Forma complexa a teoremelor lui Kirchhoff

Forma complexa a teoremelor lui Kirchhoff

a)    Prima teorema a lui Kirchhoff se refera la noduri de retea si ea se obtine aplicand teorema continuitatii curentului electric pentru o suprafata inchisa Σ, care inconjoara un nod oarecare q al unei retele (fig. 6.33).

Fig.6.33

Conform acestei teoreme, suma algebrica a valorilor instantanee ale curentilor dintr-un nod este nula:

(6.136)

Pentru cazul considerat in figura 6.33, se poate scrie:

(6.137)

(Semnul arata apartenenta laturii k la nodul q considerat).

Relatia (6.136) transcrisa in complex devine:

(6.138)

Enunt: Suma algebrica a imaginilor in complex ale curentilor din laturile care concura intr-un nod al unui circuit de c.a. sinusoidal este nula.

Ea nu este valabila pentru module, adica:

b)      A doua teorema a lui Kirchhoff se refera la ochiuri de retea

(fig. 6.34).

Considerand latura k a unui ochi de retea, legea lui Ohm se scrie:

(6.139)

in care Z_kk este impedanta proprie a laturii, data de relatia:

(6.140)

Fig.6.34

Fluxul magnetic, datorita cuplajului existent intre latura k si alte laturi se poate scrie, in circuite liniare:

(6.141)

sau in complex:

(6.142)

Introducand (6.142) in (6.139) avem:

(6.143)

Daca se noteaza impedanta de cuplaj:

(6.144)

Legea lui Ohm se mai scrie sub forma:

(6.145)

Efectuand sumarea tuturor relatiilor de forma (6.145) in lungul conturului Γ al unui ochi (p) de retea si tinand cont ca:

(6.146)

se obtine:

(6.147)

Aceasta relatie reprezinta teorema a doua a lui Kirchhoff.

Enunt: "Intr-un ochi de retea suma algebrica a imaginilor in complex ale tensiunilor electromotoare este egala cu suma algebrica a caderilor de tensiune complexe din laturile acelui ochi".

In circuitele necuplate (L_kj=0) teorema a doua a lui Kirchhoff are aceeasi forma ca si in curent continuu:

(6.148)