CIRCUITE DE CURENT ALTERNATIV

1. Circuite de curent alternativ monofazat

Producerea curentului alternativ monofazat.

Sa consideram o spira intr-un camp magnetic omogen (fig.1). Daca se roteste spira cu o viteza unghiulara constanta w, in jurul unei axe perpendiculare pe directia liniilor de camp magnetic, in conformitate cu legea inductiei electromagnetice, in spira, se obtine o t.e.m. alternativa sinusoidala si deci un curent alternativ,. Fie a unghiul pe care il face planul spirei cu un plan perpendicular pe liniile de camp. Pentru a = 0, adica atunci cand normala la planul spirei coincide cu directia liniilor de camp magnetic, fluxul magnetic care strabate suprafata delimitata de spira, are valoarea maxima Φ_mdata de relatia: Φ_m=B.S

Fluxul care strabate suprafata determinata de spira este dat de relatia: Φ= Φ_m cosa

Cand spira se roteste cu o viteza unghiulara w constanta, la un moment oarecare t, unghiul , unde φ este unghiul format la t=0 de normala la planul spirei cu directia liniilor de camp magnetic. In acest caz avem:

Φ= Φ_m cos(wt+φ) (1)

T.e.m indusa va fi: (2)

unde:

In cazul cand avem N spire care se rotesc,

E_m=NBSw (3)

Rezulta de aici ca frecventa unghiulara a t.e.m. indusa (pulsatia) este egala cu viteza unghiulara a spirei. In fig.2 sunt reprezentate curbele de variatie a fluxului Φ si a t.e.m. pentru cazul φ = 0.

1.2. Perioada si frecventa curentului alternativ

Forma de unda a curentului alternativ poate fi foarte variata. In fig.3a sunt prezentate formele: sinusoidala, dreptunghiulara si triunghiulara. Daca se suprapune un curent alternativ, de o anumita forma, peste un curent continuu, se obtine un curent ondulatoriu (fig.3b). Daca se suprima anumita alternanta a curentului alternativ, ramane cealalta alternanta care da un curent pulsatoriu. In acest caz, curentul are acelasi sens de scurgere, dar este cu intrerupere (fig.3c).

In curentul alternativ, toate marimile (t.e.m., curent, tensiune) sunt variabile in timp. Vom conveni ca valorile pe care le au aceste marimi la un moment dat t, sa le numim valori instantanee sau momentane si sa le notam cu litere mici.

In tehnica se folosesc, de cele mai multe ori, tensiuni electromotoare, caderi de tensiune, curenti electrici ca marimi periodice, de forma:

e=f(t)=f(t+T)=f(t+nT); u=f(t)=f(t+T)=f(t+nT); i= f(t) = f(t+T) = f(t+nT)

unde n este un numar intreg oarecare, iar T este perioada principala a marimii periodice. Inversul perioadei se numeste frecventa si se noteaza cu f, adica: (4)

Gama frecventelor utilizate in tehnica este foarte mare. Frecventa industriala standardizata pentru transportul si distributia energiei electrice este de 50Hz. In telefonie se utilizeaza frecvente marite (500-5000Hz). In electrotermie se folosesc frecvente de 50-10⁶Hz, iar in radiotehnica se folosesc frecvente de 10⁶-10⁹Hz.

Functiile periodice care determina legile de variatie a marimilor din curentul alternativ, pot avea o forme foarte complicate.

De cele mai multe ori marimile din curentul alternativ (t.e.m., tensiune, curent) sunt functii sinusoidale de timp. In continuare ne vom ocupa numai de curentii sinusoidali. Generatoarele actuale de curent alternativ, de frecventa industriala, se construiesc astfel incat forma curbei t.e.m. sa fie foarte apropiata de o sinusoida..

Tensiunile electromotoare, caderile de tensiune si curentii sinusoidali, se exprima prin functii de forma:

e=E_m sin (t+ _oe

u=U_m sin (t+ _ou (5)

i=I_m sin (t+ _oi

in care e, u si i reprezinta valorile instantanee sau momentane, E_m , U_m si I_m reprezinta valorile maxime, reprezinta pulsatia functiilor periodice si _{oe ou, oi} fazele initiale ale marimilor. Din relatia

rezulta: , adica

In fig.4 este reprezentata grafic variatia unei t.e.m. alternative. Cand functia periodica nu porneste din origine capata expresia:

e, unde reprezinta faza initiala a t.e.m..

In fig.5 este data reprezentarea grafica a t.e.m. sinusoidale pentru diferite valori pozitive si negative ale fazei initiale. In acest caz, pe axa absciselor se poate lua fie timpul t, fie marimea wt, proportionala cu timpul.

1. Faza si decalajul fazelor

Presupunem ca generatorul studiat in fig.1 are doua spire identice, decalate in spatiul cu unghiul φ₁ - φ₂ (fig.6). Prin rotire, se vor induce in spire tensiuni electromotoare de aceeasi frecventa si cu amplitudini identice, deoarece spirele se rotesc cu aceeasi viteza unghiulara si in acelasi camp magnetic. Datorita decalajului spirelor in spatiu, t.e.m. nu ajung sa treaca prin valorile maxime in acelasi moment. Daca rotirea se face in sens invers acelor unui ceasornic, in momentul initial la t = 0, prima spira face un unghi φ₁cu planul orizontal, iar spira a doua un unghi φ₂. T.e.m. induse in cele doua spire vor fi: si .

Valorile instantanee a t.e.m. depind de amplitudine si de fazele initiale (φ₁, respectiv φ₂). Diferenta dintre fazele initiale a doua marimi sinusoidale care au aceeasi frecventa se numeste unghi de decalaj al fazelor sau defazaj si se noteaza de obicei cu φ (fig.7), φ = φ₁ - φ₂

Impartind unghiul de decalaj al fazelor prin pulsatie obtinem timpul de decalaj:

Putem spune ca t.e.m. e₁ este defazata in avans fata de t.e.m. e₂ cu unghiul φ = φ₁ - φ₂ sau, t.e.m. e₂ este defazata in intarziere fata de t.e.m. e₁ cu unghiul φ. Daca, doua marimi sinusoidale trec prin zero si prin maximum in acelasi timp (au aceeasi faza initiala), se spune ca cele doua marimi sunt in faza sau sunt sincrone. Daca cele doua marimi au diferenta dintre fazele lor initiale egala cu p, se spune ca ele sunt in opozitie de faza.

1.4. Reprezentarea simbolica a marimilor sinusoidale

Rezolvarea circuitelor electrice de curent alternativ (c.a.) necesita un volum de calcul sporit fata de cazul circuitelor de curent continuu, aceasta datorita faptului ca toate variabilele din circuitele de c.a. sunt definite prin doi parametri: valoarea efectiva si faza initiala.

Pentru usurarea calculelor acestor circuite, s-au elaborat metode bazate pe transformari ale marimilor sinusoidale in marimi simbolice. Cele mai utilizate metode simbolice, sunt cele geometrice (caracterizate prin vectori sau fazori) si cele complexe.

La baza acestora stau urmatoarele idei:

- marimile simbolice asociate, sa fie caracterizate de aceeasi parametri ca si marimile sinusoidale;

- relatiile intre marimile sinusoidale si marimile simbolice asociate lor, sa fie biunivoce, adica unei marimi sinusoidale sa-i corespunda o singura reprezentare simbolica si numai una si invers;

- operatiile aplicate marimilor simbolice sa reduca volumul de calcul si sa nu altereze parametrii si deci, rezultatul final.

In aceste conditii, rezolvarea unei probleme printr-o metoda simbolica se face in felul urmator:

- se asociaza fiecarei marimi sinusoidale cate o marime simbolica. O parte din aceste marimi reprezenta date initiale ale problemei iar restul - necunoscute;

- se efectueaza operatii de calcul asupra marimilor simbolice, determinandu-se reprezentarile simbolice a marimilor sinusoidale necunoscute ;

- rezultatelor obtinute prin calcul cu reprezentarile simbolice, li se pun in corespondenta marimile sinusoidale respective obtinandu-se astfel necunoscutele problemei.

1.4.1. Reprezentarea fazoriala

Aceasta problema se rezolva foarte simplu si sugestiv, daca pentru reprezentarea functiilor sinusoidale folosim vectori rotitori sau fazori. Sa aratam cum sa utilizam vectorul rotitor pentru reprezentarea unei functii sinusoidale de timp, de exemplu pentru reprezentarea t.e.m.

Consideram sistemul de axe rectangulare NOM (fig.8) si convenim ca unghiurile pozitive sa fie masurate in sens trigonometric. Asezam sub unghiul φ fata de axa ON vectorul , a carui lungime la scara aleasa, este egala cu amplitudinea t.e.m. E_m. Sa rotim vectorul in jurul originii O in sensul pozitiv, cu viteza unghiulara constanta w, egala cu pulsatia t.e.m.

