PROCESUL DE MODULATIE. SEMNALE MODULATE

PROCESUL DE MODULATIE .SEMNALE MODULATE

2.1 Procesul de modulatie-generalitati

Procesul de modulatie reprezinta un proces neliniar prin care se modifica unul din parametrii unei oscilatii de inalta frecventa,numita frecventa purtatoare ,dupa legea de variatie a unei frecvente de joasa frecventa numita fecventa modulatoare,rezultand un semnal numit semnal modulator.Procesul de modulatie se realizeaza cu ajutorul unor circuite specifice emitatoarelor ,numite modulatoare.

Considerand o oscilatie de inalta frecventa u(t)=U sin (ωt+φ) unde ωt=valoarea instantanee adica valoarea amplitudinii oscilatiei la un moment dat , U=amplitudinea maxima a oscilatiei ,ω=2пf din care rezult2 un alt parametru si anume frecventa ,iar cel de-al treilea parametru al oscilatiei este faza φ.

Se poate observa ca la aceasta oscilatie putem modifica trei parametrii variabili :amplitudinea ,frecventa si faza semnalului oscilant.Astfel ,daca modificam un parametru se vor pastra constanti ceilalti doi parametrii,astfel obtinandu-se: o modulatie in amplitudine daca se variaza valoarea amplitudinii maxime U si se mentin constanti faza,respectiv frecventa;o modulatie in frecventa daca se variaza frecventa de oscilatie si se mentin constante amplitudinea,respective faza;o modulatie in faza,daca etse variata faza semnalului oscilant si se pastreaza constante amplitudinea si frecventa semnalului.

Se poate aprecia ca prin procesul de modulatie se pot influenta,modifica unul din cei trei parametrii ai oscilatiei purtatoare ,oscilatia de inalta frecventa, care vor varia in ritmul semnalului modulator.De asemenea,se poate observa ca modulatia in faza este foarte asemanatoare cu modulatia in frecventa,deoarece daca se schimba faza,rezultatul este asemanator cazului in care ar fi variata frecventa in limite mai restranse.

2.2 Sisteme de modulatie modernǎ si undele purtǎtoare

Noile forme de comunicatii radio, precum spectrul imprǎstiat sau cu bandǎ ultralargǎ, nu transmit o undǎ purtǎtoare conventionalǎ, precum COFDM, care este folosit in DSL si in standardul european pentru HDTV. COFDM ar trebui inteles ca un grup de unde purtǎtoare simetrice. Regulile care guverneazǎ propagarea unei purtǎtoare, afecteazǎ COFDM diferit fatǎ de 8VSB. Unele transmisii cu spectrul imprastiat si majoritatea transmisiior in bandǎ ultralargǎ sunt definite matematic ca fiind mascarea purtǎtoarei.

Unda purtǎtoare este o formǎ de undǎ proprie pentru modulatia de cǎtre un semnal purtǎtor de informatie. Ea poate fi consideratǎ o emisie nemodulatǎ. De obicei purtǎtoarea este o undǎ sinusoidalǎ sau o serie previzibilǎ de impulsuri uniforme.

In telecomunicatii unda purtǎtoare sau purtǎtoarea, de obicei sinusoidalǎ este modulatǎ sau modificatǎ cu un semal de intrare in scopul conversiei informatiei. Aceastǎ frecventǎ purtǎtoare are de obicei o frecventǎ mult mai mare decat semnalul de intrare.

Modulatia in frecventǎ FM si modulatia in amplitudine AM sunt adesea folosite pentru a modula purtǎtoarea. In cazul modulatiei semnalului cu douǎ benzi laterale, purtǎtoarea este suprimatǎ si chiar eliminatǎ. Purtǎtoarea trebuie reintrodusǎ la receptie cu ajutorul unui oscilator local de bit. Frecventa pentru o anumitǎ statie radio sau TV este de fapt frecventa centralǎ a undei purtǎtoare.

2.3 Clasificarea tipurilor de modulatii

Tipurile de modulatii se pot clasifica astfel:

1.Dupa natura purtatoarei:

-cu purtatoare sinusoidala

-cu purtatoare in impulsuri

2.Dupa natura parametrului care se modifica:

a. modulatia in amplitudine:

-cu doua benzi laterale:

-banda laterala dubla cu purtatoare completa

-banda laterala dubla cu purtatoare suprimata

-cu bada laterala unica:

-cu purtatoare completa

-cu purtatoare suprimata

b. modulatia unghiulara:

-modulatia in fecventa

-modulatia in faza

c. modulatia in impulsuri: in amplitudine; in durata; in cod; in frecventa; in pozitie.

SCS1- curs 2

2.4 Notiuni generale privind modulatia semnalelor

Prin modulatie se intelege transferarea proprietatilor unui semnal, numit semnal de baza sau semnal modulator, catre alt semnal, numit purtator. In urma acestui transfer rezulta semnalul modulat.

