STUDIUL COMPORTARII IN TIMP SI IN FRECVENTA A CONVERTOARELOR ELECTRICE DE MASURARE

Studiul comportArii In Timp Si In frecvenTA a convertoarelor electrice de mAsurare

1. Scopul lucrarii

Se studiaza criteriile de apreciere a calitatii unui convertor de masurare in domeniul timp si in domeniul frecventa, pe baza unor semnale conventionale:

functie treapta;

semnal sinusoidal, de amplitudine constanta si frecventa variabila.

2. Criterii de apreciere a calitatii unui convertor de masurare in regim dinamic

Ecuatiile de functionare si functiile de transfer

In cazul regimului dinamic, marimea aplicata la intrarea unui convertor de masurare CM, este o functie de timp, x(t). Marimea, care apare la iesirea convertorului, este, de asemenea, functie de timp, y(t).

Fig 8.1. Convertor de masurare

Convertoarele de masurare pot fi clasificate dupa ecuatia de functionare, care le caracterizeaza:

a) convertor de ordinul zero ( exemplu: divizorul de tensiune)

(8.1)

Marimea de iesire urmareste fidel marimea de intrare (convertor ideal).

b) convertor de ordinul intai (exemplu: termorezistenta)

(8.2)

are dimensiunea de timp si se numeste constanta de timp a elementului.

c) convertor de ordinul doi (exemplu: instrumentul magnetoelectric)

(8.3)

Ecuatia (8.3) se poate scrie sub forma:

in care:

este pulsatia proprie;

este gradul de amortizare;

este sensibilitatea in regim stationar.

Desi ecuatiile diferentiale descriu perfect functionarea dinamica a unui convertor de masurare, in practica ele sunt de utilitate redusa. Se prefera folosirea functiei de transfer, care este deosebit de utila in caracterizarea functionarii in regim dinamic a unui sistem de masurare, cu mai multe convertoare.

Prin definitie, functia de transfer este raportul dintre transformata Laplace a marimii de iesire si transformata Laplace a marimii de intrare, in conditii initiale nule:

(8.5)

Functiile de transfer ale convertoarelor de ordinul intai, respectiv al doilea, cand K=1, sunt:

convertor de ordinul intai

(8.6)

convertor de ordinul al doilea

(8.7)

Pentru caracterizarea comportarii in regim dinamic, se aplica unui convertor doua tipuri de semnale:

functie treapta (domeniul timp)

functie sinusoidala, de amplitudine constanta si frecventa variabila (domeniul frecventa)

Pentru aprecierea calitatii unui convertor de masurare, se aplica:

a) criteriul timpului de raspuns;

b) criteriul timpului de crestere;

c) criteriul supracresterii maxime (pentru un convertor de ordinul al doilea, care are un raspuns oscilatoriu amortizat).

In general, calitatea unui convertor este cu atat mai buna, cu cat timpul de crestere si timpul de raspuns sunt mai mici. Pentru convertoare de ordinul al doilea in regim oscilatoriu amortizat, in functie de aplicatie, se impune o valoare maxima a supracresterii.

Pentru aprecierea calitatii unui convertor de masurare in domeniul frecventa, se aplica criteriul bandei de frecventa. In principal, se are in vedere largimea bandei.

2.2. Raspunsul convertoarelor de masurare la semnal de intrare treapta

Pentru un semnal de intrare treapta, de amplitudine unitara:

(8.8)

raspunsul convertorului poate fi obtinut rezolvand ecuatia (8.2) sau (8.4) in conditii initiale nule, sau aplicand semnalului de iesire transformata Laplace inversa:

(8.9)

Pentru convertorul de ordinul intai, raspunsul este:

(8.10)

Daca in relatia (8.10) se ia t = , se obtine:

(8.11)

Prin urmare, constanta de timp , este timpul necesar semnalului de iesire pentru a creste pana la 63,2% din valoarea de regim stabilizat. Pe baza acestui rezultat se poate face o determinare grafica a constantei de timp, asa cum se arata in figura 8.2.a.