Dupa un timp t, vectorul va fi rotit cu unghiul wt si va forma cu axa ON unghiul wt +φ. In acest caz, proiectia sa pe axa OM va avea valoarea OA sin(wt +φ), adica, la scara aleasa de noi, va da valoarea in momentul t a t.e.m. e, care este valoarea instantanee E_m sin(wt +φ). Ciclul complet de variatie a t.e.m. se obtine pentru o rotatie completa a vectorului . Asadar, o functie sinusoidala de timp se poate reprezenta printr-un vector rotitor (fazor) a carui viteza unghiulara este egala cu pulsatia functiei sinusoidale respective, lungimea cu amplitudinea acestei functii, iar pozitia initiala a momentului t = 0 este determinata de faza initiala φ a functiei sinusoidale considerata. Se poate arata usor ca reprezentarea unei functii sinusoidale cu ajutorul vectorului rotitor concorda cu reprezentarea grafica a functiei in coordonate carteziene, ceea ce se vede in fig.9 care pozitia initiala a vectorului este aratata cu linie plina, iar pozitiile intermediare prin linie intrerupta.

Sa aplicam reprezentarea functiilor sinusoidale prin vectori rotitori pentru determinarea sumei a doua t.e.m. e₁ si e₂ de frecvente egale:

e₁=E_1M sin (ωt +φ₁)

e₂=E_2M sin (ωt +φ₂)

In fig.10 vectorii si reprezinta fazorii t.e.m. e₁ si e₂. Pentru ambele t.e.m. scara trebuie sa fie aceeasi. Valoarea instantanee a t.e.m. totale, in fiecare moment, este egala cu suma valorilor instantanee ale t.e.m. e₁ si e₂, adica cu suma proiectiilor pe axa OM ale vectorilor si , care reprezinta aceste t.e.m.

Deoarece suma proiectiilor catorva vectori pe o axa este egala cu proiectia sumei lor geometrice pe aceeasi axa, proiectia vectorului pe axa OM in fiecare moment, este egala cu e₁ + e₂ = e, adica vectorul este vectorul care reprezinta t.e.m. totala e, iar unghiul φ, format de acest vector cu axa ON in momentul t = 0, va da faza initiala acestei t.e.m.

Deoarece t.e.m. e₁ si e₂ au aceeasi frecventa, vectorii si se rotesc cu aceeasi viteza unghiulara si unghiul dintre vectori ramane invariabil. Vectorul , care reprezinta t.e.m. totala e, se va roti cu aceeasi viteza unghiulara, prin urmare aceasta t.e.m. e va fi o functie sinusoidala de timp care va avea aceeasi frecventa ca si tensiunile electromotoare ce se aduna.

Metoda indicata se poate aplica unui numar oricat de mare de t.e.m. sau curenti sinusoidali de aceeasi frecventa, la adunarea si la scaderea acestora. In rezultatele obtinute vom avea totdeauna t.e.m. sau curenti sinusoidali de aceeasi frecventa, ale caror amplitudini depind de amplitudinile termenilor adunati si de diferentele dintre fazele lor initiale.

Din cele expuse rezulta ca fazorul care reprezinta suma unor marimi sinusoidale de aceeasi frecventa este egal cu suma vectoriala a fazorilor care reprezinta marimile sinusoidale care se aduna.

Daca intereseaza numai amplitudinile t.e.m. sau ale curentilor si defazarile dintre ele, cum se intampla in majoritatea cazurilor, atunci aste importanta numai pozitia relativa a fazorilor unul fata de altul si nu importa pozitia acestor fazori fata de axe. In acest din urma caz, unul dintre fazori poate avea o pozitie oarecare, toti ceilalti trebuind sa fie insa orientati corect fata de acest fazor arbitrar ales.

Totalitatea fazorilor care caracterizeaza procesele produse intr-un circuit oarecare de curent alternativ si care sunt construiti cu respectarea orientarii lor relative corecte, se numeste diagrama de fazori.

1.4.2. Reprezentarea in complex

Metoda simbolica complexa este cea mai utilizata metoda in electrotehnica. Rezolvarea circuitelor de c.a. cu ajutorul diagramelor de fazori nu da intotdeauna satisfactia deplina in ceea ce priveste precizia din cauza erorilor inerente metodelor grafice. In afara de aceasta, in cazul circuitelor ramificate, diagramele de fazori devin extrem de complicate. Exprimand marimile alternative cu ajutorul numerelor complexe se usureaza mult calculul analitic si se permite aplicarea legii lui Ohm si a teoremelor lui Kirchhoff, sub aceeasi forma ca si in curent continuu.

Se stie ca o marime complexa se scrie sub forma:

c=ajb, in care a si b sunt numere reale, iar j=. (6)

Daca consideram in plan doua axe de coordonate(fig.11) ox si oy, pe axa ox vom lua numerele reale, iar pe axa oy, numerele imaginare. In fig.11 este redata reprezentarea grafica a marimii complexe csub forma unui vector ,ale carui proiectii pe axele de coordonate sunt a si b (b este pozitiv).

Daca marimea (modulul) vectorului este r, expresia (6) se poate pune sub forma:

(7)

Unghiul (argumentul vectorului), reprezinta unghiul cu care vectorul este rotit in sens trigonometric fata de axa numerelor reale. Argumentul este pozitiv cand vectorul este rotit in sens trigonometric fata de axa numerelor reale si negativ in sens contrar. Modulul vectorului este dat de expresia :

iar argumentul rezulta din relatia :

Folosind relatiile lui Euler: si

din care se obtine usor (8)

relatia (7) devine: (9)

Expresia (6) constituie reprezentarea algebrica , expresia (7) - reprezentarea trigonometrica, iar expresia (9) - reprezentarea exponentiala.

Marimea imaginara din reprezentarea exponentiala se numeste operatorul de rotatie al vectorului, intrucat el ne indica cu cat trebuie sa rotim vectorul, in sens trigonometric daca e pozitiv si in sensul acelor unui ceasornic daca este negativ, fata de axa numerelor reale. Unghiul din exponentul operatorului trebuie exprimat in radiani, exponentul fiind un numar fara dimensiuni.

Se numesc marimi complexe conjugate, doua marimi de forma:

si sau si .

Conventional, marimea complexa conjugata, se noteaza cu o steluta. Sa reamintim operatiile de derivare si integrare a unei marimi complexe.

Fie vectorul reprezentat de marimea complexa in care este o functie de timp oarecare. Aplicand acestei expresii regulile obisnuite de derivare, obtinem:

Rezulta ca prin derivare se obtine tot un vector, rotit insa cu inainte fata de vectorul dat si al carui modul este de ori mai mare.

Pornind de la relatia : rezulta ca :

deci :

Prin urmare, prin integrare se obtine tot un vector, rotit insa cu in urma vectorului dat si al carui modul este de ori mai mic.

Am vazut ca orice marime complexa poate fi reprezentata printr-un anumit vector, ceea ce inseamna ca si orice vector poate fi reprezentat printr-o marime complexa. Aceasta permite ca si in electrotehnica marimile vectoriale sa se transforme in marimi complexe si cu ajutorul lor sa se rezolve diverse probleme prin calcul analitic.

Daca consideram de exemplu, un curent sinusoidal:

i(t)=I_m sinwt

Acesta poate fi reprezentat vectorial printr-un vector rotitor (fazor) luat ca origine de faza, la timpul t=0. Luand ca origine de faza axa reala, fazorul curentului va fi orientat de-a lungul acestei axe. Vom folosi in notatie simbolica, utilizand valoarea eficace a curentului, I=I. Un alt curent dat de relatia i₁=I_1msin(wt+φ) va fi reprezentat printr-un vector decalat in avans cu unghiul φ fata de vectorul I si deci va fi reprezentat prin relatia:

(10)

la fel se va proceda si in cazul cand avem de a face cu o caderi de tensiuni sau cu o t.e.m. Daca valoarea instantanee a tensiunii este data de relatia: u = U_m sin(wt+φ). Expresia ei complexa, utilizand valoarea eficace ia forma:

U=U (11)

Aceste reprezentari se numesc reprezentari simplificate (s-a renuntat la marimile si w care sunt de regula cunoscute). Functiile sinusoidale am vazut ca pot fi reprezentate prin vectori rotitori (fazori). Deci argumentul acestor fazori este o functie de timp si in acest caz relatiile (10) si (11) se scriu sub forma lor generala (reprezentarea complexa nesimplificata): I₁=I_1;U=U.

1.5. Valorile medii si eficace ale curentului alternativ

Fie curentul sinusoidal i = Im sin cot. Valoarea medie a curentului pe un interval de timp egal cu o T, prin definitie, este:

Cele doua integrale pe semiperioadele curentului corespund suprafetelor hasurate din fig.12. Ele sant egale si de semn contrar, deci imed=0

Valoarea medie a unei marimi periodice pe o semiperioada se calculeaza cu relatia:

(13)

Se obtine pentru intensitatea medie a curentului alternativ pe o semiperioada expresia:

(14)

In calculul circuitelor de curent alternativ se folosesc valorile eficace (efective) ale t.e.m., caderilor de tensiune si ale intensitatilor curentilor. Atat valorile maxime cat si valorile instantanee ale curentului alternativ nu pot fi masurate decat cu ajutorul unor aparate speciale. Instrumentele de masurat obisnuite, intrebuintate la masurarea curentului alternativ dau valorile eficace a curentului. Valoarea efectiva sau eficace a unui curent alternativ se defineste ca fiind, acea valoarea a curentului continuu echivalent, care trecand prin aceeasi rezistenta ca si curentul alternativ produce in ea, in timpul unei perioade, aceeasi cantitate de caldura ca si curentul alternativ respectiv.

