TEOREME ENERGETICE

TEOREME ENERGETICE

Corpurile se deformeaza sub actiunea fortelor exterioare si, daca nivelul de solicitare nu depaseste domeniul elastic, ajung intr-o pozitie deformata, denumita pozitie de echilibru elastic. Forma deformata a corpului si natura echilibrului elastic sunt analizate pe baza unor teoreme energetice, care stabilesc, in cazul static de solicitare, dependenta dintre lucrul mecanic al fortelor exterioare si energia de deformatie.

Energia de deformatie a corpului se determina cu (7.8), folosind pentru , denumita si densitate de energie interna, expresia (7.11). In cazul solicitarilor in domeniul liniar elastic, variatia acestei energii la cresterea deformatiei specifice cu (fig.7.6, a) este

(a)

In mod similar, lucrul mecanic al fortei exterioare (fig.7.6, b) este dat de aria triunghiului OCC₀ adica . La o variatie a deplasarii cu, variatia lucrului mecanic exterior este

(b)

Pentru o structura oarecare, folosind vectorii (7.9), (7.10), si formula (7.8), variatia energiei totale de deformatie este

, cu . (7.24)

a)      b)

Marimea se calculeaza ca lucrul mecanic al tensiunilor prin variatia deformatiilor specifice. Grupand fortele exterioare in vectorul

    (7.25)

si deplasarile dupa directiile lor in vectorul

,    (7.26)

variatia lucrului mecanic al fortelor exterioare este

; cu . (7.27)

La stabilirea pozitiei de echilibru elastic a unei structuri, variatia energiei de deformatie si variatia lucrului mecanic al fortelor exterioare se aproximeaza numai prin primul termen, adica prin , respectiv

Pentru analiza naturii echilibrului elastic este necesar ca , respectiv sa contina primii doi termeni. Astfel se procedeaza in problemele de stabilitate.

1. Teorema energiei pentru corpurile elastice

In cazul deformarii unui corp in domeniul elastic, sistemul fiind conservativ, variatia energiei de deformatie este egala cu variatia lucrului mecanic al fortelor exterioare.

Prin integrare se ajunge la egalitatea

,    (7.28)

care reprezinta teorema energiei pentru corpurile elastic, formulata astfel: pentru pozitia de echilibru elastic energia potetiala de deformatie este egala cu lucrul mecanic al fortelor exterioare.

In domeniul elastic de proportionalitate egalitatea (7.28) devine

. (7.29)

Aplicand relatia (7.29) pentru bara intinsa BC (fig.7.7, a), cunoscand: ; ; , se obtine: , adica valoarea deplasarii punctului C in pozitia de echilibru elastic.

Fig.7.7

Pentru sistemul simetric din figura 7.7, b, se determina:

- eforturile din echilibrul nodului C, ;

- tensiunile ;

- deformatiile specifice .

Intrucat forta axiala este constanta pe fiecare dintre bare, , egalitatea (7.29) conduce la

.

Acest rezultat se verifica cu usurinta prin metodele cunoscute.

2. Teorema lucrului mecanic virtual pentru corpurile elastice

Se considera un corp oarecare (fig.7.8, a) care sub actiunea fortelor exterioare () se afla in pozitia de echilibru elastic notata cu D si reprezentata punctat.

Din aceasta pozitie se da corpului o deplasare virtuala si in conformitate cu principiul lucrului mecanic virtual trebuie indeplinita conditia

,    (a)

in care reprezinta lucrul mecanic al fortelor exterioare prin deplasarile virtuale , iar , lucrul mecanic al fortelor interioare () prin deformatiile produse de deplasarea . Intrucat fortele interioare sunt forte rezistente, lucrul lor mecanic conduce la scaderea energiei potentiale de deformatie si deci exista relatia

,    (b)

in care reprezinta variatia energiei potentiale in pozitia deformata, produsa de fortele () prin deplasarea virtuala . Din relatiile (a) si (b) rezulta

,    (7.30)

care exprima matematic teorema lucrului mecanic virtual pentru corpuri elastice.

Fig. 7.8

Energia potentiala de deformatie se determina cu expresia (7.8), in care reprezinta lucrul mecanic al tensiunilor (fig.7.8, b) produse de sistemul de forte () prin deformatiile specifice produse de deformarea virtuala

Definind vectorul tensiunilor produse de fortele () prin vectorul

(7.31)

si vectorul deformatiilor specifice virtuale prin vectorul

, (7.32)

variatia energiei de deformare a corpului in deformarea virtuala este

.    (7.33)

Introducand (7.32) in (7.30) rezulta teorema lucrului mecanic virtual pentru corpurile elastice

sau (7.34)

care se enunta astfel: Lucrul mecanic virtual al fortelor exterioare () printr-o deplasare virtuala compatibila cu legaturile este egal cu lucrul mecanic pentru intregul cor, al tensiunilor prin deformatiile specifice .

O deplasare virtuala reprezinta o deplasare infinitezimala,

independenta de timp, compatibila cu legaturile sistemului.

S-a precizat anterior ca deplasarile produse de fortele reale sunt infinit mici fata de dimensiunile corpului. In consecinta, o deplasare virtuala poate fi conceputa ca o deplasare reala produsa de un sistem de forte virtuale (), evident independente de sistemul de forte real (). In mod similar, deformarea produsa de fortele () reprezinta o deplasare virtuala pentru sistemul de forte (). In aceasta situatie teorema lucrului mecanic virtual (7.34) ia forma

,    (7.34')

adica lucrul mecanic al fortelor () prin deplasarile produse de fortele () este egal cu lucrul mecanic al tensiunilor () prin deformatiile specifice ().

