Proiectarea directa in domeniul timp a sistemelor discrete

Proiectarea directa in domeniul timp a sistemelor discrete

Metoda se bazeaza pe impunerea unei durate a regimului tranzitoriu finita atat pentru iesirea procesului cat si a marimii de comanda. Aceasta comportare a fost numita de catre Jury 'deadbeat response'. La aplicarea unei modificari treapta a referintei sistemului de reglare, marimile de intrare si de iesire ale procesului ajung intr-un regim stationar dupa un timp finit.

Metodele de proiectare din aceasta categorie au avantajul ca necesita relativ putine calcule pentru sinteza regulatorului.

1. Metoda timpului finit

Se considera sistemul de reglare din fig.1, cu reactie negativa unitara, functia de transfer discreta a procesului fiind data de relatia (1) si considerata cunoscuta, avand ordinul m. De asemenea, se considera ca procesul este fara timp mort.

Fig. 8.1. Structura sistemului numeric de reglare automata

La momentul k = 0, se considera o modificare treapta unitara a referintei

r(k) = 1 k = 0,1,2,. (1)

Se impune ca, dupa m perioade de esantionare, sistemul sa se afle intr-un regim stationar.

pentru k³m (2)

Comportarea sistemului in regim tranzitoriu este stabilita de catre proiectant prin valorile impuse iesirii sistemului in momentele de esantionare y(kT), k < m. Astfel este complet determinat raspunsul sistemului in domeniul timpului (y(k), k ³

Rezulta:

(3)

(4)

(5)

Dispunand de R(z) si Y(z) se poate determina:

(6)

De asemenea:

(7)

Tinand cont ca:

(8)

si (9)

rezulta:

(10)

sau

unde:

(11)

^{si (12)}

(din conditia de eroare staztionara nula, aplicand teoria valorii finale pentru Y(z) = R(z)G₀(z)).

⁽¹³⁾

Ecuatia caracteristica este z^m = 0, adica sistemul in bucla deschisa va avea m poli, toti situati in originea planului z.

Deoarece

se poate determina functia de transfer a regulatorului

(14)

Pe de alta parte din (6) si (7) rezulta:

(15)

si atunci functia de transfer a regulatorului poate fi rescrisa astfel:

(16)

unde coeficientii q₀ - q_m pot fi calculati cu usurinta din (7):

(17)

Parametrii regulatorului pot fi determinati comod daca se tine cont de faptul ca:

(18)

(19)

iar q , care este si valoarea initiala a comenzii u(0), se obtine din (12)

(20)

Functia de transfer a regulatorului poate fi deci calculata intr-un mod foarte simplu. Cu relatiile (19) rezulta:

(21)

iar functia de transfer a regulatorului mai poate fi pusa in forma:

(22)

La implementarea algoritmului 'dead beat' trebuie tinut cont de faptul ca valoarea initiala a comenzii depinde de suma coeficientilor b_i ai procesului. Acest fapt poate conduce la saturarea regulatorului in cazul in care rezulta sume mici ale coeficientilor. Singura posibilitate de a modifica valoarea initiala a comenzii este de a alege o alta perioada de esantionare. Cresterea perioadei de esantionare conduce la cresterea sumei coeficientilor si, deci, la scaderea valorii initiale a comenzii u(0).

Rezulta ca alegerea unei perioade de esantionare optime este esentiala pentru obtinerea unui algoritm de reglare implementabil. Pentru alegerea perioadei de esantionare este recomandata relatia:

(23)

unde: T_S = suma constantelor de timp ale procesului

T_95% = timpul de ridicare.

O varianta a acestei metode de proiectare este aceea in care se considera ca sistemul in bucla inchisa trebuie sa ajunga in regim stationar dupa n perioade de esantionare, n³m. In acest caz, se poate impune comportarea sistemului inchis pe durata regimului tranzitoriu in functie de performantele de regim tranzitoriu impuse (s z, t_t) cu dezavantajul ca ordinul regulatorului va creste. Metoda de proiectare impune parcurgerea urmatoarelor etape:

1. Fixarea raspunsului indicial dorit in domeniul timpului al sistemului in bucla inchisa, in momentele de esantionare, pe baza performantelor inpuse.

2. Determinarea functiei de transfer discrete a partii fixate cu extrapolator de ordin 0.

3. Determinarea functiei de transfer dorite a sistemului in bucla inchisa pe baza raspunsului indicial al sistemului de la punctul 1 conform relatiei (10).

4. Determinarea functiei de transfer a regulatorului

5. Verificarea legii de reglare obtinute prin simularea numerica a sistemului in bucla inchisa si determinarea si a valorilor marimii de comanda (acestea trebuie sa se situeze in gama admisibila a valorilor comenzii realizabile fizic).

2. Exemplu numeric

Se considera sistemul descris prin functia de transfer

,

avand valorile parametrilor: K=1,

Se considera valorile dorite ale raspunsului sistemului de reglare ca fiind:

y(T)=0, y(2T)=0,8, y(3T)=1,05 si y(4T)=y(5T)=y(6T)= =1.

Pe baza acestuia, se poate determina functia de transfer dorita a sistemului in bucla inchisa conform (11),(13):

Pentru o perioada de esantionare , se obtine functia de transfer a partii fixate discrete:

Se pot calcula coeficientii regulatorului numeric conform relatiei (14):

3. Modul de lucru in laborator

Se va implementa functia de transfer a partii fixate pe calculatorul analogic MEDA 43. Se va ridica raspunsul indicial al partii fixate folosind un inscriptor.

Se va calcula cu ajutorul MATLAB functia de transfer a regulatorului si se va simula sistemul inchis cu ajutorul SIMULINK.

Se va implementa regulatorul numeric proiectat anterior pe un PC prevazut cu placa PCL 812, folosind programul SAE42.

Se va ridica raspunsul indicial al sistemului in bucla inchisa cu reactie unitara si se vor compara rezultatele cu cele obtinute prin simulare numerica cu ajutorul MATLAB. Simultan se vor trasa si valorile marimii de comanda si se vor compara cu valorile obtinute prin simulare numerica.