Conform standardelor in vigoare, valorile eficace se noteaza cu litere mari (I, U si E reprezenta valorile efective ale curentului, tensiunii si tensiunii electromotoare ).

Cantitatea de caldura dezvoltata de curentul continuu in rezistenta r, in timpul unei perioade a curentului alternativ este:

Q=rI²T

Cantitatea de caldura dezvoltata de curentul alternativ in aceeasi rezistenta r si in acelasi interval de timp T este:

Q=

Din egalitatea celor doua relatii, rezulta:

I²= (15)

Daca curentul variaza dupa legea sinusului, i = I_m sin, relatia (15) devine:

I²=dt

De unde rezulta:

(16)

In mod asemanator se definesc si valorile eficace ale t.e.m. si a caderilor de tensiune, adica: si

Raportul dintre valoarea eficace si valoarea medie aritmetica se numeste factor de forma al curbei. Pentru t.e.m. sinusoidala avem:

(17)

1.6. Legea lui Ohm si teoremele lui Kirchhoff in c.a.

Legea lui Ohm din curent continuu se regaseste si in curent alternativ sub aceeasi forma, cu conditia ca ea sa fie aplicata valorilor instantanee sau valorilor simbolice.

Daca circuitul de curent alternativ contine numai rezistenta ohmica, atunci:

, unde:

Se observa ca daca t.e.m. este sinusoidala si curentul este sinusoidal si de aceeasi pulsatie. Ceea ce caracterizeaza un asemenea circuit care contine numai rezistenta ohmica, este faptul ca cele doua marimi, t.e.m. si intensitatea curentului, sunt sincrone (trec prin zero, prin maximum si prin minimum in acelasi timp). Vom vedea in paragrafele urmatoare, ca in cazul circuitelor de curent alternativ se intalnesc si alte rezistente (inductive si capacitive), in afara de cele ohmice si ca in asemenea cazuri curentul nu mai este in faza cu tensiunea.

Legea lui Ohm se poate scrie si simbolic (cu ajutorul numerelor complexe) sub forma:    (18)

Unde Z este impedanta portiunii de circuit, despre care se va vorbi in paragrafele urmatoare.

Teoremele lui Kirchhoff in c.a. se aplica sub aceeasi forma ca si in c.c., insa ele se scriu asupra valorilor momentane, vectoriale sau simbolice.

Teorema I-a a lui Kirchhoff aplicata intr-un nod da relatiile:

; (19)

Teorema II-a a lui Kirchhoff aplicata unui contur inchis are relatiile:

sau sau (20)

unde inseamna ca latura k apartine conturului p.

1.7. Circuite fundamentale in curent alternativ

In circuitele de c.a., spre deosebire de cele de c.c. intalnim trei feluri de rezistente: ohmice (fig. 13a), inductive (fig. 13b) si capacitive (fig. 13c).

Aceste rezistente pot fi legate in serie, paralel si mixt. Circuitele fundamentale contin fie numai rezistenta ohmica, fie inductiva, fie capacitiva.

1.7.1. Circuite cu rezistenta ohmica

Fie: (21)

un curent sinusoidal care circula prin rezistenta r. Tensiunea la bornele rezistentei r va fi:

sau     (22)

unde . Daca inlocuim valorile maxime in functie de valorile eficace, atunci . Marimile exprimate prin relatiile (21) si (22), reprezentate prin fazori (fig.15), sunt in faza, adica tensiunea de la bornele unei rezistente chimice si curentul care trece prin rezistenta sunt in faza.

1.7.2. Circuite cu inductanta.

Sa consideram ca printr-o bobina, de inductanta L (fig.16), circula curentul: (23)

Sa notam cu u tensiunea de la bornele a - a' ale sursei si cu u_L cea de la bornele b - b' ale bobinei. Aplicand teorema a II-a lui Kirchhoff circuitului aa b ba din fig.16, vom avea relatia:

unde

Daca consideram neglijabila rezistenta ohmica a bobinei, atunci:

(24)

Folosind relatiile (23) si obtinem

(25)

dar , de unde rezulta:

si

Marimile exprimate prin relatiile (23) si (25), reprezentate cu fazori, sunt decelate cu un unghi de , adica tensiunea de la bornele unei inductante este decalata inainte cu fata de curentul care trece prin bobina (fig. 17). T.e.m. de autoinductie E_L este in opozitie cu tensiunea de la bornele inductantei.

Relatia se poate scrie si in functie de valorile eficace ale tensiunii si curentului, adica: sau:

(27)

Comparand relatia (27) cu relatia I=U/R, de la circuitele de curent continuu, observam ca produsul se comporta ca o rezistenta.

Aceasta rezistenta o vom numi reactanta inductiva si o vom nota cu X_L, adica .

Reactanta inductiva se masoara tot in ohmi, ca orice rezistenta. Relatia (24) poate fi scrisa in complex, sub forma:

(28)

Rezulta: . Si din aceasta relatie sa vede ca U_L este defazat inainte cu fata de intensitatea curentului.

1.7. Circuite cu condensator

Fie reteaua din fig.18, ce contine un condensator de capacitate C. Notam cu u_c tensiunea la bornele condensatorului si cu u tensiunea de la bornele sursei, data de relatia:

u(t)=U_m sin (29)

Insa si (30)

Din relatia (29) si (30) avem:

si sau (31)

unde: I_m=C si (32)

Se observa ca intensitatea curentului ce trece printr-un condensator este defazata cu/2 inainte fata de tensiunea de la bornele condensatorului(fig.19).

Din prima relatiile (31) se poate scrie: I= adica 1/Cse comporta ca o rezistenta si poarta numele de reactanta capacitiva si se noteaza X_C=1/C

Reactanta capacitiva se masoara in ohmi, ca orice rezistenta.

Daca relatia i=C este scrisa utilizand exprimarea cu ajutorul numerelor complexe, vom avea: sau

(33)

S-au obtinut aceleasi rezultate, adica intensitatea curentului care trece printr-un conductor este defazata inainte cu fata de tensiunea de la bornele condensatorului.

Se poate considera relatia (93) si sub forma:

(30)

sau, in complex: (29)

adica s-a ajuns la acelasi rezultat ca mai sus, respectiv este defazat in urma cu fata de .

1.8. Circuite serie in curent alternativ

Sa consideram cazul general, cand intr-un circuit de c.a. avem rezistenta ohmica, inductiva si capacitiva legate in serie (fig.20). Aplicand teorema a II-a a lui Kirchhoff circuitului reprezentat in fig.20 avem relatiile:

(30)

Daca rezolvam ecuatia scrisa sub forma vectoriala luand ca origine de faza, fazorul intensitatii curentului, obtinem diagrama de fazori din fig.21. Caderea de tensiune U_r este in faza cu intensitatea curentului si deci vom lua fazorul pe directia fazorului curentului. La capatul fazorului adaugam fazorul care este defazat cu /2inainte fata de fazorul intensitatii curentului, iar la capatul fazorului se adauga fazorul tensiunii , care este decalat in urma cu fata de intensitatea curentului. Fazorul care uneste originea cu capatul fazorului reprezinta tensiunea de la bornele sursei (tensiunea aplicata la bornele gruparii). Din triunghiul ABC, rezulta:

sau, din care se scoate relatia:

= Z (31)

Raportul U/I se noteaza cu Z si poarta numele de impedanta. Impedanta are dimensiunile unei rezistente si se masoara in ohmi. Decalajul dintre tensiune si curent este dat de relatia:

sau

Impartim laturile triunghiului ABC, prin I, obtinem un alt triunghi asemenea (fig. 21), cu laturile Z, R, si X_L - X_C, care poarta numele de triunghiul impedantelor. Din triunghiul impedantelor rezulta toate relatiile scrise anterior pentru Z, , etc.

Daca in circuitul din fig.20 lipseste una din rezistente, impedanta circuitului va fi:

- pentru R = 0, Z = X_L - X_C = X, adica impedanta circuitului este egala cu reactanta totala a circuitului;

- pentru X_L = 0,

- pentru X_C = 0,

Daca din relatiile 20, se utilizeaza relatia scrisa simbolic , cu: U _r = R I , U _L= j X_L I si U _C= - j X_C I

Rezulta relatia:

U = I (r + j X_L - j X_C ) (32)

sau:

(33)

cu modulul Z=si argumentul (argument pozitiv inseamna ca fazorul tensiunii este inainte fata de fazorul curentului - defazaj inductiv).

1.9. Circuite derivate in curent alternativ

Sa consideram un circuit derivatie R-L-C (format dintr-o rezistenta ohmica, o reactanta inductiva si o reactanta capacitiva legate in paralel), alimentate de la o sursa de c.a. (fig.22).