Timpul de raspuns T_r este:

(8.12)

unde y(t) este valoarea la momentul dat a marimii de iesire, iar y_s este valoarea in regim stabilizat a marimii de iesire.

Pentru convertorul de ordinul al doilea, raspunsul poate avea trei forme, functie de valoarea gradului de amortizare , corespunzand celor trei regimuri de functionare dinamica:

regim oscilatoriu amortizat, pentru < 1

(8.13)

regim amortizat critic, pentru

(8.14)

regim supraamortizat, pentru > 1

(8.15)

Raspunsurile descrise de relatiile (8.13)-(8.15) sunt reprezentate in figura 8.2.b.

(a) (b)

Fig. 8.2. Raspunsul la semnal treapta al convertorului :

- de ordinul intai (a) ;

- de ordinul al doilea (b)

Pentru identificarea convertorului de ordinul intai, se masoara parametrul timp de crestere t_c, care reprezinta timpul in care semnalul de iesire creste de la 10 % la 90 % din valoarea de regim stabilizat.

Constanta de timp se determina cu relatia:

(8.16)

Pentru identificarea convertorului de ordinul al doilea, acesta trebuie sa fie in regim oscilatoriu amortizat ( < 1)

Supracresterea , care este diferenta dintre valoarea maxima a semnalului de iesire (primul varf) y_v si valoarea de regim stabilizat y_s, raportata la cea din urma:

(8.17)

depinde doar de si este data de:

(8.18)

Folosind relatia (8.15), se poate determina din valoarea masurata a supracresterii, . Cunoscand , se poate determina si , masurand timpul in care se obtine supracrestera t_v, intrucat:

(8.19)

2.3. Raspunsul convertoarelor de masurare la semnal de intrare sinusoidal

Pentru un semnal de intrare sinusoidal:

(8.20)

se determina caracteristica complexa de frecventa.

Amplitudinea si faza termenului sinusoidal de la iesire se determina direct, daca in functia de transfer se inlocuieste "p" cu j

Amplitudinea, |H(j)|, a termenului complex H(j) este egala cu raportul amplitudinilor semnalelor de iesire si de intrare;

faza, arg (H(j)), este egala cu diferenta de faza, , intre semnalele sinusoidale de iesire si de intrare

Banda de frecventa, B, este intervalul de frecventa pentru care semnalul de iesire, corespunzator unui semnal de intrare sinusoidal, nu sufera o atenuare mai mare de 3 dB .

O definitie echivalenta pentru banda de frecventa este: intervalul de frecventa, pentru care amplitudinea raportata a semnalului de iesire este mai mare sau egala cu 0,707.

Pentru convertorul de ordinul intai, rezulta:

(8.21)

si:

(8.22)

Cand = 1 si .

Pentru convertorul de ordinul al doilea, expresiile sunt:

(8.23)

si:

(8.24)

Pentru < 0.7, |H(j)| are o valoare maxima supraunitara:

(8.25)

care apare la pulsatia de rezonanta, _R

(8.26)

Masurand |H(j _max si _R    se pot calcula si , din relatiile (8.25) si (8.26), identificand astfel convertorul.

Daca amplitudinea semnalului de intrare este , atunci ampli-tudinea semnalului de iesire este . Semnalul de iesire al convertorului, cu semnal de intrare sinusoidal, este tot sinusoidal si are aceeasi frecventa cu a semnalului de intrare (semnalul sinusoidal nu este deformat de un convertor liniar).

In figura 8.3. se prezinta caracteristicile amplitudine raportata-frecventa si faza- frecventa ale convertoarelor de ordinul intai si al doilea, cunoscute si sub denumirea de raspuns in frecventa al convertoarelor.

Amplitudinea raportata este raportul cand K=1. In graficele din figura 8.3, axa frecventei este logaritmica.

a) b)

Fig. 8.3. Caracteristicile raspunsului in frecventa

al convertorului de masurare de ordinul intai (a)

si de ordinul al doilea (b)

Filtrul R-C trece-jos (fig.8.4.a) este un convertor de ordinul intai ; deci poate fi folosit ca model electric pentru orice convertor de acelasi ordin.

Ecuatia de functionare a circuitului R-C este:

(8.27)

si = RC.

