CATEGORII DOCUMENTE |
Aeronautica | Comunicatii | Electronica electricitate | Merceologie | Tehnica mecanica |
Filtre digitale
In Suplimentul S 2.4 am abordat conversia unui semnal
analogic antr-o secventa de
numere
, adica an forma sa digitala.
Vom utiliza an continuare pentru secvente notatia cu paranteza patrata, asa
cum se face an teoria procesarii semnalelor digitale (DSP - Digital Signal
Processing). Daca energia semnalului analogic este distribuita an spectru pana
la o frecventa maxima
si daca esantionarea
sa este facuta cu o frecventa
egala cu cel putin
, atunci antreaga informatie este pastrata si semnalul
analogic poate fi oricand reconstruit din secventa de numere obtinuta (teorema
esantonarii).
Caracterizarea spectrala a secventei de numere este facuta prin
transformarea Fourier cu timpul discretizat (DTFT)
; (9.58)
Imaginea Fourier este o functie
continua, periodica, valorile sale
repetandu-se cu perioada
.
Deoarece numerele sant reale, avem
proprietatea
. Astfel, antreaga informatie continuta de
se gaseste antre
si
numita si frecventa
Nyquist. Am aratat acolo ca aceasta imagine Fourier este legata de imaginea
Fourier
a semnalului analog
prin relatia
; (9.59)
astfel, daca teorema esantionarii
este respectata, imaginea se obtine pur si
simplu prin periodicizarea lui
cu perioada
.
Inainte de a ne ocupa de procesarea secventelor de numere
(a semnalelor digitale), sa introducem doua semnale digitale speciale (Fig.
9.37). Semnalul impuls unitar , este definit de
(9.60)
si este 'echivalentul' impulsului Dirac de la semnalele continue. Pe de alta parte, semnalul treapta unitate are expresia
. (9.61)
Fig. 9.37. Secventa puls unitar si secventa treapta
unitara
.
Sa introducem acum si un echivalent al produsului de convolutie
(9.62)
care este comutativ.
Pentru acest produs, semnalul impuls este elementul neutru,
adica prin convolutia cu
semnalul ramane
nemodificat. Se poate arata usor ca transformarea Fourier cu timpul discretizat
(DTFT) transforma produsul de convolutie antre doua secvente an produs obisnuit
antre imaginile Fourier
(9.63)
Aceasta este relatia care ne arata cum putem implementa
comod o filtrarea digitala : efectuand
convolutia numerica antre cele doua secvente. este nucleul filtrului
(echivalentul functiei pondere) si are semnificatia raspunsului filtrului la
semnalul impuls, pe cand imaginea sa Fourier
este raspunsul an frecventa al filtrului digital.
Fig. 9.38. Secventa rezultata la convolutia antre
doua secvente de lungime finite si
are lungimea
.
Inainte de a ancepe sa ne ocupam de filtre, sa discutam
putin asupra relatiei (9.62) ce defineste convolutia. Ea este minunata dar
inaplicabila pentru un calculator care lucreaza cu secvente de lungime finita. Presupunand ca cele doua secvente au
lungimile si, respectiv,
ne putem imagina ca
ele sunt infinite dar restul elementelor sunt nule. In acest caz, aplicarea
relatiei (9.62) poate produce valori nenule numai pentru
elemente ale secventei
produs, atunci cand cele doua secvente se suprapun partial (Fig. 9.38). Se obtine, astfel, din doua secvente de lungimi
si
o secventa de lungime
.
Cel mai simplu filtru digital este aplicat an cazul
efectuarii mediei alunecatoare (moving
average), procedura frecvent utilizata pentru 'netezirea'
curbelor obtinute experimental. Elementele semnalului rezultat se obtin prin
sumarea a elemente din semnalul
original
, conform relatiei
. (9.64)
Desi aceasta sumare
asimetrica este mai comod de programat, de multe ori se prefera o sumare
simetrica, cu conditia ca sa fie impar
; (9.65)
semnalul rezultat este
identic cu cel dat de relatia precedenta, mai putin o decalare temporala cu pozitii.
Se poate vedea usor ca operatia precedenta este
echivalenta cu o convolutie a semnalului cu un nucleu definit
prin
(9.66)
reprezentat an Fig. 9.39.
