Ecuatii de continuitate pentru purtatorii mobili de sarcina

Ecuatii de continuitate pentru purtatorii mobili de sarcina

Intr-un semiconductor, variatia in timp a concentratiei purtatorilor de sarcina dintr-un anumit punct se poate datora urmatoarelor cauze:

generarea termica a purtatorilor de sarcina, cu viteza de generare g;

recombinarea directa sau indirecta cu viteza de recombinare r;

generarea purtatorilor de sarcina sub actiunea unui factor excitator extern (iluminare, radiatii X, radiatii g), cu viteza de generare g_e;

fluxului de purtatori de sarcina (numarul de purtatori care strabate unitatea de suprafata in unitatea de timp), f, care paraseste sau soseste in punctul considerat.

Consideram un element de volum dV in care se gasesc dp=pdV goluri si dn=ndV electroni. Cresterea numarului de particule datorata unui agent extern, este exprimata cu vitezele de generare g_en si g_ep iar scaderea numarului de purtatori din elementul de volum dV se poate datora atat fenomenelor de generare si recombinare, exprimate cu vitezele nete de recombinare:

R_n=r_n-g_n si R_p=r_p-g_p (11.30)

cat si fluxurilor de electroni si goluri ce strabat suprafata care inconjoara elementul de volum dV considerat. Aceste fluxuri de purtatori vor determina curentii de electroni si respectiv de goluri . Numarul de electroni care trec, intr-o anumita directie, prin unitatea de suprafata si in unitatea de timp va fi atunci iar numarul de goluri .

Tinand seama de cele patru procese, variatia in timp a concentratiei de electroni si respectiv de goluri dintr-un volum V, se poate exprima prin relatiile:

(11.31)

(11.32)

sau, daca se tine seama de formula Gauss-Ostrogradski, ultimele integrale din relatiile (11.31) si (11.32) se poate transforma din integrala pe suprafata in integrala pe volum obtinandu-se relatiile:

(11.33)

(11.34)

Introducand toti termeni din relatiile (11.33) si respectiv (11.34) sub aceeasi integrala si tinand seama de faptul ca relatia obtinuta trebuie sa fie adevarata pentru orice volum V, oricat de mic, rezulta ecuatiile, pentru electroni:

(11.35)

si pentru goluri:

(11.36)

Ecuatiile (11.35) si (11.36) reprezinta forma generala a ecuatiilor de continuitate a purtatorilor mobili de sarcina dintr-un semiconductor.

Daca se utilizeaza vitezele nete de recombinare date de relatiile (11.30), ecuatiile de continuitate, devin, pentru electroni:

(11.37)

si respectiv pentru goluri:

(11.38)

Cum insa vitezele nete de recombinare se pot scrie, conform modelului Schockley-Read-Hall, in functie de timpii de viata ai purtatorilor in exces cu ajutorul relatiile (11.28) si (11.29), ecuatiile de continuitate devin:

(11.39)

(11.40)

Ecuatiile de continuitate pot fi utilizate fie sub forma (11.35) si (11.36) fie sub forma (11.39 si (11.40). In primul caz nu mai este nevoie sa se recurga la notiunea de timp de viata al purtatorilor in exces, dar trebuie sa se cunoasca expresiile vitezelor de generare si recombinare. In al doilea caz, utilizarea timpilor de viata este indicata atunci cand cel putin unul din acesti parametri este constant.

In absenta unui factor excitator extern de generare si pentru o deplasare a purtatorilor dupa o singura directie, Ox, se obtine forma uzuala a ecuatiilor de continuitate :

(11.41)

(11.42)

Din ecuatiile (11.41) si (11.42) se pot obtine si ecuatiile de continuitate pentru purtatorii de sarcina in exces, in cazul unidimensional:

(11.41)

(11.42)