INVARIANTII SENZITIVITATILOR ÎN CIRCUITELE RLC

Invariantii senzitivitatilor in circuitele RLC

O proprietate semnificativa a circuitelor liniare consta in existenta invariantilor senzitivitatilor, care au forma:

O metoda simpla de deducere a variantilor senzitivitatilor foloseste conceptul de omogenitate [1].

Definitie: O functie este omogena de ordinul k in raport cu variabilele x_i, i = 1, 2, ., n, daca si numai daca

unde este o constanta arbitrara. Relatia (2.43) este cunoscuta ca teorema lui Euler pentru functiile omogene.

Daca o functie este omogena de ordinul k, atunci ea satisface relatia:

Relatia (2.34) arata ca suma senzitivitatilor relative ale functiei f in raport cu parametrii circuitului este egala cu constanta k.

În cazul circuitelor rezistive neliniare impedanta de intrare Z_ii in raport cu oricare doua noduri ale circuitului este omogena de ordinul 1 in raport cu cele n rezistente ale circuitului. În consecinta, daca toate rezistentele circuitului se multiplica cu un factor oarecare a, atunci impedanta de intrare Z_ii va fi multiplicata cu acelasi factor a. Conform cu relatia (2.34) avem:

Deoarece pentru rezistoarele pozitive , atunci putem concluziona ca fiecare senzitivitate S(Z_ii, R_k) este pozitiva si mai mica decat 2.

(2.36)

Plecand de la definitia senzitivitatii relative se verifica relatia:

Pentru circuitele liniare RLC, orice impedanta de intrare sau de transfer Z la o valoare fixata a frecventei complexe s, este omogena de ordinul 1 in rapor cu multimea de parametrii , unde D_k = 1/C_k. Omogenitatea unei functii de trasfer poate fi reprezentata prin proprietatea de scalare (scaling property) a circuitelor liniare.

Fie un circuit liniar RLC compus din n_R rezistoare, n_L bobine si n_C condensatoare, n_R + n_L + n_C = n. Aplicand scalarea impedantelor la o impedanta de intrare sau de transfer se obtine:

Deoarece relatia (2.48) este identica cu relatia (2.43) rezulta:

Relatia (2.39) reprezinta un caz particular al relatiei (2.34), unde k = 2. Avand in vedere faptul ca , relatia (2.39) devine:

Prin scalarea admitantelelor se obtin relatii similare si pentru admitantele de intrare sau pentru admitantele de transfer.

Daca functia de transfer F este un factor de transfer in tensiune sau in curent, atunci aceasta functie satisface urmatoarea relatie de omogenitate:

Derivand ambii membri ai relatiei (2.42) in raport cu parametrul l si apoi multiplicand relatia astfel obtinuta cu raportul l/F si punand l 1 rezulta:

Prin urmare, factorii de transfer an tensiune sau in curent sunt functii omogene de ordinul zero in raport cu parametrii circuitelor liniare RLC. De exemplul, factorul de transfer in tensiune A_{34_14} de la poarta de intrare (n₁ - n₄) la poarta de iesire (n₃ - n₄), calculat cu programul ASINOM [17], pentru circuitul din figura 2.3.

satisface relatia:

În concluzie, pentru circuitele liniare RLC exista urmatoari invarianti de senzitivitate:

Pentru impedantele de transfer Z:

Pentru admitantele de transfer Y:

Pentru functiile de transfer F factori de transfer (amplificare) in tensiune si factori de transfer (amplificare) in current:

Cand un parametru de circuit x_k, din ecuatiile de mai sus, este substituit cu 1/x_k, atunci semnul termenului corespunzator senzitivitatii relative se va schimba.

Dependenta de frecventa complexa s

Daca frecventa complexa s nu mai este fixata functia de transfer F(x_k, s) a unui circuit liniar RLC satisface relatia:

Dierivand ambii membri ai relatiei (8.48) in raport cu parametrul l si apoi multiplicand relatia astfel obtinuta cu raportul l/F si considerand l 1 rezulta:

adica: suma senzitivitatilor relative in raport cu toate inductivitatile si toate capacitatile circuitului este egala cu senzitivitatea relativa in raport cu s.

Pentru factorul de transfer A_{34_41} din relatia (2.44) senzitivitatea relativa in raport cu frecventa complexa s, calculata cu formula (2.50) are expresia

identica cu cea obtinuta cu relatia de definitie.

Substituind s = jw in ecuatia (2.50) rezulta:

unde: este functia de atenuare, reprezinta functia de faza, iar este functia intarzierii de grup (the group-delay function).