Aplicand teorema I a lui Kirchhoff pentru marimile instantanee, fazoriale si complexe intr-un nod, obtinem relatiile:

i = i_r + i_L + i_C

(34)

Pentru a gasi fazorul curentului total , se ia ca axa de referinta, axa fazorului tensiunii (fig.23). Fazorul _r este in faza cu , _L decalat in urma cu p/2 fata de U, iar _C decalat inainte cu p/2 fata de . Insumand acesti fazori, vom obtine decalat ca un unghi j, fata de tensiunea aplicata.

Daca aplicam teorema lui Pitagora, pentru triunghiul dreptunghic ABC, obtinem relatiile:

I² = I_r² +(I_L - I_C)² si I²=

sau:

(35)

inversul impedantei poarta numele de admitanta si se noteaza cu Y=

Notam cu: si , unde g reprezinta conductanta, b reprezinta susceptanta inductiva si b_c susceptanta capacitiva. In cazul acesta, admitanta se va scrie sub forma:

Y= (36)

Daca impartim laturile triunghiului ABC prin U obtinem triunghiul admitantelor (fig.24). Decalajul dintre tensiune si intensitate rezulta din triunghiul admitantelor.

tg sau cos

Considerand relatia (34) scrisa simbolic si inlocuind curentii I_r, I_L si I_C cu expresiile: I_r=; I_L= si , rezulta:

(37)

sau: (38)

si respectiv: (39)

Modulul si argumentul admitantei sunt:

; (40)

1.10. Circuite mixte in curent alternativ

Fie circuitul din fig. 25. Aplicam teorema I-a a lui Kirchhoff sub forma vectoriala:

Pentru a rezolva aceasta relatie construim diagrama de fazori in felul urmator: fata de fazorul curentului luam fazorii tensiunilor de la bornele rezistentei ohmice si de la bornele reactantei inductive. Insumand acesti fazori aflam fazorul tensiunii totale aplicata gruparii (fig.26), care este aceeasi si cu tensiunea de la bornele condensatorului. Fata de fazorul tensiunii luam fazorul curentului decalat inainte cu si insumam vectorial curentii si . In felul acesta putem afla marimea curentului total, din relatia:

Decalajul dintre vectorii si se poate afla scriind egalitatea proiectiilor fazorilor curentilor si pe directia fazorului tensiunii , adica:

deci:

presupunand cunoscute tensiunea aplicata la bornele gruparii si rezistentele R, X_L si X_C, putem determina celelalte marimi care ne intereseaza cu relatiile:

; ;

Problema poate fi rezolvata usor si cu ajutorul numerelor complexe si anume:

; ; ;

1.11. Relatiile dintre rezistentele si conductantele echivalente

Din triunghiul impedantelor rezulta relatiile:

si

iar din triunghiul admitantelor rezulta: si

Cum decalajul dintre tensiuni si curent este acelasi, putem scrie:

si ,de unde rezulta:

si (41 si 42)

sau:

si (43 si 44)

Din expresiile marimilor r, x, Z, g, b, Y, rezulta ca numai impedanta Z si admitanta Y sunt marimi inverse una alteia, in timp ce rezistenta r si conductanta g, precum si reactanta X si susceptanta b nu sunt marimi inverse una alteia. Numai pentru X=0 avem si pentru r=0 avem . Relatiile deduse mai sus se pot aplica cu usurinta la rezolvarea circuitelor mixte.

Exemplu: Fie circuitul reprezentat in fig. 27, unde se cunosc: r₁, r₂, r₃, x₁, x₂, x₃ si tensiunea aplicata U. Se cere sa se determine: impedanta totala a circuitului, curentii I₁,I₂, I₃ si defazajul , dintre tensiunea si curentul .

Pentru rezolvarea acestei probleme, vom reduce circuitul mixt la un circuit serie echivalent, dupa cum urmeaza: - laturile circuitului compuse din r₁, x₁ si r₂, x₂ le transformam in circuite echivalente derivatie cu conductantele g₁ si g₂, si susceptantele b₁ si b₂. Se inlocuiesc cele doua circuite derivatie cu unul singur de conductanta g₁₂ si susceptanta b₁₂. Circuitul compus din g₁₂ si b₁₂ il inlocuim cu un circuit echivalent serie de rezistenta r₁₂ si reactanta x₁₂. in felul acesta am redus circuitul mixt, la un circuit serie compus din rezistenta ohmica echivalenta r_e si din reactanta echivalenta x_e, caruia i se poate calcula impedanta echivalenta.

Formulele de calcul sunt urmatoarele:

; ;;; ;

;; ;; ; ; ;

Impedanta va fi: unde: si

Curentii se afla cu relatiile:

; ; ;

Decalajele se determina din relatiile:

; ; si

Diagrama de fazori a intregului circuit se construieste prin suprapunerea diagramelor de fazori a fiecarei laturi in parte (fig.28), stiind ca: si

Problema poate fi rezolvata cu usurinta, utilizand numerele complexe si anume:

; ; ; ; ; ;;

Din aceste relatii se pot calcula si modulul si argumentul marimilor respective, iar diagrama de fazori se va construi luand ca origine de faza. Trebuie sa rezulte o singura diagrama identica cu cea din fig. 28, cu deosebire ca toti fazorii vor fi rotiti, in sens orar, cu acelasi unghi (pentru ca sa fie pe orizontala).

1.12. Puterea in c.a. monofazat

Puterea instantanee, intr-un circuit de curent alternativ este data de relatia: p= u i.

Am vazut insa in paragrafele anterioare, ca de cele mai multe ori intre tensiune si curent exista un decalaj oarecare, de regula inductiv. Daca inlocuim tensiunea si curentul cu valorile date de relatiile:

si , atunci relatia puterii instantanee devine:

(45)

Reprezentand grafic u(t), i(t) si p(t), fig. 29, observam ca variatia puterii in timp (curba p(t)) este dublu pulsativa. Puterea medie intr-o perioada se deduce din relatia:

sau

Inlocuind pe si in functie de valorile eficace si rezolvand integrala, gasim:

(46)

Daca inlocuim in aceasta relatie pe U si cu valorile date de relatiile: si gasim:

Rezulta ca puterea medie in curent alternativ reprezinta consumul prin efectul Joule-Lenz. Din aceasta cauza puterea medie poarta numele de putere activa si se noteaza simplu P, adica:

(47)

Intensitatea curentului este decalata fata de tensiune, in cele mai multe cazuri.

Daca descompunem fazorul intensitatii in doua componente, una in faza cu si una perpendiculara pe (fig. 30), atunci putem scrie: si

Multiplicand aceste relatii cu

U, obtinem: si (48)

Prima relatie reprezinta puterea activa, iar a doua reprezinta tot o putere care poarta numele de putere reactiva. Puterea activa se masoara in wati, iar puterea reactiva se masoara in volti amperi reactivi (prescurtat VAR).

Cele doua componente si poarta numele de componenta activa (sau wattata) a curentului si componenta reactiva (sau dewattata). Produsul UI reprezinta tot o putere si poarta numele de putere aparenta (se noteaza S). Puterea aparenta se masoara in volti amperi (prescurtat VA).

Cosinusul unghiului de decalaj dintre tensiune si intensitate cu care trebuie sa multiplicam puterea aparenta pentru a obtine puterea activa se numeste factor de putere.

Daca facem suma patratelor puterilor activa si reactiva, obtinem:

²

sau: (49)

Relatia aceasta se obtine si din triunghiul puterilor reprezentat in fig.31, care se poate obtine din triunghiul impedantelor, daca multiplicam laturile cu I².

1.1 Imbunatatirea factorului de putere.

Un receptor in curent alternativ, poate fi alimentat de la o retea, la un anumit factor de putere. Cu cat factorul de putere va fi mai apropiat de unitate, cu atat curentul absorbit de receptor va fi mai apropiat de componenta activa a curentului, intrucat decalajul intre tensiune si intensitate este mai mic. Adica, la aceeasi putere activa, daca tensiunea de alimentare a unui receptor este constanta, curentul absorbit de receptor de la retea este cu atat mai mic, cu cat decalajul intre tensiune si curent este mai mic (fig.32). Intrucat pierderile de energie pe retea, datorita efectului termic al curentului, sunt direct proportionale cu patratul intensitatii curentului, trebuie ca factorul de putere al receptorului sa fie cat mai apropiat de unitate. Uzina producatoare de energie electrica va functiona cu un factor de putere mijlociu, deoarece receptorii conectati la retea functioneaza cu factori de putere diferiti.

Energia furnizata de uzina electrica este masurata cu ajutorul contoarelor de energie activa, iar energia reactiva este masurata cu contoare de energie reactiva. Notand cu W energia activa, cu W_r energia reactiva si cu W_a energia aparenta, putem scrie relatiile:

(KWh); (KVARh);(KVAh)

Factorul de putere mijlociu se calculeaza cu relatia:

(50)

Intreprinderile furnizoare de energie electrica pot forta pe consumatori, prin penalizari, sa lucreze cu un factor de putere cat mai apropiat de unitate.

