COMPORTAREA CALITATIVA A CIRCUITELOR LINIARE DE ORDINUL DOI

I. ECUATIILE DE STARE ALE CIRCUITELOR LINIARE DE ORDINUL DOI

Circuitele care contin doua elemente dinamice ( doua condensatoare, doua bobine sau un condensator si o bobina) se numesc circuite de ordinul doi. Un circuit liniar de ordinul doi contine rezistoare liniare, elemente dinamice liniare, surse comandate liniar si surse independente.

Un astfel de circuit poate fi caracterizat prin ecuatia de stare cu

Orice circuit liniar invariant in timp de ordinul doi poate fi considerat ca un cuadripol diport rezistiv liniar N (care contine rezistoare liniare si surse independente) cu elementele dinamice conectate la porti. Se urmareste scrierea unui sistem de doua ecuatii diferentiale de ordinul intai avand ca necunoscute variabilele de stare (tensiunile condensatoarelor si curentii prin bobine).

Circuitul cu doua condensatoare

Pentru fiecare condensator se poate scrie

Daca N are o solutie unica pentru orice u₁, u₂

atunci N are o reprezentare controlata in tensiune

Se exprima i₁ si i₂ in functie de ₁, C₁ si ₂, C₂ si se obtine ecuatia de stare pentru acest circuit.

Circuitul cu doua bobine

Pentru fiecare bobina se scrie:

Daca N are o solutie unica pentru orice i₁, i₂ , atunci N are o reprezentare controlata in curent si ecuatia de stare este:

Circuitul cu o bobina si un condensator

Tensiunea la bornele bobinei este si curentul prin condensator este .

Daca N are o solutie unica pentru orice u₁ si i₂ atunci N are o reprezentare hibrida corespunzatoare si ecuatia de stare este:

II. RASPUNSUL UNUI CIRCUIT LINIAR LA EXCITATIE NULA

In cazul excitatiei nule u(t)=0 ecuatia de stare devine

Primul pas pentru rezolvarea ecuatiei de mai sus este determinarea valorilor proprii s₁ si s₂ ale matricei A. s₁ si s₂ sunt solutiile ecuatiei.

s₁ si s₂ sunt frecventele naturale ale circuitului.

Daca atunci s₁s₂ si sunt sau numere reale sau numere complex conjugate. Pasul urmator in rezolvarea ecuatiei de stare este determinarea unor vectori proprii ₁ si ₂ unde

Prin definitie ₁ si ₂ sunt doi vectori nenuli care satisfac relatiile: .

Daca se cunosc valorile proprii s₁s₂ si vectorii asociati lor ₁ si ₂ solutia ecuatiei de stare poate fi scrisa unde k₁ si k₂ sunt constante arbitrare determinate de conditiile initiale x(0). Intr-adevar

III. REPREZENTAREA RASPUNSULUI LA EXCITATIE NULA IN PLANUL FAZELOR

Solutia x(t) are doua componente: x (t) si x (t). Evolutia circuitului plecand de la o stare initiala (x (0), x (0)) poate fi reprezentata printr-o curba in planul de coordonate x , x (planul fazelor). Aceasta curba se numeste traiectorie si se obtine eliminand timpul din expresiile lui x (t) si x (t).

Evolutia circuitului corespunzatoare mai multor stari initiale poate fi reprezentata printr-o multime de traiectorii in planul fazelor. Aceste traiectorii formeaza un portret de faza.

Starea de echilibru este o stare initiala care ramane nemodificata in cursul evolutiei circuitului. Aceasta stare corespunde unui punct de echilibru x_1Q, x_2Q din planul fazelor astfel incat daca x (0)=x_1Q si x (0)=x_2Q atunci x (t)=x_1Q si x (t)=x_2Q. In consecinta, in punctul de echilibru avem

Punctele de echilibru se pot determina rezolvand sistemul de ecuatii Ax=0 adica

Daca D 0 acest sistem admite numai solutia banala si originea este singurul punct de echilibru adica x_1Q = x_2Q =0. Daca D=0 atunci avem o infinitate de puncte de echilibru care satisfac ecuatia a x_1Q +a x_2Q =0.

In continuare vom arata ca doua traiectorii nu se pot intersecta intre ele. Fie un circuit neliniar de ordinul doi avand ecuatiile de stare . Panta tangentei la traiectorie

poate fi calculata ca ceea ce reprezinta o valoare unica intr-un punct dat. Intr-un punct de intersectie a doua traiectorii ar exista, in mod evident, doua pante, deci traiectoriile nu se pot intersecta. De la aceasta regula fac exceptie punctele de echilibru in care deci (nedeterminat) si deci pot exista mai multe pante. Asa cum se va vedea in continuare portretul de faza, in care este reprezentata evolutia circuitului pornind din orice stare initiala, constituie o imagine sintetica a comportarii calitative a circuitului.

IV.COMPORTAREA CALITATIVA A UNUI CIRCUIT LINIAR CU EXCITATIE NULA

Comportarea calitativa se refera la proprietati ale raspunsului circuitului la excitatie nula. Aceste proprietati nu depind de starea initiala a circuitului si sunt determinate de structura si valorile numerice ale parametrilor circuitului

Comportarea calitativa a unui circuit liniar de ordinul doi este evidentiata foarte bine cu ajutorul reprezentarii in planul fazelor.

Fie solutia ecuatiei de stare cu valorile proprii s si s si vectorii proprii corespunzatoare h si h . Valorile proprii determina comportarea calitativa a circuitului. In continuare se discuta toate cazurile posibile pentru s si s .