Filtrul R-L-C trece-jos (fig.8.4.b) poate fi folosit ca model elec-tric pentru convertoarele de ordinul doi. Ecuatia de functionare a circui-tului este:

(8.28)

in care se identifica:

(8.29)

Relatiile (8.27) si (8.28) se deduc in ANEXA 8.1.

Fig.8.4. Circuite R-C si R-L-C pentru modelarea convertoarelor de masurare

3. Chestiuni de studiat

3.1. Raspunsul convertorului de ordinul intai (modelat printr-un filtru R-C trece-jos), la semnal de intrare treapta si sinusoidal.

3.1.1. Identificarea convertorului (determinarea constantei de timp , din valoarea masurata a timpului de crestere t_c

3.1.2. Determinarea caracteristicilor de frecventa si a bandei de frecventa, B.

3.2. Raspunsul convertorului de ordinul al doilea (modelat printr-un filtru trece-jos R-L-C), la semnal de intrare treapta si sinusoidal.

3.2.1. Vizualizarea raspunsului filtrului trece jos R-L-C, in functie de gradul de amortizare , la semnal de intrare treapta. Identificarea convertorului pentru un grad de amortizare < 1(determinarea gradului de amortizare si a pulsatiei proprii , din valorile masurate ale supracresterii si timpului in care se produce aceasta t_v

3.2.2. Determinarea caracteristicilor de frecventa. Identificarea convertorului pentru un grad de amortizare < 0,7.

4. Modul de experimentare

4.1. Aparate utilizate

1. Generator de frecventa variabila;

2. Osciloscop cu doua canale;

3. Trei sonde de osciloscop;

4. Rezistor si condensator variabile, bobina fara miez;

5. Placa de conexiuni.

4.2. Desfasurarea experimentala a lucrarii

4.2.1. Convertorul de ordinul intai

Se realizeaza montajul din fig.8.5.

Fig.8.5 Montajul circuitului R-C

Pentru semnal treapta se procedeaza astfel:

- Se selecteaza la generatorul de frecventa un semnal dreptunghiular cu perioada suficient de mare, pentru ca semnalul de iesire sa ajunga in regim stabilizat.

- Se masoara cu osciloscopul timpul de crestere t_c, pentru doua perechi de valori diferite ale rezistentei si condensatorului. Pentru masurarea acestui parametru, semnalul de iesire se incadreaza intre reperele 0% si 100%, existente pe ecranul osciloscopului, folosind reglajele amplificarii si calibrarii canalului vertical. In acest mod, timpul de crestere se citeste direct, folosind reperele 10% si 90%, existente, de asemenea, pe ecranul osciloscopului. La masurarea timpului de crestere, baza de timp trebuie sa fie calibrata. Valorile masurate se trec in tabelul 8.1.

Tabelul 8.1

Pentru semnal de intrare sinusoidal se procedeaza astfel:

- Se selecteaza la generator un semnal sinusoidal. Se aplica, la intrarea circuitului, un set de semnale de frecvente, avand valorile 1x10^k si 3.3x10^k Hz, k=2,3,4,5,6 si amplitudine constanta. Valoarea amplitudinii se verifica dupa fiecare modificare a frecventei si, daca este cazul, se ajusteaza, folosind reglajul de amplitudine al generatorului de semnal. Numarul punctelor de masurare poate fi indesit in zonele de interes.

- Se masoara amplitudinea semnalului de iesire si defazajul dintre semnalele de iesire si intrare. Pentru aceste masuratori, canalele verticale trebuie sa fie calibrate.    Pentru determinarea defazajului, se masoara defazajul dintre semnale t, si perioada semnalelor T. Defazajul se calculeaza cu relatia:

(8.30)

Pentru masurarea comoda a defazajului in timp, t, se suprapun nivelele de 0 V ale celor doua semnale, pe un reper orizontal al ecranului osciloscopului (folosind reglajul deplasarii pe verticala al fiecarui canal), pe care de masoara apoi t.

Valorile masurate se trec in tabelul 8.2.