Pentru imbunatatirea factorului de putere exista mai multe metode. Una din metode se bazeaza pe intercalarea unui condensator in paralel cu receptorul care v-a fi prezentata mai jos. Celelalte metode bazate pe functionarea masinilor electrice, se vor aminti in capitolele respective (functionarea masinii sincrone in regim supraexcitat).

In circuitul din fig.34, daca nu ar exista condensatorul C legat in paralel cu receptorul de impedanta Z, curentul absorbit de la retea ar fi I, decalat in urma cu unghiul . Pentru a face (curentul absorbit de la retea sa fie in faza cu tensiunea, adica ), trebuie ca valoarea capacitatii condensatoru-lui sa fie astfel incat curentul capacitiv sa fie dat de relatia: .

Curentul capacitiv mai este dat si de relatia:

Egaland cele doua relatii, gasim:

(51)

Daca vrem insa, ca factorul de putere sa fie apropiat de unitate si nu egal cu unitatea (de exemplu sa imbunatatim de la 0,5 la 0,9), atunci relatia capacitatii condensatorului o vom determina astfel:

Fie si (fig.35) din triunghiul dreptunghic OAC, cateta este egala cu , si deci vom avea:

Insa si deci:

(52)

Relatiile (51) si (52) pot fi scrise si sub forma:

si (53)

1.14. Rezonanta in circuitele electrice

Intrucat reactantele inductive si capacitive, precum si susceptantele inductive si capacitive se pot compensa mutual. Pot exista cazuri cand in circuitul care contine elemente reactive, reactanta echivalenta sau susceptanta echivalenta sa fie nule si deci curentul sa fie in faza cu tensiunea aplicata la bornele circuitului (impedanta va fi egala cu rezistenta activa). Vom spune, in acest caz, ca in circuit exista rezonanta. Rezonanta se poate intalni si la circuitele care reprezinta portiuni ale unor circuite mai complexe. Fenomenul de rezonanta are o importanta foarte mare si are aplicatii multiple in dispozitivele electrotehnice.

1.14.1 Rezonanta circuitelor serie (rezonanta tensiunilor)

Sa consideram circuitul reprezentat in fig.20. pentru reactanta acestui circuit avem relatia:

. Daca X_L = X_C sau L=

avem indeplinita conditia de rezonanta, intrucat vom avea Z = r si deci curentul va fi in faza cu tensiunea. Diagrama de fazori la rezonanta este reprezentata in fig.36. Din egalitatea reactantei inductive cu reactanta capacitiva, rezulta :   

= ; L = ; C = (54)

adica rezonanta se poate realiza variind fie frecventa tensiunii aplicata la bornele circuitului, fie inductanta bornei, fie capacitatea condensorului .

Daca tensiunea aplicata la bornele circuitului nu variaza, curentul in circuit va avea valoarea maxima la rezonanta egala:

I_max = =

Pulsatia la care se produce rezonanta poarta numele de pulsatie de rezonanta, iar frecventa corespunzatoare f_r = poarta numele de frecventa de rezonanta.

Din diagramele de fazori se observa ca, la rezonanta, fazorii si sunt egali si de sens contrar, iar este egal cu r. S-ar putea intampla ca fazorii si sa fie mai mari decat , adica tensiunile la bornele inductantei si la bornele condensatorului sa fie mai mari decat tensiunea aplicata la bornele circuitului.

Rezonanta in cazul circuitelor serie poarta numele de rezonanta tensiunilor.

Raportul dintre tensiunea la bornele circuitului si oricare tensiune reactiva, la rezonanta , este:

= = = =

unde Z_e poarta numele de impedanta caracteristica si este data de relatia:

Din egalitatea rapoartelor :

se observa ca si deci, atunci cand tensiunea inductiva si cea capacitiva sunt de ori mai mare decat tensiunea aplicata la bornele circuitului.

Prin urmare, la rezonanta de tensiune, in diferitele portiuni ale circuitului pot sa apara tensiuni mai mari decat tensiunea aplicata la bornele acestuia. Daca atunci U_L si U_C pot atinge valori periculoase pentru izolatia bobinelor si dielectricelor condensatoarelor.

Obtinerea rezonantei de tensiune prin variatia capacitatii C se intrebuinteaza pe scara larga la reglajul aparatelor de radio al caror circuit oscilant este acordat prin variatia capacitatii unui condensator variabil, pana cand circuitul intra in rezonanta cu frecventa undei receptoare, a carei amplificare se urmareste.

Variatia reactantelor in functie de frecventa f a tensiunii aplicate este reprezentata in fig.37.

Variatia tensiunilor, curentului si decalajului in functie de frecventa este reprezentata in fig.38, iar in fig.39 sunt date curbele de variatie ale curentului in functie de frecventa f a tensiunii aplicate, pentru doua valori ale raportului R/Zo . Se observa ca, cu cat raportul R/Z₀ este mai mic cu atat valoarea maxima a curentului de rezonanta se manifesta mai puternic si in limite ale frecventelor mai stranse.

1.14.2 Rezonanta circuitelor derivatie (rezonanta curentilor)

Sa studiem conectarea in paralel a doua laturi, care poseda rezistentele active r₁ si r₂ si reactantele si (fig.40). Rezistentele r₁ si r₂ sunt astfel alese incat fazorul curentului I, in portiunea neramificata a circuitului sa fie in faza cu fazorul tensiunii U (fig.41 In acest caz vom avea rezonanta si anume rezonanta curentilor. Pentru a indeplini conditia de rezonanta trebuie ca, componentele reactive ale celor doi curenti sa fie egale, adica sau se mai poate scrie:

.

Se stie ca si .

Deci relatia de mai sus se mai poate scrie:

sau:

Din ultima relatie, rezulta (pulsatia la rezonanta), respectiv f_r (frecventa de rezonanta)

(55)

1.15. Bobina cu miez de fier in circuitul de c.a.

Cand intr-un circuit cu o bobina fara miez de fier trece un curent alternativ, tensiunea aplicata la bornele bobinei trebuie sa echilibreze caderea de tensiune pe rezistenta chimica si t.e.m. de autoinductie, adica:u + e_L = ri sau u = ri + N

Diagrama de fazori pentru o astfel de bobina apare ca in fig.42. In cazul bobinelor care nu contin miez de fier, raportul dintre flux si curentul corespunzator acestui flux este o marime constanta, iar curba de variatie a curentului are aceeasi forma ca si fluxul magnetic (fluxul magnetic este in faza cu intensitatea curentului).

La o bobina cu miez de fier, relatia dintre t.e.m. si flux ramane neschimbata, in schimb nu mai exista proportionalitate intre flux si curent, aceasta datorita influentei saturatiei magnetice care are loc in miezul de fier, ceea ce provoaca o variatie a permeabilitatii magnetice.

In fig.43 a s-a reprezentat ciclul de histerezis, luand fluxul pe ordonata si intensitatea curentului pe abscisa. Prin aceasta modificare forma curbei nu se schimba, este aceeasi ca si in cazul cand se ia inductia magnetica pe ordonata si intensitatea campului magnetic pe abscisa, s-a schimbat doar scara la care se traseaza curba, intrucat fluxul magnetic este direct proportional cu inductia magnetica, iar intensitatea campului magnetic este direct proportionala cu intensitatea curantului electric.

In fig.43b s-a reprezentat variatia fluxului magnetic, a t.e.m. si a intensitatii curentului. Variatia fluxului are loc dupa sinusoida a₁, b₁, c₁, d₁, a₁. Asemenea variatie are loc sub actiunea unui curent i, a carui variatie este data de curba a₂b₂c₂d₂a₂. Aceasta din urma curba rezulta purtand pe axa ordonatelor valorile curentului i pentru diferite valori ale fluxului magnetic , iar pe axa absciselor timpii corespunzatori valorilor respective ale fluxului magnetic. De exemplu, pentru fluxul OK' corespunde valoarea instantanee a fluxului K₁K₂' si curentul magnetizat OK''. Purtam aceasta valoare a curentului magnetizat pe ordonata fluxului si gasim K₂K₂''=OK''. Luand in felul acesta mai multe puncte (b, P), gasim curba curentului a₂b₂c₂d₂a₂, care nu este sinusoidala si care este decalata inainte fata de curba fluxului cu unghiul (unghi de pierderi magnetice).

Prin descompunerea curbei curentului de magnetizare ne putem convinge de faptul ca acest curent este format din armonice impare, dintre care cea mai apropiata este armonica a treia. Eroarea nu va fi prea mare daca in loc de curba reala a curentului se va lua curba primei armonice (curba figurata intrerupt in fig.43b). din fig.43b. Se observa ca valorile maxime ale celor doua curbe, ale fluxului si curentului, au loc simultan, insa fluxul magnetic trece prin zero cu unghiul in urma curentului.

