care nu au moment electric permanent. Daca un esantion, dintr-un astfel de dielectric, este plasat intr-un camp electric extern fiecare atom al sau se va afla intr-un camp local. Campul local apare prin suprapunerea campului extern si a campului produs de particulele incarcate din proba. Sub influenta campului local, sarcinile din care este alcatuit atomul se deplaseaza in sensuri contrare astfel incat apare un moment electric dipolar indus. Se admite ca momentul dipolar indus este proportional cu campul electric local:

unde _e este polarizabilitatea electronica a atomului.

Daca dielectricul este o substanta ionica, atunci ionii de semne contrare se deplaseaza in sensuri diferite producand un moment electric dipolar ionic:

unde _i este polarizabilitatea ionica a moleculei.

Presupunand ca cele doua mecanisme de polarizare sunt independente, se poate scrie:

Dupa indepartarea campului electric exterior, polarizarea moleculelor dispare.

Exista molecule care au un moment electric permanent. Daca o substanta, alcatuita din molecule cu moment electric permanent, se afla in stare gazoasa intr-un camp electric extern, dipolii sai se orienteaza, partial, pe directia campului electric. Polarizarea de orientare depinde de temperatura substantei prin relatia:

unde P₀ este momentul de dipol permanent. In cazul gazelor, alcatuite din molecule polarizate permanent, suprapunand polarizarea indusa de campul electric extern se obtine un coeficient de polarizabilitate dat de expresia:

La temperatura camerei, polarizabilitatile indusa si de orientare, sunt de acelasi ordin de marime ().

Fie un element de volum macroscopic dintr-un dielectric. Momentul dipolar total al acestui element de volum este:

unde n este concentratia moleculelor in dielectric.

Polarizarea unitatii de volum dintr-un dielectric se numeste vector polarizare, se noteaza cu , si este data de relatia:

(I.90)

Vectorul polarizare este o functie de punct. La nivel macroscopic dielectricii sun caracterizati de vectorul polarizare.

In Sistemul International, polarizarea se masoara in coulombi ori metru patrat:

d. Potentialul si intensitatea campului electric intr-un punct exterior unui dielectric

Fie dielectricul polarizat din fig. 68.

Fig. 68 Referitor la calculul potentialului produs de un dielectric polarizat

In exteriorul dielectricului, elementul de volum dv, produce potentialul:

Potentialul total, produs de intregul dielectric, este dat de relatia:

Din analiza vectoriala, se stie ca este adevarata identitatea:

unde a este o functie scalara, iar o functie vectoriala. Din relatia (I.93), rezulta:

Inlocuind vectorul cu vectorul polarizare si scalarul a cu inversul distantei de la elementul de volum dv la punctul r, unde se calculeaza potentialul, rezulta:

sau:

Inlocuind in relatia (I.92), si aplicand teorema lui Gauss, rezulta:

(I.94)

Se constata ca potentialul creat de substanta polarizata, in exteriorul ei, poate fi scris ca suma a doua potentiale:

- potentialul produs de o sarcina superficiala, de densitate , numita sarcina superficiala fictiva de polarizare;

- potentialul produs de o sarcina volumica, a carei densitate este , numita sarcina volumica fictiva de polarizare.

Sarcinile de polarizare nu sunt sarcini reale, ele nu fac altceva decat sa inlocuiasca, formal, efectele dielectricului cu efectele unor distributii de sarcina aflate in vid. Spre deosebire de sarcinile reale, sarcinile de polarizare sunt legate de dielectric, din acest motiv sarcinile de polarizare se mai numesc si sarcini legate. In dielectric pot exista si sarcini reale (libere), de densitate superficiala si respectiv in aceste conditii, potentialul in punctul M, din exteriorul dielectricului, este dat de sarcina:

si

e. Formula fundamentala a mediilor dielectrice

Potentialul si intensitatea campului electric nu pot fi determinate, intr-un punct din interiorul dielectricului, cu ajutorul unei sarcini de proba. Intr-adevar, pentru a plasa o anumita sarcina de proba, trebuie sa indepartam dielectricul din acel punct. Campul electric astfel masurat nu mai este deci campul din interiorul dielectricului.

In cazul dielectricilor, pentru a defini campul electric din interiorul lor, se face o anumita ipoteza care se verifica indirect prin consecintele ei.

Ipoteza de baza, pentru definirea campului electric in interiorul dielectricilor, este: potentialul electric, intr-un punct dintr-un dielectric, este egal cu suma potentialelor electrice produse de sarcinile reale si fictive datorate polarizarii dielectricului ca si cum aceste sarcini s-ar afla in vid.

Deci:

V = V₀ + V' (I.95)

unde: V este potentialul intr-un punct din dielectric, V₀ este potentialul, creat in acel punct, de catre sarcinile reale iar V' este potentialul creat de sarcinile fictive.