Relatia (2.62) poate fi interpretata astfel: Cand toate bobinele si toate condensatoarele dintr-un circuit liniar RLC sunt supuse unor aceleasi schimbari relative, schimbarea rezultata in caracteristica amplitudine - frecventa este independenta de modul in care a fost realizat circuitul respectiv, aceasta are loc insa numai la frecventa de interes de pe panta caracteristicii amplitudine - frecventa. O constatare similara este valabila si pentru caracteristica faza - frecventa.

Circuite liniare RC

Pentru circuitele liniare RC, circuite cu o larga utilizare in practica, avem

unde k = 1 daca functia de transfer F(s) este o impedanta, 1 daca F(s) este o admitanta si 0 daca F(s) este un factor de transfer (amplificare) in tensiune sau in curent.

Deoarece , din relatia (2.53) rezulta:

Deci:

cu k definit mai sus. Din relatiile (2.54),dupa inlocuirea , se obtine:

Deoarece , din relatiile (2.56) se pot deduce urmatoarele limite inferioare:

Relatii similare se pot deduce si pentru circuitele liniare LC si RL.

Circuite cu surse comandate

Fie un circuit liniar RLC care contine toate cele patru surse comandate diport, ca cel reprezentat in figura 2.4. O functie de circuit F(s) a acestui circuit se poate exprima astfel:, unde si sunt rezistenta de transfer (transrezistenta), conductanta de transfer (transconductanta), factorul de transfer (amplificare) in tensiune si, respectiv factorul de transfer (amplificare) in curent.

Fig. 2.4. Circuit liniar RLC cu surse comandate.

Aplicand scanarea impedantelor si folosind un procedeu similar cu cel descris mai sus, se obtine:

in care: k = 1 daca F(s) este o impedanta de transfer, 1 daca F(s) este o admitanta de transfer sau 0 daca F(s) este un factor de transfer (amplificare) in tensiune sau in curent. În relatia (2.59) s-a considerat ca circuitul analizat contine n_jc surse de curent comandate in tensiune si n_ec surse de tensiune comandate in curent. Aplicand scalarea frecventei se va obtine din nou relatia (2.49).

În cazul in care polinomele numarator si numitor ale unei functii de circuit sunt exprimate in forma (2.18), se pot deduce sume ale senzitivitatilor coeficientilor numaratorului si numitorului in raport cu schimbarile parametrilorcircuitului [1].

Exemplul 2.4: Fie circuitul liniar nereciproc reprezentat in figura 2.4. Factorul de transfer (amplificare) in tensiune A_{67_21} de la poarta de intrare n₂ - n₁ la poarta de iesire n₆ - n₇, determinat cu programul ASINOM [17]:

satisface relatia:

Admitanta de transfer Y_{67_21} de la poarta de intrare n₂ - n₁ la poarta de iesire n₆ - n₇,, determinata cu programul ASINOM [17]:

satisface urmatoarea relatie:

Invariantii senzitivitatilor polilor

Fie un pol (sau un zero) al unei functii de transfer, dat prin . Scalarea impedantelor prin factorul ne conduce la relatia:

Presupunand ca s_q ¹ 0, pentru un circuit liniar avem urmatorul invarant de senzitivitati:

Evident, in cazul circuitelor liniare LC termenii din membrul stang al relatiei (2.65) trebuie sa se reduca.

Scalarea frecventei in circuitele RLC, prin factorul , conduce la relatia:

din care rezulta:

Din relatiile (2.53) si (2.55), pentru circuitele liniare LC, se obtine:

În cazul filtrelor selective este recomandat sa se foloseasca senzitivitatile marimilor si , in raport cu variatiile parametrilor circuitului. Se poate deduce usor, [1], ca:

Deoarece polii dominanti (cei din apropriere axei imaginare din planul complex s) au un rol determinant in circuitele active selective, trebuie sa evitam efectele fatale care apar la schimbarile parametrilor circuitului pentru ca o deplasarea a polilor in semiplanul drept al planului complex s produce o comportare instabila a circuitului.

Invariantii senzitivitatilor pot fi folositi pentru deducerea limitelor exactitatii masuratorilor senzitivitatilor si pentru verificarea corectitudinii calculului senzitivitatilor circuitului. Blostein [1] a studiat efectele fenomenelor parazite asupra caracteristicilor de transfer ale circuitelor cu porti terminale bipolare rezisticve. Defazajul in astfel de circuite creste monoton cu modulul fiecarui condensator C, fiecarei bobine L si cu frecventa w