Se numeste curent echivalent al curentului real din circuit, un curent sinusoidal a carui valoare eficace I este egala cu valoarea eficace a curentului real si care, sub actiunea aceleiasi tensiuni aplicata circuitului, produce in circuit o putere activa egala cu aceea consumata prin fenomenul de histerezis. Diagrama vectoriala a bobinei construita in aceste conditii, este reprezentata in fig.43c. In diagrama, fazorul al curentului echivalent s-a descompus in doua componente: o componenta activa , cuprinde doua parti: una corespunzatoare pierderilor prin histerezis si una corespunzatoare pierderilor prin curenti Foucault.

Astfel, pentru valoarea eficace a curentului se poate scrie relatia:

(56)

Daca determinam pierderile de putere prin histerezis si curenti Foucault, putem calcula componenta I_H cu relatia:

in care reprezinta pierderile de putere in fierul bobinei datorita fenomenului de histerezis si curentilor Foucault.

Daca se tine seama de caderea de tensiune activa in infasurarea bobinei, diagrama de fazori a valorilor eficace va capata forma din fig.44. Tensiunea aplicata la bornele bobinei, pe langa faptul ca trebuie sa echilibreze t.e.m. E, trebuie sa compenseze si caderea activa de tensiune U_a = rI. Diagrama de fazori arata ca daca exista cadere de tensiune activa in infasurare si pierderi in miezul bobinei, directia curentului magnetizant nu este perpendiculara pe directia tensiunii U aplicata la borne si de aceea, acest curent nu este pur reactiv.

De asemeni, curentul I_H reprezinta o parte din curentul activ. Puterea activa consumata in bobina este data de relatia:

Deci factorul de putere va fi:

(57)

Daca proiectam vectorul tensiunii pe directia curentului, obtinem un triunghi dreptunghic abc (fig.45). Acest triunghi reprezinta triunghiul caderilor de tensiune dintr-un circuit serie cu constante concentrate, in care reprezinta caderea de tensiune activa, iar caderea de tensiune inductiva. Caderea de tensiune activa este formata din caderea de tensiune pe rezistenta ohmica a bobinei, reprezentata prin vectorul si din caderea de tensiune care are loc pe o alta rezistenta suplimentara legata in serie cu r. Caderea de tensiune inductiva , are loc pe o reactanta inductiva X_L legata in serie cu rezistentele r si . Circuitul astfel format reprezentat in fig.46 constituie schema echivalenta a bobinei cu miez de fier. Deci o bobina cu
miez de fier poate fi inlocuita cu o bobina fara miez de fier dar care are o rezistenta si o reactanta inductiva X_L. Existenta pierderilor prin histerezis si prin curenti Foucault creeaza unghiul de pierderi intre curentul magnetizat si curentul care alimenteaza infasurarea bobinei.

2. Circuite electrice trifazate

2.1. Sisteme de marimi polifazate

Un sistem de m marimi care au aceeasi lege de variatie si aceeasi frecventa se numeste sistem polifazat de marimi sau sistem m-fazat. Marimile sistemului polifazat pot diferi intre ele ca amplitudine sau ca faza. De exemplu, un sistem m-fazat de tensiuni sinusoidale este format din marimile:

unde a a a_m reprezinta unghiurile de decalaj dintre prima infasurare si a doua, a treia, etc., asa cum se arata in fig. 47.

Un sistem polifazat se poate obtine daca pe circumferinta rotorului (indusului) unui generator ce se roteste intr-un camp magnetic, se plaseaza atatea infasuraturi sau bobine, decalate in spatiu una fata de alta, cate faze sunt in sistem. Tensiunile electromotoare induse in aceste infasurari vor avea aceeasi frecventa, insa vor fi defazate una fata de alta.

Sistemele polifazate pot fi impartite in: - sisteme simetrice si nesimetrice; - sisteme independente (separate) si interconectate (cuplate); - sisteme echilibrate si monoechilibrate. Un sistem de tensiuni este simetric atunci cand, toate tensiunile au aceeasi amplitudine si pastreaza acelasi defazaj , intre oricare doua marimi consecutive ale sistemului, in care m reprezinta numarul de faze. Intr-un astfel de sistem, valorile instantanee ale t.e.m. din diferite faze se exprima prin relatiile:

e₁=E_m sin

e₂=E_m sin(

e₃=E_m sin(

 

 

 

e_m=E_m sin[]

Aceste t.e.m. pot fi reprezentate cu ajutorul fazorilor, decalati unul in raport cu celalalt cu acelasi unghi 2/m (fig. 48a.), sau cu ajutorul sinusoidelor.

Portiunile circuitelor prin care trec curenti de aceeasi faza se numesc faze. Curentii, caderile de tensiune si tensiunile electromotoare ce actioneaza in faze se numesc marimi de faza.

2.2. Sisteme trifazate

In practica se utilizeaza aproape in exclusivitate sistemele trifazate de tensiuni electromotoare (t.e.m.), iar circuitele in care actioneaza acestea se numesc circuite trifazate. Larga utilizare a circuitelor trifazate se explica prin: transportul economic al energiei electrice, realizarea de cele mai robuste si economice motoare electrice (motoarele asincrone trifazate), utilizarea de circuite de alimentare separate pentru doua sau trei receptoare etc In centralele electrice energia electrica se obtine cu ajutorul generatoarelor sincrone trifazate. Constructia unui generator sincron de curent alternativ trifazat este reprezentata schematic in fig.49. Statorul generatorului (reprezinta indusul masinii) are trei infasurari A-X:B-Y;C-Z plasate pe un circuit magnetic de forma cilindrica, confectionat din tole de otel electrotehnic iar rotorul (inductorul masinii) are o infasurare de curent continuu ce se gaseste pe un circuit magnetic. In timpul rotirii rotorului, in infasurarile statorului se induc trei tensiuni electromotoare egale in valoare absoluta, insa defazate cu un unghi de /3, doua cate doua. Daca luam ca origine a timpului momentul cand t.e.m. din prima infasurare A-X trece prin zero, avem relatiile:

e_A=E_m sin sau E=E j⁰=E

sau (59)

sau

Tensiunile electromotoare e_A, e_B si e_C, care reprezinta valorile instantanee, variaza dupa curbele din fig.50b, iar reprezentarea fazoriala este data de fig. 50a.

Bornele A, B si C ale infasurarilor statorului sunt considerate ca inceputurile fazelor, iar bornele X, Y si Z, sfarsiturile fazelor.

Daca fiecare faza debiteaza un curent in circuitul exterior, la bornele fiecarei faze vom avea o tensiune, care se numeste tensiune pe faza.

Daca cele trei faze sunt incarcate uniform, adica curentii debitati sunt egali ca marime, amplitudinile tensiunilor pe faza vor fi egale in valoarea absoluta si vom avea de-a face cu un sistem echilibrat. La o incarcare uniforma a circuitelor, defazarea intre fazorii tensiunilor pe faza si va fi aceeasi egala cu 2p Prin urmare se pot scrie urmatoarele expresii pentru valorile instantanee ale tensiunilor pe faza:

(60)

Exprimand valorile eficace ale tensiunilor pe faza sub forma simbolica, se obtin urmatoarele relatii:

(61)

Din fig.4.4 se observa ca suma e_A+e_B+e_C sau _{A B C} este zero si de asemenea _{A B C}

Cele trei faze ale sistemului trifazat se pot conecta in doua feluri : in stea si in triunghi.

2.2.1. Conexiunea in stea

Daca sfarsitul infasurarilor celor trei faze (X, Y, Z) le conectam la un punct comun O, care poarta numele de punct de nul sau punct neutru, se obtine un sistem de curenti trifazat conectat in stea. Aceasta conexiune poate fi reprezentata schematic ca in fig. 51, in care de la punctul neutru pleaca un al patrulea conductor.

Conductoarele care pleaca de la fiecare faza poarta numele de conductoare de linie, iar conductorul care pleaca de la punctul neutru poarta numele de conductor nul sau conductor neutru.

In cazul unei incarcari uniforme a fazelor, conductorul neutru nu este necesar, deoarece in acest caz curentul din el este nul.

Curentii din cele trei faze vor fi:

(62)

Sistemul fiind simetric si echilibrat vom avea: i₁+i₂+i₃=0

Daca exprimam cei trei curenti simbolic si luam curentul I₁, ca origine de faza, avem:

(63)

Suma I₁+ I₂+ I₃, trebuie sa aiba valoarea zero. Intr-adevar:

Tensiunile U_A, U_B si U_C masurate intre conductoarele de linie si conductorul neutru poarta numele de tensiuni de faza, iar tensiunile U_AB, U_BC si U_CA masurate intre conductoarele de linie, poarta numele de tensiuni de linie sau tensiuni intre faze.

Valoarea instantanee a tensiunii intre faze, este diferenta intre valorile instantanee ale tensiunilor pe faza, adica:

(64

sau, sub forma complexa:

(65)

Reprezentand fazorial relatiile de mai sus, gasim diagrama de fazori a tensiunilor de linie (fig.52). Daca exprimam marimea tensiunii de linie fata de cea de faza, obtinem relatia:

Daca sistemul este simetric si echilibrat, atunci avem:

U_AB=U_BC=U_CA=U₁ si U_A=U_B=U_C=U_f

Deci putem scrie:

sau

Rezulta ca tensiunea de linie este de ori mai mare decat tensiunea pe faza de si decalata inainte cu p/6 fata de aceasta.