Cazul 1. Matricea A are valori proprii reale si distincte respectiv si . Exista trei posibilitati:

(a) (b) (c)

a) s <s <0 Din expresia lui se observa ca daca

componenta dispare rapid, iar dispare mai lent si traiectoriile devin paralele cu si tind spre origine

Daca atunci domina si dispare rapid si traiectoriile sunt paralele cu . In acest caz se spune despre origine ca este un nod stabil.

b) Cu un rationament asemanator rezulta ca daca devine dominant si traiectoriile tind catre si sunt paralele cu si daca devine dominant si traiectoriile pleaca din origine tangente la . In acest caz se spune despre origine ca este un nod instabil.

c) s₂<0<s₁ Daca , componenta este dominanta si traiectoriile tind catre paralele cu . Daca , componenta este dominanta si traiectoriile vin de la .

paralel cu . In acest caz se spune despre origine ca este un punct sa

Cazul 2 si deci matricea A are valori proprii complex conjugate .

Deoarece A este o matrice cu elemente reale si vectorii rezulta din relatiile avem .

Deoarece x(0) este un numar real rezulta R si deci .

Notam

Rezulta:

Comportarea calitativa a circuitului in cazul valorilor proprii complex conjugate depinde de valoarea lui a care se numeste constanta de atenuare. Exista trei posibilitati:

a) pentru a solutia ecuatiei de stare devine

si portretul de faza este o elipsa care are pe drept directii conjugate. In acest caz starea de echilibru x=0 se numeste centru si corespunde raspunsului fara pierderi. Cele doua variabile de stare vor fi: , , unde sunt constante.

b)daca a< atunci solutia ecuatiei de stare este si se observa ca la tinde exponential la zero si toate traiectoriile vor fi spirale logaritmice care tind spre origine cand .

Starea de echilibru x=0 se numeste, in acest caz, focar stabil si corespunde raspunsului periodic amortizat. Cele doua variabile de stare vor fi de forma , , unde sunt constante.

c) daca a > 0 x(t) are aceeasi expresie ca la punctul b iar portretul de faza contine spirale logaritmice care tind spre infinit cand .

In acest caz, starea de echilibru x=0 este un focar instabil.

V. RASPUNSUL CIRCUITULUI CU STARE INITIALA NULA LA EXCITATIE IMPULS DIRAC UNITAR

Fie un circuit liniar cu stare initiala nula

Functia de circuit asociata intrarii i si iesirii j este unde si .

Daca marimea de intrare este functia impuls unitar (t) pentru care L=1 atunci:

Descompunand in fractii simple pe H_ji(s) si efectuand transformata Laplace inversa conform teoremei a doua a dezvoltarii rezulta, similar cu paragraful precedent, ca unde s_k este polul k de ordin de multiplicitate m_k al lui H_ji(s) si numarul polilor este p.

Deoarece un circuit exponential stabil are toate frecventele naturale in semiplanul stang, toti polii au Re s_k<0 si h(t)0 cand t.

.

CHESTIUNI DE STUDIAT SI MOD DE LUCRU

Problema 1.

Sa se scrie ecuatiile de stare ale circuitului RLC serie si sa se determine frecventele naturale ale acestui circuit pentru L= 1 M, C=1 F si R= 3 W W W W W

Sa se verifice valorile frecventelor naturale obtinute la punctul 1 p-rin calculul expresiei simbolice a admitantei de intrare a acestui circuit.

Calculul simbolic se va face cu programul SAPWIN 3.

START PROGRAMS SapWin3 SapWin FILE NEW

Se deseneaza circuitul RLC serie la intrare cu sursa de tensiune si cu iesire in curent (o sursa de tensiune electromotoare nula). Pentru a roti elementele de circuit se clicheaza pe butonul din dreapta mouse-ului.

Analysis Complete analysis apare functia de transfer in forma simbolica.

Pole/zero Polii apar cu semnul * si zerourile cu ⁰ calculati cu valorile numerice unitare pentru toti parametrii circuitului.

3) Sa se vizualizeze raspunsul la excitatie impuls Dirac unitar pentru toate cazurile de la punctul 1. Sa se explice rezultatele obtinute. Pe ecranul cu poles/zero se clicheaza pe butonul parameter si se dau pentru R₁ valorile 3, -3, 1, -1, 0.

Impulse-Resp se alege pentru end-time (dreapta sus pe ecran) valoarea 5 t corespunzatoare constantei de timp asociate frecventei naturale .

4) Sa se vizualizeze cate cel putin o caracteristica in planul fazelor pentru fiecare varianta de circuit de la punctul 1. Sa se verifice concordanta cu portretul de faza tipic pentru fiecare caz.

Se poate porni de la SPICE NETLIST dat de SAPWIN pasivizand cele doua surse de tensiune. Atentie: PSPICE nu admite valoare nula pentru R!

Se va folosi analiza tranzitorie descrisa de .TRAN tstep tstop SKIPBP unde tstep este pasul de desenare (1/100 tstop), tstop este timpul final iar optiunea SKIPBP inseamna ca analiza se face incepand cu starea initiala determinata de parametrul IC = pentru fiecare element dinamic.

C1 1 2 IC = 1 inseamna ca .si

L1 2 3 IC = 1 inseamna ca .

Tstp se determina ca pentru circuitul considerat.

Problema 2 Se va studia, dupa modelul de la problema 1, circuitul de mai jos pentru Y1=4

Problema 3. Sa se construiasca un circuit de ordinul 2 realizat cu elemente RLC cu parametri pozitivi si surse comandate liniar pentru care originea sa fie focar instabil.

Observatie: o rezistenta negativa poate fi realizata cu un dipol construit cu rezistoare cu rezistente pozitive si surse comandate liniar.