Fig. 9.39. Nucleul filtrului care realizeaza medierea alunecatoare |
Prin operatia de mediere variatiile rapide sunt diminuate
si curba este netezita asa cum se poate observa an Fig. 9.40 unde un puls
dreptunghiular este acoperit practic cu zgomot . Medierea alunecatoare, cu si respectiv 31 reuseste
sa micsoreze zgomotul cu pretul deteriorarii fronturilor. Trebuie observat ca,
deoarece nucleul are o axa de simetrie ambele
fronturi sunt deformate simetric si nu ca la un filtru trece jos analogic.
Fig. 9.40. Extragerea din zgomot a unui puls dreptunghiular, prin utilizarea medierii alunecatoare.
Pentru a obtine raspunsul an frecventa al acestui filtru
trebuie sa efectuam transformata Fourier a secventei ; datorita simetriei fata de pozitia zero ea este pur reala si
se obtine ca
. (9.67)
Modulul functiei de transfer, reprezentat an Fig. 9.41 a) pentru doua lungimi ale nucleului arata ca filtrul este unul trece jos, cu rejectie infinita la anumite frecvente si ca performantele sale de filtrare sunt extrem de modeste. Acelasi lucru se poate constata si an Fig. 9.41 b) unde este reprezentat castigul filtrului, an decibeli.
Fig. 9.41. Caracteristica de frecventa a filtrului cu medie alunecatoare: a) amplificarea si b) castigul an scara liniara de frecventa.
Filtrul cu medie alunecatoare are ansa doua avantaje esentiale :
- Daca la o variatie treapta a semnalului original
impunem un anumit timp de crestere (de exemplu perioade de esantionare)
a semnalului filtrat, nucleu filtrului trebuie sa aiba cel mult
elemente; dintre
aceste filtre, cel cu medie alunecatoare rejecteaza cel mai bine zgomotul de
frecvente mari, pentru ca are elementele egale ca valoare. In plus, raspunsul sau
la semnal treapta este unul cu panta
- Desi pentru o secventa originala cu valori s-ar parea ca
avem nevoie de
operatii elementare,
de fapt la fiecare crestere cu o unitate a lui
nu este necesara
recalcularea antregii sume. De exemplu, cu
si cu mediere simetrica
avem
(9.68)
de unde se vede imediat ca putem scrie
. (9.69)
Astfel, semnalul filtrat poate fi calculat printr-o
relatie de recurenta ce implica numai operatii de adunare.
Un filtru anrudit cu acesta se obtine daca semnalul este trecut de mai multe ori prin filtrul de medie alunecatoare. Cum functia pondere echivalenta se obtine prin convolutia functiilor pondere ale fiecarei operatii si cum convolutia repetata cu el ansusi a unui puls rectangular conduce la limita la un puls gaussian (teorema limita centrala), nucleul filtrului echivalent va ancepe sa semene cu o gaussiana. Astfel, raspunsul la semnal treapta nu mai are schimbari bruste de panta, fiind o functie mai neteda. In plus, functia de transfer globala, obtinuta prin produsul celor partiale, are o atenuare mai mare an banda de oprire. Pretul platit este cresterea timpului de calcul.
Putem implementa si un filtru al carui nucleu sa fie exact o gaussiana (mai putin truncherile de la capete, gaussiana avand intindere infinita). De data aceasta nu mai putem gasi o formula de recurenta si va trebui sa efectuam de-adevaratelea produsul de convolutie; s-ar putea ca timpul necesar sa fie inacceptabil de mare.
O alta forma a nucleului care ne permite obtinerea unei
formule de recurenta este cea exponentiala.
Sa presupunem ca dorim sa filtram o secventa cauzala cu un nucleu exponential
; (9.70)
care este descrescator (). Daca impunem ca suma tuturor elementelor sa fie 1 pentru a
avea amplificare unitara la frecventa nula, obtinem
. Valoarea cu indicele
a semnalului filtrat va fi
(9.71)
iar valoarea urmatoare
(9.72)
Dupa cum stim, functia pondere de forma exponentiala
corespunde unui filtru trece jos de ordinul I. In cazul discutat mai sus
frecventa de taiere este la . Desi poate fi implementat tot prin recurenta, filtrul
descris de (9.72) este unul cu raspuns la impuls de lungime infinita (IIR
- Infinite Impulse Response) spre deosebire de cel cu medie alunecatoare
care era unul cu raspuns la impuls de
lungime finita (FIR - Infinite Impulse Response).