Din examinarea schemei din fig. 51, se observa ca intensitatea curentului care circula prin infasurarile fazelor este egala cu intensitatea curentului care circula prin conductoarele de linie, adica se poate scrie relatia: I_f = I₁

Pentru o incarcare uniforma a fazelor (I_A=I_B=I_C=I_f si I₁=I₂=I₃=I_l), conductorul neutru poate fi scos din schema fara a se influenta functionarea instalatiei.

Cateodata, punctul neutru este pus la pamant si in cazul acesta conexiunea se numeste stea cu neutrul pus la pamant.

In cazul incarcarii uniforme a fazelor, lipsa curentului in conductorul neutru poate fi constatata si prin insumarea geometrica a fazorilor curentilor de faza (ca urmare a insumarii se obtine un triunghi inchis - fig. 53). In practica insa, nu totdeauna fazele sunt uniform incarcate, in special in cazul unei sarcini de iluminat. In asemenea cazuri este nevoie de cel de-al patrulea conductor, care serveste pentru trecerea curentului de egalizare.

Acest curent de egalizare poate fi determinat tot prin insumarea vectoriala a fazorilor curentilor si valoarea acestui curent va fi data de latura care inchide poligonul astfel construit (fig. 54). Adica se poate scrie relatia, sub forma vectoriala:

(67)

Relatia (67) poate fi rezolvata si prin metoda simbolica, exprimand curentii sub forma complexa, adica:

2.2.2. Conexiunea in triunghi

Daca legam sfarsitul primei infasurari X cu inceputul infasurarii a doua B, sfarsitul infasurarii a doua Y cu inceputul infasurarii a treia C si sfarsitul infasurarii a treia Z cu inceputul primei infasurari A, cum se arata schematic in fig.55, obtinem un sistem trifazat cu conexiunea infasurarilor in triunghi.

Din examinarea schemei se observa ca in cazul cand un sistem echilibrat are conexiunea in triunghi, tensiunea intre faze este egala cu tensiunea pe faza, adica: U_l =U_f

In ceea ce priveste curentii de linie, fata de curentii pe faza, putem scrie urmatoarele relatii, aplicand teorema I a lui Kirchhoff in nodurile A, B si C:

I₁=I_BA-I_AC

I₂=I_CB-I_BA )

I₃=I_AC-I_CB

Daca sistemul trifazic este simetric si echilibrat, atunci:

I₁=I₂=I₃=I_l si I_BA=I_CB=I_AC=I_f

Rezolvand fazorial cele trei relatii, gasim diagrama de fazori a curentilor, reprezentata in fig. 56. Rezolvand simbolic una din relatiile (68) vom gasi: sau

Rezulta ca: , adica curentul de linie in cazul conexiunii in triunghi este de ori mai mare decat curentul de faza si decalat cu unghiul de in urma fata de acesta.

. Puterile electrice in circuite trifazate

Calculul puterii in sistemele trifazate se face dupa aceleasi principii ca in curent alternativ monofazat. Deoarece un sistem trifazat reprezinta un ansamblu de trei faze, puterea acestui sistem se determina ca suma a puterilor celor trei faze.

Notand cu U_A, U_B si U_C valorile eficace ale tensiunilor de faza, cu I_A, I_B si I_C valorile eficace ale curentilor de faza si cu j_A, cosj_B si cosj_C factorii de putere ai fazelor respective, rezulta ca puterea totala a sistemului trifazat va fi:

P=U_A I_A cosj_A+U_B I_B cosj_B+U_C I_C cosj_C (69)

Daca sistemul este simetric si echilibrat, atunci avem:

U_A=U_B=U_C=U_f ; I_A=I_B=I_C=I_f si

cosj_A=cosj_B=cosj_C=cosj

Rezulta : P=3U_fI_fcosj (70)

In cazul conectarii in stea I_f=I_l si U_f=U₁/. Inlocuind aceste valori in relatia (70) gasim expresia puterii in functie de tensiunea de linie si curentul de linie, care este:

(71)

In cazul conectarii in triunghi U_f=U₁ si I_f=I₁/. Introducand aceste valori in relatia (70), gasim:

adica aceeasi expresie ca si in cazul conectarii in stea.

Procedand in mod analog, gasim expresia puterii reactive in camp electric trifazat, care va fi data de expresia:

sau

Pentru puterea aparenta vom avea:

sau

Unitatile de masura pentru puterea activa, reactiva si aparenta sunt cele date la curentul alternativ monofazat.

Daca tensiunile si curentii sunt exprimati cu ajutorul numerelor complexe, puterea aparenta se calculeaza direct cu relatia:

.

2.4. Conectarea receptoarelor la retelele electrice trifazate.

2.4.1 Conectarea in stea

Conectarea in stea se poate realiza nu numai cu infasurarile generatoarelor trifazate, ci si cu receptoare de energie ca: lampi cu incandescenta, infasurarile electromotoarelor trifazate, infasurarile trans-formatoarelor trifazate, etc.

Conectarea in stea, la sistemul cu trei conductoare, a unei sarcini de iluminat, se foloseste numai in cazuri exceptionale cand curentul in fiecare faza este identic. De obicei, pentru alimentarea instalatiilor de iluminat se foloseste sistemul de patru conductoare (cu conductorul neutru). Schema de conectare este data in fig. 57. Schematic, o retea de curent alternativ trifazat cu conductorul neutru se reprezinta ca in fig.58, la care s-a conectat in stea un receptor oarecare.

In cazul conexiunii stea se stie ca intensitatea curentului de linie este egala cu intensitatea curentului de faza. In sistemele echilibrate tensiunile pe faza sunt egale ca marime si decalate unele fata de altele cu acelasi unghi rad. Cand incarcarea pe faze nu este uniforma, curentii si tensiunile pe cele trei faze nu mai sunt egale. In asemenea cazuri folosirea sistemul in stea cu trei conductori este nerationala, deoarece in momentul distrugerii simetriei, unele faze vor fi sub tensiune marita, iar altele sub tensiune scazuta. Cand exista conductorul neutru, nesimetria sistemului se micsoreaza.

Sa consideram un generator trifazat conectat in stea cu t.e.m. pe fiecare faza E_A, E_B si E_C, care alimenteaza un receptor trifazat conectat in stea, cu fazele neechilibrate (fig. 59).

Notam impedantele fazelor generatorului cu Z_A, Z_B si Z_C, impedantele conductoarelor de legatura cu Z₁, Z₂ si Z₃, respectiv Z₀, iar impedantele fazelor receptorului ca Z_a, Z_b si Z_c.

Impedanta totale ale fazelor vor fi:

Admitantele totale le vom nota cu Y_I, Y_II si Y_III. Impedanta si admitanta conductorului neutru le vom nota cu Z_o, Y₀, iar cu U₀ vom nota tensiunea intre punctele neutre ale generatorului si receptorului.

In acest caz, caderea de tensiune pe fiecare faza se va exprima prin relatiile:

U_I= U_A- U₀

U_II=U_B-U₀    (74)

U_III=U_C-U₀

Curentii care circula prin fiecare faza vor fi:

I_A=U_IY_I E_A-U₀)Y_I

I_B=U_IIY_II E_B-U₀)Y_II (75)

I_C=U_IIIY_III E_C-U₀)Y_III

si I_o=U_oY_o

Conform teoremei I-a a lui Kirchhoff:

I_A+I_B+I_C=I₀

Inlocuind, in aceasta relatie curentii cu expresiile (75) gasim:

Din aceasta conditie scoatem valoarea tensiunii punctului neutru care este:

(76)

Daca conductorul neutru lipseste sau este rupt, Y₀=0 si U₀ va fi mai mare decat tensiunea U₀ data de relatia (76), de unde rezulta ca nesimetria sistemului trifazic este mai mare in cazul in care lipseste conductorul neutru sau este rupt. Din aceasta cauza, la sistemele trifazate cu patru fire, pe conductorul neutru nu se intercaleaza nici intrerupator si nici siguranta.

Diagrama de fazori a tensiunilor pe fazele receptorului este reprezentata in fig. 60

Pentru calcularea curentilor, dupa aflarea tensiunii punctului neutru, ne intoarcem la relatiile (74) si (75).

Tensiunile pe faza la bornele generatorului le calculam cu ajutorul relatiilor:

(77)

Tensiunile la bornele receptorului vor fi:

(78)

2.4.2. Conectarea in triunghi

La conectarea in triunghi a receptorilor de energie, fiecare faza a receptorului este pusa sub tensiune de linie. La o incarcarea uniforma a fazelor, curentii in fazele receptorului sunt de ori mai mici decat curentii de linie.