Tabelul 8.2

- Se vor trasa caracteristicile raspunsului in frecventa, din care se va determina valoarea constantei de timp, ,(pentru si |H(j)| =1/, f).

4.2.2. Convertorul de ordinul al doilea

In montajul din figura 8.5. se inlocuieste circuitul R-C cu un circuit R-L-C (figura 8.4.b). Se alege un set de valori ale elementelor de circuit R si C (L nu este reglabil), pentru a se obtine un regim oscilatoriu amortizat, cu < 0,7 (relatia 8.29).

Pentru semnal de intrare treapta:

- Se alege perioada semnalului de intrare astfel incat, pentru semnalul de iesire sa se obtina un regim stabilizat.

- Se masoara supracresterea, , timpul t_v la care aceasta se produce si perioada oscilatiilor proprii, T_osc

- Se modifica valoarea rezistentei R, urmarind efectul produs asupra am-plitudinii si perioadei oscilatiilor proprii, pana ce se obtine regimul amor-tizat critic, si, in continuare, un regim supraamortizat. Se masoara timpul de crestere, t_c, in ultimele doua regimuri.

Valorile masurate se trec in tabelul 8.3.

Tabelul 8.3

Folosind parametrii masurati in regimul oscilatoriu amortizat, se face identificarea sistemului.

Pentru semnal de intrare sinusoidal:

- Se masoara aceeasi parametri ca in cazul convertorului de ordinul intai: X, Y si . Datele se trec in tabelul 8.4.

Tabelul 8.4

- Se traseaza caracteristicile raspunsului in frecventa, si din graficele obtinute se determina |H(j _max si _R, cu care se face identificarea sis-temului. Intrucat sensibilitatea in regim stationar K = 1/ (LC) nu este unitara, amplitudinea raportata se calculeaza ca raport dintre amplitudinea la frecventa si amplitudinea la

5. Intrebari si aplicatii

1. Este timpul de crestere un parametru relevant pentru performantele dinamice ale unui convertor de ordinul doi aflat in regim oscilatoriu amortizat? De ce?

2. Este indicata functionarea unui convertor de ordinul al doilea la frecventa de rezonanta? De ce?

3. Ce influenta are modificarea capacitatii dintr-un circuit R-L-C, aflat in regim oscilatoriu amortizat?

4. Pornind de la raspunsul convertorului de ordinul intai la semnal treapta, demonstrati relatia dintre timpul de crestere si constanta de timp (relatia 8.15).

5. Pornind de la expresia modulului caracteristicii complexe de frecventa (relatia 8.24), verificati expresiile din relatiile 8.25, 8.26.

6. Termocuplul este un convertor temperatura - tensiune de ordinul intai. Definiti un model electric al unui termocuplu, care are timpul de crestere de 220s.

Demonstrati ca, pentru un convertor de ordinul intai, intre timpul de crestere si frecventa maxima a bandei de frecventa exista relatia:

Care este relatia corespunzatoare dintre _3dB si

Se reaminteste ca relatia de definitie a atenuarii, exprimata in decibeli, este:

unde atenuarea A este o valoare pozitiva.

ANEXA 8.1

Deducerea ecuatiilor diferentiale pentru convertoarele de masurare de

ordinul intai si al doilea

Pentru un convertor de masurare de ordinul intai, (circuit R - C ), (fig.8.4.a), tensiunea de intrare u_i este egala cu suma tensiunilor la bornele rezistorului R si ale condensatorului C:

(A.1)

Tensiunea la bornele condensatorului, u_C , este chiar tensiunea de iesire din convertor, u . Deci:

(A.2)

Dar:

(A.3)

unde:

(A.4)

Din relatiile (A.3) si (A.4), se obtine :

(A.5)

Inlocuind relatia (A.5)in expresia (A.2), se obtine:

(A.6)

care reprezinta ecuatia unui convertor de ordinul intai.

Pentru un convertor de masurare de ordinul al doilea ,( circuit R - L - C) , (fig.8.4.b), tensiunea de intrare este egala cu suma caderilor de tensiune la bornele elementelor componente:

(A.7)

dar:

(A.8)

Inlocuind relatiile (A.8) in expresia (A.7), se obtine:

(A.9)