Notand:

- , deplasarea dupa directia fortei () produsa de sistemul de sarcini ();

- vectorul tensiunilor produse de sistemul de forte virtuale (), respectiv de fortele ()

; ; (7.35)

- vectorul deformatiilor specifice produse de (), respectiv de fortele ()

; (7.36)

- matricea deformabilitatii specifice

, (7.37)

rezultata din transpunerea matriceala a legii generalizate a lui Hooke (7.4), (7.5), relatia (7.34') devine

(7.38)

si reprezinta teorema lucrului mecanic virtual in varianta fortelor virtuale.

3. Teorema minimului energiei potentiale totale

Se considera o bara AB (fig. 7.9) actionata de un sistem de forte ().

Sub actiunea acestora bara trece din pozitia nedeformata (0) in pozitia deformata (1), care este pozitia de echilibru elastic. De la aceasta pozitie se da o deplasare virtuala care duce sistemul in pozitia (2). Aplicand teorema lucrului mecanic virtual (7.34) se obtine relatia

.    (a)

Tinand seama de faptul ca fortele () sunt constante si independente de deplasarea virtuala , relatia (a) devine

.    (b)

Se noteaza:

- energia potentiala de deformatie

; (7.39)

- energia potentiala a fortelor exterioare

,    (7.40)

egala cu lucrul mecanic al fortelor exterioare cand se aduce sistemul din pozitia deformata (1) in pozitia initiala (0)

- energia potentiala totala

.    (7.41)

Cu aceste notatii relatia (b) devine

    (7.42)

si exprima conditia de extremum a energiei potentiale totale. Intrucat (7.40) este o functie liniara in deplasari sau in forte, efectuand ,se obtine

, (c)

deoarece este functie patratica pozitiv definita. Pe baza acestui rezultat, relatia (7.42) reprezinta teorema minimului energiei potentiale totale care se formuleaza astfel:

Pentru pozitia de echilibru elastic a unui sistem stabil, energia potentiala totala este minima.

Aceasta teorema sta la baza unor metode importante pentru calculul deplasarilor structurilor si rezolvarea sistemelor static nedeterminate.

4. Teoremele lui Castigliano

Pornind de la energia potentiala totala (7.41) si dand fortei o crestere conditia de minim (7.42) conduce la

    (a)

Intrucat din relatia (7.40) se obtine , rezulta expresia

,    (7.43)

care reprezinta prima teorema a lui Castigliano, al carei enunt este: derivata energiei potentiale de deformatie in raport cu forta este egala cu deplasarea dupa directia fortei .

Daca se considera o crestere a deplasarii , conditia de minim (a), folosind (7.40), conduce la expresia

,    (7.44)

care reprezinta a doua teorema a lui Castigliano, al carei enunt este: derivata energiei potentiale de deformatie in raport cu deplasarea este egala cu forta aplicata pe directia deplasarii .

5. Teorema reciprocitatii lucrului mecanic sau teorema lui Betti

Se considera doua sisteme de forte () si (), independente intre ele. Deformarea produsa de sistemul () poate fi considerata ca deplasare virtuala pentru sistemul si invers. In aceasta situatie, aplicand teorema lucrului mecanic virtual (7.38) pot fi scrise relatiile:

;    (a)

. (b)

Intrucat partile din dreapta ale relatiilor (a) si (b) sunt egale rezulta

sau , (7.45)

care exprima teorema reciprocitatii lucrului mecanic sau teorema lui Betti. Aceasta teorema se enunta astfel: lucrul mecanic produs de sistemul de forte () prin deplasarile sistemului ) este egal cu lucrul mecanic al sistemului de forte ) prin deplasarile sistemului ).

6. Expresia deplasarii punctuale Maxwell - Mohr

Se considera o structura oarecare (fig. 7.10, a) actionata de un sistem de sarcini ) si se cere determinarea deplasarii , adica deplasarea pe orizontala a nodului (i).

a)  b)

Fig. 7.10

In punctul (i), dupa directia deplasarii cautate se introduce o forta unitara virtuala (fig. 7.10, b), notata (linia orizontala de deasupra simbolului marcheaza faptul ca forta unitara este virtuala).

Tensiunile produse de sistemul de forte (), in orice punct al structurii, se noteaza cu , iar cele produse de forta virtuala cu

Aplicand teorema lucrului mecanic in varianta fortelor virtuale (7.38) se obtine expresia

, (7.47)

care reprezinta formula Maxwell-Mohr pentru determinarea deplasarii punctuale .

Daca se doreste determinarea rotirii dintr-un punct oarecare i, atunci ca incarcare virtuala se introduce un cuplu unitar si formula Maxwell-Mohr devine

.    (7.48)

Se mentioneaza ca cu valoare pozitiva inseamna ca deplasarea se produce in sensul sarcinii virtuale introduse. In mod similar, valoarea pozitiva pentru inseamna ca rotirea (obtinuta in radiani), se produce in sensul cuplului virtual.

Observatie

In cadrul solicitarilor simple si compuse pentru structuri din bare lucrul mecanic virtual al tensiunilor () se va evalua in functie de eforturile sectionale () produse de sistemul de forte (), respectiv () si se va nota .