Desi filtrele digitale care se pot implementa recursiv
sunt exceptional de rapide, performantele lor spectrale sunt modeste. Vom
discuta an continuare un tip de filtre care nu sunt recursive si care trebuie
implementate prin calcularea (antr-un mod sau altul) a produsului de convolutie.
Ele sunt filtrele de tip SINC (sinus
cardinal ). Sa ne antoarcem la cazul filtrarii semmnalelor continue si
la filtrul trece-jos ideal. El avea amplificarea an banda de trecere perfect
(9.73)
necauzal.
Nu era antregul adevar: am putea accepta, de exemplu, o deplasare pe axa temporala si o trunchere astfel ancat sa avem valori nule la momente de timp negative. Daca deplasarea ar fi suficient de mare, truncherea nu ar produce modificari prea mari si am fi foarte aproape de filtrul ideal. Mai mult, cu cat am pastra un numar mai mare din lobii functiei sinc, cu atat ne-am apropia de filtrul trece jos ideal. Adevarul este ca realizarea unui sistem liniar cu aceasta functie pondere, desi principial posibila, este extraordinar de dificila (de exemplu, se poate arata ca ea nu poate fi obtinuta cu sisteme cu constante concentrate).
Pentru filtrele digitale, ansa, situatia este cu totul diferita. Functia pondere (nucleul filtrului) este o secventa de numere la bunul plac al programatorului. El poate proceda, de exemplu,ca an Fig. 9.42:
-truncheaza simetric functia sinc
-digitizeaza functia truncheata, obtinand valori (
numar par)
-modifica indexarea valorilor astfel ancat sa aiba numai indici pozitivi si obtine, astfel, nucleul filtrului.
Fig. 9.42. Obtinerea nucleului unui filtru digital de tip SINC.
Truncherea abrupta este echivalenta cu multiplicarea cu o fereastra rectangulara iar, pe de alta parte, multiplicarea an domeniul timp este echivalenta cu o convolutie an domeniul frecventa. Fereastra dreptungiulara are o imagine Fourier cu lobi a caror amplitudine nu scade prea rapid (este functia sinc) si aceasta determina ca filtrul obtinut sa aiba riplu atat an banda de trecere cat si an banda de oprire asa cum se vede an Fig 9.43 a).
Fig. 9.43. Raspunsul an frecventa al unui filtru SINC: a) truncheat cu fereastra dreptunghiulara si b) utilizand o fereastra Blackman.
Solutia este aceeasi ca la analiza Fourier: utilizarea unei ferestre mai putin abrupte. Cele mai utilizate sunt fereastra Hamming
(9.74)
si fereastra Blackman
(9.75)
desenata an Fig. 9.44 a); alaturi este prezentat nucleul filtrului dupa multiplicarea cu fereastra Blackman (Fig 9.44 b). Raspunsul filtrului cu fereastra Blackman este cel din Fig. 9.43 b) unde se observa micsorarea dramatica a riplului, obtinuta cu pretul unei tranzitii mai putin abrupte.
Fig. 9.44. Fereastra Blackman a) si forma nucleului filtrului din Fig. 9.42 dupa multiplicarea cu fereastra Blackman.
Daca utilizati fereastra Hamming, raspunsul an frecventa al filtrului cade (an scara lin-lin) cu 20% mai rapid decat an cazul ferestrei Blackman. Totusi, fereastra Blackman produce o atenuare mai buna an banda de oprire -74 dB (aprox. 0.02%) an comparatie cu -53dB (aprox. 0.2%) produsa de fereastra Hamming asa cum se observa an Fig. 9.45. In plus, la fereastra Blackman riplul an banda de trecere e numai de 0.02% pe cand la fereastra Hamming el ajunge la 0.2%. Din acest motiv, fereastra Blackman ar trebui sa fie prima alegere si numai daca doriti o tranzitie mai abrupta antre cele doua benzi puteti ancerca o fereastra Hamming.
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 2586
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved