Filtre digitale

Filtre digitale

In Suplimentul S 2.4 am abordat conversia unui semnal analogic antr-o secventa de numere , adica an forma sa digitala. Vom utiliza an continuare pentru secvente notatia cu paranteza patrata, asa cum se face an teoria procesarii semnalelor digitale (DSP - Digital Signal Processing). Daca energia semnalului analogic este distribuita an spectru pana la o frecventa maxima si daca esantionarea sa este facuta cu o frecventa egala cu cel putin , atunci antreaga informatie este pastrata si semnalul analogic poate fi oricand reconstruit din secventa de numere obtinuta (teorema esantonarii).

Caracterizarea spectrala a secventei de numere este facuta prin transformarea Fourier cu timpul discretizat (DTFT)

; (9.58)

Imaginea Fourier este o functie continua, periodica, valorile sale repetandu-se cu perioada .

Deoarece numerele sant reale, avem proprietatea . Astfel, antreaga informatie continuta de se gaseste antre si numita si frecventa Nyquist. Am aratat acolo ca aceasta imagine Fourier este legata de imaginea Fourier a semnalului analog prin relatia

; (9.59)

astfel, daca teorema esantionarii este respectata, imaginea se obtine pur si simplu prin periodicizarea lui cu perioada .

Inainte de a ne ocupa de procesarea secventelor de numere (a semnalelor digitale), sa introducem doua semnale digitale speciale (Fig. 9.37). Semnalul impuls unitar , este definit de

(9.60)

si este 'echivalentul' impulsului Dirac de la semnalele continue. Pe de alta parte, semnalul treapta unitate are expresia

. (9.61)

Fig. 9.37. Secventa puls unitar si secventa treapta unitara .

Sa introducem acum si un echivalent al produsului de convolutie

(9.62)

care este comutativ. Pentru acest produs, semnalul impuls este elementul neutru, adica prin convolutia cu semnalul ramane nemodificat. Se poate arata usor ca transformarea Fourier cu timpul discretizat (DTFT) transforma produsul de convolutie antre doua secvente an produs obisnuit antre imaginile Fourier

(9.63)

Aceasta este relatia care ne arata cum putem implementa comod o filtrarea digitala : efectuand convolutia numerica antre cele doua secvente. este nucleul filtrului (echivalentul functiei pondere) si are semnificatia raspunsului filtrului la semnalul impuls, pe cand imaginea sa Fourier este raspunsul an frecventa al filtrului digital.

Fig. 9.38. Secventa rezultata la convolutia antre doua secvente de lungime finite si are lungimea .

Inainte de a ancepe sa ne ocupam de filtre, sa discutam putin asupra relatiei (9.62) ce defineste convolutia. Ea este minunata dar inaplicabila pentru un calculator care lucreaza cu secvente de lungime finita. Presupunand ca cele doua secvente au lungimile si, respectiv, ne putem imagina ca ele sunt infinite dar restul elementelor sunt nule. In acest caz, aplicarea relatiei (9.62) poate produce valori nenule numai pentru elemente ale secventei produs, atunci cand cele doua secvente se suprapun partial (Fig. 9.38). Se obtine, astfel, din doua secvente de lungimi si o secventa de lungime .

Cel mai simplu filtru digital este aplicat an cazul efectuarii mediei alunecatoare (moving average), procedura frecvent utilizata pentru 'netezirea' curbelor obtinute experimental. Elementele semnalului rezultat se obtin prin sumarea a elemente din semnalul original , conform relatiei

. (9.64)

Desi aceasta sumare asimetrica este mai comod de programat, de multe ori se prefera o sumare simetrica, cu conditia ca sa fie impar

; (9.65)

semnalul rezultat este identic cu cel dat de relatia precedenta, mai putin o decalare temporala cu pozitii.

Se poate vedea usor ca operatia precedenta este echivalenta cu o convolutie a semnalului cu un nucleu definit prin

(9.66)

reprezentat an Fig. 9.39.