In cazul unei incarcaturi neuniforme a fazelor receptorului, curentii in conductoarele de linie nu sunt egali intre ei si prin urmare caderile de tensiune in linie, vor fi de asemenea diferite. La rezolvarea problemelor privitoare la distributia curentilor in asemenea retele este necesar ca triunghiul receptorului sa fie transfigurat intr-o stea echivalenta, iar apoi la impedantele de faza ale acestei stele sa fie adaugate impedantele conductoarelor de linie si impedantele fazelor generatorului.

Pentru trecerea de la conexiunea in triunghi la cea in stea se folosesc relatiile (79), care sunt asemanatoare cu relatiile de la rezolvarea circuitelor de curent continuu prin metoda transfiguratiei numai ca se utilizeaza valorile complexe ale marimilor.

(79)

Tensiunea punctului neutru, curentii in conductoarele de linie, tensiunile la bornele generatorului si caderile de tensiune pe fazele stelei echivalente a receptorului se calculeaza dupa relatiile (75), (76), (77), (78). Tensiunile intre faze, la bornele receptorului, se vor calcula cu ajutorul relatiilor urmatoare:

iar curentii in fazele receptorului se vor calcula cu ajutorul relatiilor:

2.5. Producerea campurilor magnetice invartitoare

Se numeste camp magnetic invartitor un camp magnetic care se roteste in jurul unui ax perpendicular pe directia liniilor sale de camp. Cel mai simplu camp magnetic invartitor poate fi realizat prin invartirea unui magnet permanent sau a unui electromagnet in jurul unui ax perpendicular pe directia liniilor de camp magnetic. Acesta ar fi cazul, de exemplu, al inductorului unui generator de c.c., in care indusul ar fi fix si inductorul s-ar invarti, sau al unui generator sincron de c.a. in care obisnuit indusul este fix si inductorul se invarteste.

La motoarele de curent alternativ, campul invartitor nu se produce pe cale mecanica, ca mai sus, ci pe cale electrica, utilizandu-se o proprietate importanta a curentilor alternativi, aceea de a produce cu ajutorul unor infasurari fixe montate pe statorul masinilor, campuri magnetice invartitoare.

Sa consideram un cilindru de otel, pe suprafata caruia se aseaza o infasurare de curent electric (fig. 62).

Cilindrul se gaseste in interiorul unui inel de otel, coaxial cu acesta, asa incat intrefierul se pastreaza constant. Sa presupunem ca alimentam infasurarea cu curent continuu. Vom obtine o distributie a campului de inductie in intrefier ca in fig. 62. Directia liniilor de camp in intrefier este perpendiculara atat pe suprafata interioara a inelului, cat si pe cea periferica a cilindrului. Avem ceea ce numim un camp magnetic radial. Valoarea maxima a inductiei campului magnetic in intrefier, B_m, are loc dupa axul infasurarii, adica in punctele in care unghiul , pe care raza vectoare il face cu directia pozitiva a axului infasurarii, este egal cu zero sau cu dupa sensul curentului de infasurare. In punctele unde , inductia campului magnetic este egala cu zero.

Printr-o anumita repartizare a conductoarelor infasurarii pe suprafata cilindrului, se poate crea un camp magnetic radial cu distributie sinusoidala. In acest caz, intr-un punct oarecare al intrefierului, inductia este data de relatia:

in care este unghiul care corespunde acelui punct.

Prin urmare, alimentarea infasurarii cu curent continuu produce o inductie magnetica constanta in timp, cu o distributie sinusoidala in spatiu, de-a lungul intrefierului.

Daca infasurarea este alimentata cu un curent alternativ, directia inductiei campului magnetic ramane tot timpul aceeasi, insa valoarea ei variaza in timp la fel ca si curentul, schimbandu-si si sensul odata cu schimbarea sensului curentului. Un asemenea camp se numeste camp magnetic pulsativ.

Daca curentul alternativ este sinusoidal, valoarea campului pulsativ in punctul considerat al intrefierului variaza dupa relatia:

(83)

folosind o relatie cunoscuta din trigonometrie, expresia (83) devine:

Prin urmare campul magnetic pulsativ s-a descompus in doua componente:

si

Prima componenta reprezinta un camp invartitor al carui sens de rotatie este cel trigonometric, a carui viteza este egala cu pulsatia a c.a. sinusoidal si a carui valoare maxima a inductiei este B_m/2, adica jumatate din valoarea maxima a inductiei campului magnetic pulsativ. Intr-adevar, inductia magnetica a acestui camp atinge valoarea sa maxima, intr-un punct oarecare al intrefierului, in momentul cand pentru acel punct vom avea:

Deci, cand , unghiul corespunzand pozitiei acelui punct. Tinand seama ca , inseamna ca in timpul unei perioade T a curentului care alimenteaza infasurarea, aceasta componenta a campului pulsativ efectueaza o rotatie completa.

Unghiul fiind constant pentru fiecare punct dat al intrefierului, inseamna ca acest camp invartitor dat de relatia (85) are o variatie sinusoidala in timp, trecand prin valoarea sa maxima B_m/2 atunci cand

Aceleasi constatari se pot face si pentru a doua componenta a campului pulsatoriu, data de relatia (86), cu deosebirea ca aceasta componenta reprezinta un camp invartitor care se roteste in sensul orar.

Schematic, aceasta descompunere a campului magnetic pulsativ de inductie maxima Bm in doua campuri magnetice invartitoare, poate fi reprezentata ca in fig. 6 In concluzie, un camp magnetic pulsativ se poate descompune in doua campuri magnetice invartitoare de amplitudine pe jumatate din cea a campului pulsativ, care se rotesc cu aceeasi viteza unghiulara in sens contrar unul altuia

2.6. Campul magnetic invartitor trifazat

Campurile magnetice invartitoare produse cu ajutorul curentului alternativ au numeroase aplicatii. Principiul de functionare a masinilor electrice de curent alternativ, atat a celor sincrone cat si a celor asincrone se bazeaza pe producerea campurilor magnetice invartitoare cu ajutorul curentului alternativ.

Sa examinam acum cazul cel mai important in practica, prin numeroasele sale aplicatii industriale, al campului invartitor produs de un sistem trifazat de curenti.

Sa presupunem trei bobine fixe identice A, B si C, avand axele in acelasi plan si decalate intre ele cu un unghi egal cu (fig.64), pe care sa le alimentam cu un curent alternativ sinusoidal trifazat.

(87)

Campurile magnetice create in interiorul bobinelor sunt dirijate dupa axele bobinelor si fac intre ele unghiuri egale cu . Valorile instantanee ale acestor campuri magnetice, sunt date de relatiile:

(88)

Pentru a determina inductia campului magnetic rezultant la un moment dat precum si sensul in momentul considerat, calculam componentele sale B_x si B_y dupa o axa OX care coincide cu axa bobinei A si dupa o axa OY perpendiculara pe OX, cunoscand ca proiectia rezultantei este egala cu suma proiectiilor componentelor (fig.65 ).

Astfel vom avea:

si

Inductia rezultanta va fi :

Deci inductia rezultanta este constanta ca marime. Unghiul , pe care vectorul inductiei rezultante B il face cu axa OY, este dat de relatia:

de unde si deci

Prin urmare cele trei campuri pulsatorii monofazate, create in bobina de sistemul trifazat de curenti, se compun intr-un camp magnetic invartitor, de marime constanta si egala cu de si care se roteste cu o viteza unghiulara egala cu pulsatia a curentilor trifazati.

Se poate verifica cu usurinta ca atunci cand si , campul magnetic invartitor rezultant B coincide cu directia campului pulsatoriu b_A. Dupa un timp si campul invartitor rezultant coincide cu directia campului pulsatoriu b_B si asa mai departe . Prin urmare, in miscarea sa de rotatie campul invartitor ocupa pozitia fiecarui camp pulsatoriu in momentul cand acesta trece prin maxim. Acest lucru se poate observa din fig.67a, unde s-a reprezentat grafic variatia inductiilor magnetice in cele trei bobine, iar in figurile 67b, 67c, 67d s-a reprezentat pozitia vectorului inductiei campului magnetic rezultant in cele trei momente corespunzatoare valorilor maxime ale inductiilor b_A, b_B si b_C. Bobinele s-au reprezentat schematic printr-o singura spira notate cu a-x, b-z, c-z.

Sensul pozitiv al curentului s-a notat cu un punct, adica venind dinspre observator. Din fig.67b, 67c si 67d se observa ca in timpul unei perioade, vectorul inductiei face o rotatie completa in sensul acelor de ceasornic, adica in sensul succesiunii fazelor.

Descoperirea campului magnetic invartitor trifazat si a motorului asincron trifazat, a carui functionare se bazeaza pe acest camp, a constituit inceputul dezvoltarii rapide si neintrerupte a retelelor electrice de c.a. trifazat.

Daca aplicam cele aratate in fig.63, cele trei campuri magnetice pulsative create de un c.a. trifazat, pot fi descompuse in cate doua componente (vezi fig.68). Componentele care sunt pe aceeasi directie, creeaza campul magnetic rezultant rotitor, de inductie 1,5B_m, iar celelalte trei componente decalate intre ele cu acelasi unghi si care se roteste in acelasi sens cu viteza unghiulara , dau un camp magnetic rezultant egal cu zero.