Circuitul R, L, C paralel in curent alternativ sinusoidal

Circuitul R, L, C paralel in curent alternativ sinusoidal

Se considera circuitul paralel din figura 4.9.1, format din rezistenta R, inductanta L si capacitatea C alimentat cu o tensiune sinusoidala u(t):

u(t) = U_m sin ωt

Valorile curentilor din circuit vor fi:

Conform teoremei I a lui Kirchhoff:

i = i_R + i_L + i_C

respectiv

Aceasta este ecuatia integrodiferentiala a circuitului R, L, C paralel, care reprezinta dependenta dintre valorile instantanee ale curentului si tensiunii pentru un circuit R, L, C paralel. Pentru rezolvarea acestei ecuatii se poate aplica reprezentarea in complex a marimilor alternative sinusoidale. Transcriind in complex simplificat ecuatia se obtine:

Relatia de dependenta dintre fazorii I si U, care este ecuatia fazoriala a circuitului se poate reprezenta in planul complex, rezultand diagrama fazoriala a circuitului R, L, C paralel din Fig. 4.9.2 In aceasta diagrama apar fazorii:

U = U, cu faza initiala nula,

, curentul prin rezistenta in faza cu tensiunea,

, curentul prin bobina defazat cu 90⁰ in urma tensiunii,

, curentul prin condensator defazat cu 90⁰ inaintea tensiunii. Insumand fazorii curentilor rezulta fazorul I al curentului total al circuitului defazat cu unghiul in urma tensiunii in cazul nostru cand I_L > I_C. Valorile efective ale curentilor prin R, L, si C sunt:

,

Ecuatia fazoriala a circuitului ne permite sa calculam valoarea fazoriala I a curentului din circuit atunci cand este cunoscuta valoarea tensiunii si valorile parametrilor R, L, C din circuit. Valoarea efectiva a curentului I este modulul fazorului I, adica:

sau, altfel scrisa:

Defazajul dintre curent si tensiune este:

Se observa ca atunci cand 1/ωL>ωC, adica X_L<X_C, sau I_L>I_C curentul I este defazat in urma tensiunii, φ<0.

In acest caz se spune ca circuitul are caracter inductiv. In cazul cand >0, deci I_L<I_C curentul este defazat inaintea tensiunii cu unghiul iar circuitul are caracter capacitiv.

Se introduc notatiile:

numita susceptanta inductiva a bobinei

numita susceptanta capacitiva a condensatorului,

] numita susceptanta a circuitului R, L, C paralel

Se numeste admitanta valoarea inversa a impedantei sau raportul dintre I si U pentru orice circuit

Cu aceste notatii se observa ca putem scrie ecuatia fazoriala a circuitului R, L, C paralel astfel:

Prin urmare valoarea admitantei complexe a unui circuit este:

Numai pentru circuitul R, L, C paralel valoarea admitantei complexe se poate scrie:

Aplicatie.

Vom considera un circuit R, L, C paralel cu parametrii avand valorile:

R = 0.5 , X_L = 0.377 X_C = 0.667

Alimentat cu o tensiune sinusoidala de valoare efectiva U = 1 V si faza initiala nula:

u(t) = sin t

Valorile efective ale curentilor prin rezistenta, bobina si condensator vor fi:

Valorile momentane ale curentilor vor fi:

i_R 2 sin t, i_L = 2.655 sin ( t - 90⁰), i_C = 1.5 sin ( t + 90⁰)

Valoarea efectiva a curentului din circuit va fi:

Defazajul curentului I fata de tensiune este:

Prin urmare valoarea instantanee a curentului din circuit este:

i = 2.309 sin ( t - 30⁰)

Variatia in timp a marimilor din acest circuit este prezentata in diagramele din Fig. 13.6.

4.10 Puteri in curent alternativ

Consideram un consumator inductiv (Fig. 4.10.1) alimentat cu o tensiune sinusoidala, care va absorbi un curent sinusoidal. Considerand curentul ca origine de faza vom avea

i = I_m sin t

Tensiunea la bornele consumatorului va fi defazata inaintea curentului:

u = U_m sin ( t +

Pentru puterea momentana (instantanee) este valabila expresia:

p = u i = U_m I_m sin ( t + ) sin t = 2 U I sin t sin ( t +

adica:    p = U I [cos - cos(2 t +

In Fig. 4.10.2 am reprezentat variatia marimilor u, i si p defazajul curentului fata de tensiune fiind de 60⁰. Se observa ca puterea are o variatie cu frecventa dubla, 2 , fata de frecventa tensiunii si a curentului.Valoarea medie a acestei puteri este :

P_med = P =

Aceasta valoare se numeste putere activa:

P = U I cos [W]

    Fig. 4.10.2

Puterea activa a unui consumator reprezinta puterea electrica absorbita de consumator si transformata de acesta in alte forme de putere, de exemplu in putere mecanica in cazul unui motor electric. Ea se masoara in W. Din graficul prezentat se observa ca puterea instantanee are intervale de timp in care valoarea ei este negativa, in cazul nostru intre 120 - 180 grade si intre 300 - 360 de grade. Amplitudinea de variatie a puterii instantanee este UI. Media puterii instantanee este in schimp pozitiva pentru un consumator pasiv ( care absoarbe energie). Diagrama fazoriala a consumatorului considerat este aceea prezentata in figura 4.10.3 unde fazorul curentului s-a considerat in axa reala, deci cu faza initiala nula. Din aceasta figura se observa ca pentru puterea activa se mai poate scrie relatia:

P = U I cos φ = R I²

Ca atare, puterea activa corespunde puterii consumate de rezistenta din circuit. Corespunzator puterii active se poate defini rezistenta in curent alternativ prin formula:

Se numeste factor de putere raportul dintre puterea activa si produsul dintre U si I:

Produsul dintre valorile efective ale curentului si tensiunii se numeste putere aparenta si se noteaza cu S:

S = U I    [VA]

Se numeste putere reactiva marimea:

Q = U I sin φ [VAr]

Puterea reactiva se mai poate calcula cu expresia: Q = X I²

Unitatea de masura pentru cele doa puteri definite mai sus este tot watt-ul, dar pentru a putea fi identificate dupa unitatea de masura ele poarta denumirile de " volt amper" pentru puterea aparenta, respectiv "volt amper reactiv" pentru puterea reactiva.

Integrala in functie de timp a puterii active poarta numele de energie activa:

[Ws, kWh]

Integrala in functie de timp a puterii reactive poarta numele de energie reactiva si se masoara in [VArh].

Se observa ca intre puterile definite in curent alternativ avem relatia:

S² = P² + Q²

Prin imparttirea fazorilor din diagrama fazoriala din figura 4.10.3 la I se obtine diagrama din figura 4.10.4 care poarta numele de triunghiul impedantelor. In acest triunghi pentru un consumator inductiv fazorul impedantei Z este defazat cu unghiul φ inaintea lui R. Pentru consumatori capacitivi fazorul impedantei Z este defazat in urma axei reale cu unghiul φ.

Se defineste puterea complexa S prin relatia:

S = U I^*

unde I^* este complex conjugatul fazorului I. Pentru cazul consumatorului considerat avem:

S = U I^* = U e^jφ I = U I e^jφ = S e^jφ = U I cos φ + j U I sin φ = P + j Q = R I² + j X I²

Daca se inmultesc fazorii din diagrama tensiunilor (Fig. 4.10.3) cu complex conjugatul curentului I^* se obtine triunghiul puterilor din figura 4.10.5.

4.11 Rezonanta circuitultui R, L, C serie. ( Rezonanta tensiunilor)

Sa consideram circuitul R, L, C serie alimentat cu o tensiune sinusoidala. In general, reactanta acestui circuit este diferita de zero iar curentul este defazat cu un unghi φ fata de tensiune.

Valoarea intensitatii curentului electric din circuit este:

Se observa ca valoarea curentului depinde si de pulsatia ω , respectiv de frecventa f a curentului din circuit. Valoarea curentului pentru circuitul R, L, C serie este maxima atunci cand reactanta circuitului este nula:

X = X_L-X_C = = 0

Regimul de rezonanta al unui circuit R, L, C serie este acea stare a circuitului in care este indeplinita conditia X = 0, adica reactanta circuitului este nula. Valoarea pulsatiei si a frecventei pentru care este indeplinita conditia de rezonanta se poate calcula:

respectiv

ultima formula poarta denumirea de formula lui Thomson. Diagrama fazoriala a circuitului la rezonanta arata ca aceea din figura 4.11.2

La rezonanta sunt indeplinite si alte conditii pentru circuitul R, L, C serie :

• X_L = X_C , reactanta inductiva este egala cu reactanta capacitiva,
• Z = Z_min = R, impedanta circuitului este minima si are valoarea egala cu a rezistentei,
• I = I_max = U/R, valoarea curentului este maxima si egala cu raportul dintre valorile efective ale tensiunii si curentului,
• = 0, defazajul dintre tensiune si curent este nul desi circuitul poseda reactante,
• puterea reactiva a circuitului este nula deoarece reactanta circuitului este nula, Q = U I sin
• tensiunile la bornele bobinei si a condensatorului sunt egale si in antifaza,
• tensiunea la bornele rezistentei este egala cu tensiunea de alimentare a circuitului.