Prin operatia de mediere variatiile rapide sunt diminuate si curba este netezita asa cum se poate observa an Fig. 9.40 unde un puls dreptunghiular este acoperit practic cu zgomot . Medierea alunecatoare, cu si respectiv 31 reuseste sa micsoreze zgomotul cu pretul deteriorarii fronturilor. Trebuie observat ca, deoarece nucleul are o axa de simetrie ambele fronturi sunt deformate simetric si nu ca la un filtru trece jos analogic.

Fig. 9.40. Extragerea din zgomot a unui puls dreptunghiular, prin utilizarea medierii alunecatoare.

Pentru a obtine raspunsul an frecventa al acestui filtru trebuie sa efectuam transformata Fourier a secventei ; datorita simetriei fata de pozitia zero ea este pur reala si se obtine ca

. (9.67)

Modulul functiei de transfer, reprezentat an Fig. 9.41 a) pentru doua lungimi ale nucleului arata ca filtrul este unul trece jos, cu rejectie infinita la anumite frecvente si ca performantele sale de filtrare sunt extrem de modeste. Acelasi lucru se poate constata si an Fig. 9.41 b) unde este reprezentat castigul filtrului, an decibeli.

Fig. 9.41. Caracteristica de frecventa a filtrului cu medie alunecatoare: a) amplificarea si b) castigul an scara liniara de frecventa.

Filtrul cu medie alunecatoare are ansa doua avantaje esentiale :

- Daca la o variatie treapta a semnalului original impunem un anumit timp de crestere (de exemplu perioade de esantionare) a semnalului filtrat, nucleu filtrului trebuie sa aiba cel mult elemente; dintre aceste filtre, cel cu medie alunecatoare rejecteaza cel mai bine zgomotul de frecvente mari, pentru ca are elementele egale ca valoare. In plus, raspunsul sau la semnal treapta este unul cu panta constanta, care nu produce supracresteri si nu risca sa deterioreze forma semnalului, asa cum se poate observa pe exemplul anterior (Fig. 9.40 b si c).

- Desi pentru o secventa originala cu valori s-ar parea ca avem nevoie de operatii elementare, de fapt la fiecare crestere cu o unitate a lui nu este necesara recalcularea antregii sume. De exemplu, cu si cu mediere simetrica avem

(9.68)

de unde se vede imediat ca putem scrie

. (9.69)

Astfel, semnalul filtrat poate fi calculat printr-o relatie de recurenta ce implica numai operatii de adunare.

Un filtru anrudit cu acesta se obtine daca semnalul este trecut de mai multe ori prin filtrul de medie alunecatoare. Cum functia pondere echivalenta se obtine prin convolutia functiilor pondere ale fiecarei operatii si cum convolutia repetata cu el ansusi a unui puls rectangular conduce la limita la un puls gaussian (teorema limita centrala), nucleul filtrului echivalent va ancepe sa semene cu o gaussiana. Astfel, raspunsul la semnal treapta nu mai are schimbari bruste de panta, fiind o functie mai neteda. In plus, functia de transfer globala, obtinuta prin produsul celor partiale, are o atenuare mai mare an banda de oprire. Pretul platit este cresterea timpului de calcul.

Putem implementa si un filtru al carui nucleu sa fie exact o gaussiana (mai putin truncherile de la capete, gaussiana avand intindere infinita). De data aceasta nu mai putem gasi o formula de recurenta si va trebui sa efectuam de-adevaratelea produsul de convolutie; s-ar putea ca timpul necesar sa fie inacceptabil de mare.

O alta forma a nucleului care ne permite obtinerea unei formule de recurenta este cea exponentiala. Sa presupunem ca dorim sa filtram o secventa cauzala cu un nucleu exponential

; (9.70)

care este descrescator (). Daca impunem ca suma tuturor elementelor sa fie 1 pentru a avea amplificare unitara la frecventa nula, obtinem . Valoarea cu indicele a semnalului filtrat va fi

(9.71)

iar valoarea urmatoare

(9.72)

Dupa cum stim, functia pondere de forma exponentiala corespunde unui filtru trece jos de ordinul I. In cazul discutat mai sus frecventa de taiere este la . Desi poate fi implementat tot prin recurenta, filtrul descris de (9.72) este unul cu raspuns la impuls de lungime infinita (IIR - Infinite Impulse Response) spre deosebire de cel cu medie alunecatoare care era unul cu raspuns la impuls de lungime finita (FIR - Infinite Impulse Response).