In aceste conditii, campul electric in interiorul dielectricului este dat de formula (I.49), ca si in cazul vidului.

Ipoteza de mai sus a fost confirmata prin toate consecintele ei.

Ecuatia lui Poisson, din cazul vidului, se scrie in acest caz astfel:

(I.96)

Fluxul campului electric, printr-o suprafata inchisa, asa cum rezulta din formula (I.96), nu mai este conservativ, deoarece chiar daca divergenta intensitatii campului electric nu mai este nula.

Relatia (I.96) poate fi scrisa si astfel:

(I.97)

Se constata ca marimea:

(I.98)

este un vector cu flux conservativ. Marimea fizica definita prin relatia (I.98) se numeste inductie a campului electric. In Sistemul International inductia electrica se masoara in coulombi pe metru patrat

.

Un coulomb pe metru patrat este inductia electrica care produce un flux de o unitate SI de flux electric printr-o suprafata normala de un metru patrat.

Relatia (I.98) se numeste formula fundamentala a mediilor dielectrice.

f. Legea lui Gauss in cazul dielectricilor

Fie o suprafata gaussiana in interiorul unui dielectric cu o sursa de camp electric in exteriorul acestuia, ca in figura 69.

Fig. 69 - Referitor la fluxul electric printr-o suprafata gaussiana din interiorul unui dielectric.

Fluxul vectorului prin suprafata gaussiana are expresia

(I.99)

Formula (I.99) ramane valabila si in cazul in care suprafata gaussiana taie un volum dintr-un dielectric, aflandu-se partial in afara lui. Dupa cum se vede fluxul campului electric nu este nul cand densitatea de sarcina reala este 0, caci densitatea volumica de sarcina fictiva nu este, in general, nula.

Fluxul vectorului inductie, , prin aceeasi suprafata gaussiana, tinand cont de relatia (I.96) are expresia:

(I.100)

Folosind teorema lui Green, rezulta:

(I.101)

Din relatiile (I.99) si (I.101) rezulta ca:

(I.102)

Formula (I.102) se numeste legea lui Gauss, sub forma integrala, pentru fluxul inductiei campului electric.

Aplicand teorema lui Gauss, invatata la analiza matematica, rezulta:

(I.103)

care reprezinta legea lui Gauss, sub forma locala, pentru inductia campului electric.

Calculand fluxul inductiei campului electric printr-o suprafata , ce se sprijina pe o curba inchisa , aplicand teorema lui Green, rezulta, in zonele in care nu exista sarcina electrica reala:

(I.104)

adica inductia electrica este un vector cu circulatie conservativa. Se constata ca, folosind vectorul inductie electrica, legile electrostaticii, deduse pentru cazul vidului, au aceeasi forma si in dielectrici (formulele I.103 si I.104).

g.Aplicatii

Problema 1.

Intr-un mediu dielectric omogen si izotrop se realizeaza o cavitate in forma de cilindru lung si foarte ingust ale carui generatoare sunt paralele cu liniile intensitatii campului electric. In mijlocul acestei cavitati se introduce o sarcina "sonda" mica. Care este forta ce se exercita asupra acestei sarcini?

Sarcina de proba fiind mica, putem neglija sarcinile fictive, create de ea pe suprafata cilindrului. Campul electric creeaza pe bazele cilindrului sarcinile legate . In aceste conditii forta care actioneaza asupra sarcinii "sonda" este egala cu: , unde este forta creata de sarcina legata de pe bazele cilindrului. Deoarece sarcinile legate totale sunt mici (S este mic) si ele sunt departe de sarcina q, forta f' este neglijabila. Deci, cu buna aproximatie, forta ce se exercita asupra sarcinii "sonda" este:

Problema 2.

Intr-un mediu dielectric omogen si izotrop se realizeaza o cavitate in forma de cilindru scurt si gros ale carui baze sunt paralele pe liniile intensitatii campului electric. In mijlocul acestei cavitati se introduce o sarcina "sonda" mica. Care este forta care se exercita asupra acestei sarcini?

La fel ca in problema precedenta, forta ce se exercita asupra sarcinii "sonda" este egala cu:

.

Acum nu se mai poate neglija actiunea sarcinilor legate . Daca consideram bazele ca doua plane paralele si foarte mari, sarcinile legate creeaza intre ele un camp electric de intensitate:

.

Aceasta intensitate determina o forta egala cu:

.

Forta totala ce se exercita asupra sarcinii va fi:

Tinand cont de relatia (I.98) putem scrie:

Se constata ca forta care actioneaza asupra unei sarcini "sonda" depinde de forma si de dimensiunile cavitatii.