LEGEA GENERALIZATA A LUI HOOKE

In domeniul elastic de proportionalitate legatura liniara dintre tensorul deformatiilor specifice si tensorul tensiunilor reprezinta legea generalizata a lui Hooke.

In capitolul 6 s-a aratat ca tensorul deformatiilor specifice principale (6.64) si tensorul tensiunilor principale (6.33) reprezinta forma cea mai compacta prin care pot fi caracterizate starile de deformatii si tensiuni.

Se considera un cub de laturi egale cu 1 (fig. 7.1, a) pe fetele caruia actioneaza tensiunile principale (reprezentate numai pe fetele vazute ale cubului).

Intrucat dependenta dintre deformatii specifice si tensiuni s-a admis liniara, se poate aplica principiul suprapunerii efectelor. In consecinta, se considera elementul solicitat numai in directia (fig.7.1, b) care reprezinta o solicitare de intindere simpla.

Fig.7.1

Pe directia 1 se produce alungirea specifica , iar pe directiile normale contractiile si unde reprezinta coeficientul lui Poisson. In mod similar, din actiunea independenta a tensiunii (fig.7.1, c) se produc deformatiile specifice , .

Deformatiile specifice din actiunea independenta a tensiunilor si din suprapunerea lor sunt sintetizate in tabelul 7.1.

Tabelel 7.1

Insumarea efectelor actiunilor independente pe cele trei directii conduce la expresiile:

;

; (7.1)

,

care reprezinta legea generalizata a lui Hooke pentru tensiuni , in sistemul de referinta al directiilor principale.

Folosind formulele (6.65), (7.1) si (6.42), se determina lunecarile maxime:

(a)

Cunoscand relatia de izotropie (3.5.2)

,    (7.2)

adica relatia dintre modulul de elasticitate longitudinala (E), modulul de elasticitate transversala (G) si coeficientul contractiei transversale (), relatiile (a) se scriu sub forma:

, , . (7.3)

Aceste relatii reprezinta legea lui Hooke pentru tensiuni . Se observa ca lunecarile dintr-un anumit plan depind numai de tensiunile tangentiale din planul respectiv, ceea ce inseamna ca pentru tensiunile in starea spatiala de tensiuni se pastreaza legea simpla .

Legea generalizata a lui Hooke, exprimata prin formulele (7.1) si (7.3) in sistemul ortogonal al directiilor principale, pastreaza aceeasi forma in orice sistem de axe ortogonale x, y, z. Pentru a justifica aceasta afirmatie, se porneste de la expresia deformatiei specifice pe o directie oarecare in sistemul de axe al directiilor principale. Particularizand expresia (6.60) in sistemul de axe principale se obtine

.    (b)

Tensiunea normala , dupa directia , in sistemul axelor principale este:

.    (c)

Se multiplica prima relatie din (7.1) cu , a doua cu si a treia cu si prin adunare, tinand seama ca , se obtine relatia:

, (d)

Care, folosind (b) si(c), devine

,    (d')

unde este primul invariant al tensiunilor (6.30), (6.33').

Considerand succesiv versorul corespunzand cu directiile x, y si z rezulta relatiile:

;

; (7.4)

,

care exprima legea lui Hooke pentru tensiuni in sistemul de axe ortogonale xyz. Se observa ca aceste relatii au aceeasi forma ca relatiile (7.1), ceea ce justifica afirmatia ca legea lui Hooke pentru tensiuni pastreaza aceeasi forma fata de orice sistem de axe ortogonale.

Aceeasi afirmatie este valabila si pentru tensiunile . Pentru demonstratie se folosesc relatiile:

- din (6.56) si (7.1)

; (f)

- din (7.4)

;    (g)

- din (6.11)

. (h)

Introducand (g) si(h) in (f) se obtine relatia:

echivalenta cu:

(i)

unde G este precizat de (7.2).

Procedand analog in planele yz si zx se obtin in final expresiile:

, , , (7.5)

care reprezinta legea lui Hooke pentru tensiuni in sistemul orthogonal de axe xyz.

Fig.7.2

Rezulta ca tensiunile dintr-un plan produc lunecari numai in planul respectiv, asa cum se evidentiazǎ in figura 7.2.