Desi filtrele digitale care se pot implementa recursiv sunt exceptional de rapide, performantele lor spectrale sunt modeste. Vom discuta an continuare un tip de filtre care nu sunt recursive si care trebuie implementate prin calcularea (antr-un mod sau altul) a produsului de convolutie. Ele sunt filtrele de tip SINC (sinus cardinal ). Sa ne antoarcem la cazul filtrarii semmnalelor continue si la filtrul trece-jos ideal. El avea amplificarea an banda de trecere perfect constanta, amplificare nula an banda de oprire iar tranzitia antre benzi era infinit de abrupta. Am spus atunci ca nu putem realiza un asemenea sistem fizic pentru ca ar trebui sa aiba raspunsul la impuls

(9.73)

necauzal.

Nu era antregul adevar: am putea accepta, de exemplu, o deplasare pe axa temporala si o trunchere astfel ancat sa avem valori nule la momente de timp negative. Daca deplasarea ar fi suficient de mare, truncherea nu ar produce modificari prea mari si am fi foarte aproape de filtrul ideal. Mai mult, cu cat am pastra un numar mai mare din lobii functiei sinc, cu atat ne-am apropia de filtrul trece jos ideal. Adevarul este ca realizarea unui sistem liniar cu aceasta functie pondere, desi principial posibila, este extraordinar de dificila (de exemplu, se poate arata ca ea nu poate fi obtinuta cu sisteme cu constante concentrate).

Pentru filtrele digitale, ansa, situatia este cu totul diferita. Functia pondere (nucleul filtrului) este o secventa de numere la bunul plac al programatorului. El poate proceda, de exemplu,ca an Fig. 9.42:

-truncheaza simetric functia sinc

-digitizeaza functia truncheata, obtinand valori ( numar par)

-modifica indexarea valorilor astfel ancat sa aiba numai indici pozitivi si obtine, astfel, nucleul filtrului.

Fig. 9.42. Obtinerea nucleului unui filtru digital de tip SINC.

Truncherea abrupta este echivalenta cu multiplicarea cu o fereastra rectangulara iar, pe de alta parte, multiplicarea an domeniul timp este echivalenta cu o convolutie an domeniul frecventa. Fereastra dreptungiulara are o imagine Fourier cu lobi a caror amplitudine nu scade prea rapid (este functia sinc) si aceasta determina ca filtrul obtinut sa aiba riplu atat an banda de trecere cat si an banda de oprire asa cum se vede an Fig 9.43 a).

Fig. 9.43. Raspunsul an frecventa al unui filtru SINC: a) truncheat cu fereastra dreptunghiulara si b) utilizand o fereastra Blackman.

Solutia este aceeasi ca la analiza Fourier: utilizarea unei ferestre mai putin abrupte. Cele mai utilizate sunt fereastra Hamming

(9.74)

si fereastra Blackman

(9.75)

desenata an Fig. 9.44 a); alaturi este prezentat nucleul filtrului dupa multiplicarea cu fereastra Blackman (Fig 9.44 b). Raspunsul filtrului cu fereastra Blackman este cel din Fig. 9.43 b) unde se observa micsorarea dramatica a riplului, obtinuta cu pretul unei tranzitii mai putin abrupte.

Fig. 9.44. Fereastra Blackman a) si forma nucleului filtrului din Fig. 9.42 dupa multiplicarea cu fereastra Blackman.

Daca utilizati fereastra Hamming, raspunsul an frecventa al filtrului cade (an scara lin-lin) cu 20% mai rapid decat an cazul ferestrei Blackman. Totusi, fereastra Blackman produce o atenuare mai buna an banda de oprire -74 dB (aprox. 0.02%) an comparatie cu -53dB (aprox. 0.2%) produsa de fereastra Hamming asa cum se observa an Fig. 9.45. In plus, la fereastra Blackman riplul an banda de trecere e numai de 0.02% pe cand la fereastra Hamming el ajunge la 0.2%. Din acest motiv, fereastra Blackman ar trebui sa fie prima alegere si numai daca doriti o tranzitie mai abrupta antre cele doua benzi puteti ancerca o fereastra Hamming.