Oricare dintre conditiile indeplinite de circuitul R, L, C serie la rezonanta poate servi drept definitie a conditiei de rezonanta. Pentru un circuit oarecare se defineste de obicei conditia de rezonanta situatia in care reactanta circuitului este nula sau situatia in care puterea reactiva primita de circuit este nula.

Tinand seama de expresia pulsatiei la rezonanta valoarea comuna a celor doua reactante X_L si X_C se poate scrie:

Marimea Z₀ poarta numele de impedanta caracteristica a circuitului rezonant.

Raportul dintre tensiunile la bornele reactantelor si tensiunea pe rezistenta este :

si poarta numele de factor de calitate. Exista situatii in care X₀ > R, iar in aceste situatii tensiunea la bornele reactantelor este mai mare decat tensiunea de alimentare a circuitului, de aceea situatia de rezonanta a circuitului R, L, C serie mai poarta denumirea de rezonanta a tensiunilor. Se observa ca factorul de calitate ne arata de cate ori este mai mare tensiunea la bornele bobinei sau condensatorului fata de tensiunea de alimentare a circuitului. Valorile uzuale ale factorului de calitate in tehnica frecventelor inalte este de 10-150. In retelele de forta, unde f=50 Hz, fenomenul de rezonanta a tensiunilor nu este dorit deoarece pot apare tensiuni periculoase la bornele reactantelor. Marimea inversa:

se numeste factor de amortizare al circuitului.

Curbele de rezonanta

Frecvent, pentru caracterizarea circuitelor rezonante este importanta cunoasterea variatiei diferitelor marimi din circuit in functie de frecventa sau pulsatie. Dependentele de frecventa (pulsatie ) a diferitelor marimi din circuitul rezonant poarta numele de curbe de rezonanta. Astfel, pentru circuitul R, L, C serie deosebim urmatoarele curbe de rezonanta:

• X_L(ω) = ωL, reactanta inductiva, dreapta ce trece prin origine,
• X_C(ω) =, reactanta capacitiva, hiperbola echilatera,
• X(ω) = ωL - 1/ωC, reactanta circuitului R, L, C serie,
• Z(ω) = , impedanta
• I( ) = U/Z( ), intensitatea curentului,
• U_L( L I( ), tensiunea la bornele inductantei L,
• U_C( , tensiunea la bornele condensatorului,
• tg(φ)(ω), tangenta unghiului de defazaj dintre curent si tensiune,
• φ(ω), unghiul de defazaj dintre curent si tensiune,

In Fig. 4.11.3 sunt prezentate curbele de rezonanta X_L(ω), X_C(ω), X(ω), Z(ω), I(ω). Este reprezentata in aceeasi figura si valoarea rezistentei R.

Pentru a trasa curbele de rezonanta U_L(ω) si U_C(ω) procedam astfel. Tensiunea la bornele bobinei se poate scrie:

Derivand pe U_L in raport cu ω si egaland cu zero expresia derivatei se gaseste valoarea pulsatiei pentru care U_L este maxima:

> ω₀

De asemenea se observa ca limitele spre care tinde valoarea lui U_L(ω) sunt:

• pentru ω → 0, U_L → 0, ω = 0, deoarece acest caz corespunde unui circuit de curent continuu in care caz condensatorul intrerupe circuitul iar valoarea curentului din circuit este nula
• pentru ω → ∞, U_L → U, deoarece pentru frecvente inalte X_L → ∞ deci bobina intrerupe circuitul iar tensiunea la bornele bobinei devine egala cu tensiunea de alimentare a circuitului.

Tensiunea la bornele condensatorului U_C( ) se scrie, la randul sau:

Prin derivare in raport cu ω si egalare cu zero se gaseste valoarea pulsatiei pentru care U_C(ω) este maxima:

Limitele de variatie pentru U_C(ω) sunt:

pentru ω → 0, U_C → U, deoarece    ω = 0 corespunde situatiei din curent continuu cand condensatorul intrerupe circuitul iar tensiunea la bornele condensatorului este egala cu tensiunea de alimentare,

pentru ω → ∞, U_L → 0, deoarece la frecvente inalte X_L → ∞ deci bobina intrerupe circuitul, iar tensiunea la bornele condensatorului devine nula.

Fig. 4.11.3 Curbele de rezonanta