Necesitatea modulatiei in problema transmiterii informatiei se sprijina pe urmatoarele argumente.

Modulatia este necesara pentru a face posibila transmiterea informatiei printr-un mediu de transmitere dat (aerul sau vidul, ghiduri de unda, fibre, etc.). De exemplu, semnalul vocal nu poate fi transmis direct prin unde hertziene. Semnalul purtator trebuie sa aiba capacitatea de a fi transmis prin mediul concret, dintr-o situatie data, facand posibil transferul mesajului continut in semnalul modulator.

Modulatia este necesara pentru economicitatea transmisiei. Pe un canal fizic realizat printr-un mediu dat, se poate realiza transmiterea simultana a mai multor semnale, fara a exista interferente intre acestea.

Modulatia ofera, in unele cazuri, o buna protectie la paraziti.

Se noteaza generic cu x(t) semnalul de baza. Semnalul purtator va fi notat cu xp(t). Semnalul purtator poate fi armonic (semnal cosinusoidal) sau tren de impulsuri. Prin urmare, exista doua tipuri de semnale modulate:

. semnale modulate pe purtator armonic;

. semnale obtinute prin modulatia impulsurilor.

In cazul primei categorii de semnale modulate, purtatorul are expresia: xp(t)=Ap(t) cos(ωpt+ p)

Semnal purtator sub forma unui tren de impulsuri

Proprietatile semnalului de baza pot fi transferate unuia din cei trei parametri ai lui xp(t): amplitudinea Ap , frecventa f_p=ω_p 2π si faza initiala, p .

Rezulta trei tipuri de modulatie pe purtator armonic: modulatia in amplitudine (MA), modulatia in frecventa (MF) si modulatia in faza (MP - Phase Modulation - in limba engleza).

In cazul modulatiei impulsurilor, parametrii care definesc un tren de impulsuri sunt amplitudinea A, perioada T (sau frecventa f=1/T), faza initiala (data de t₀) si durata Prin varierea fiecaruia din acesti parametrii se obtin respectiv modulatia impulsurilor in amplitudine (MIA), in frecventa (MIF), in faza (MIP) si in durata (MID).

2.5 Semnale modulate in amplitudine pe purtator armonic

Daca doua semnal de frecvente diferite se aplica la intrarea unui dispozitiv electronic neliniar,vor aparea doua fenomene distincte,anume translatia si mixarea.

Oscilatiile care se aplica la intrarea unui etaj modulator sunt : mesajul crare reprezinta semnalul modulator de forma u_m=U_m sin ω_mt sau u_m=U_m cos ω_mt ,iar al doilea semnal este oscilatia purtatoare de inalta frecventa de forma u_p=U_p sin ω_pt sau u_p=U_p cos ω_pt

u_m=U_m sin ω_mt u=U_P (1+m sin ω_mt) sin ω_pt

mesajul MODULATORUL semnal de iesire

u_p=U_p sin ω_pt

purtatoarea

Se poate observa ca amplitudinea semnalului se modifica cu sinusul mesajului unde :

m Umax-Umin)/(Umax+Umin) si se numeste grad de modulatie.

Descompunerea semnalului modulat:

u_MA=Up(1+m sin ω_mt) sin ω_pt

u_MA=Up sin ω_pt +Up m sin ω_mt sin ω_pt=Up sin ω_pt +m Up sin(ω_p+ω_m)t/2 + m Up sin(ω_p-ω_m)t/2

Primul termen al descompunerii reprezinta componenta cu frecventa purtatoare f_p si amplitudine U_p,al doilea termen este componenta cu frecventa f_p-f_m si are amplitudinea mU_p/2 ce formeaza banda laterala inferioara iar cel de-al treilea este componenta cu frecventa f_p+f_m si are amplitudinea mU_p/2 ce formeaza banda laterala superioara.

2.5.1 Modulatia in amplitudine cu purtatoare si doua benzi laterale

Acest tip de modulatie se utilizeaza in radiodifuziunea clasica pe unde lungi, medii si scurte.

Se face ipoteza ca semnalul modulator este format dintr-o componenta continua, de valoare unitara, si componenta variabila (variatia purtatoare de informatie); aceasta se admite la inceput in varianta cea mai simpla: o cosinusoida de pulsatie faza initiala nenula si amplitudine m, subunitara.

Deci semnalul modulator este de forma 1+m cos(ω₀t). In acest caz, semnalul modulat este dat de produsul semnalului purtator (considerat cu _p=0) cu semnalul modulator, adica:

x_MA(t)=Ap (1+m cos(ω₀t)) cos(ω_pt) in care m=A/A_p se numeste grad de modulatie.

Formele semnalelor x(t) ,x_p(t) si x_MA(t) sunt ilustrate in figura de mai sus. Utilizand notatiile din aceasta figura, gradul de modulatie se determina cu relatia:

Teoretic, m apartine intervalului [0; 1]. In telefonie, m apartine intervalului [0.5; 0.6].

Se pune problema sa determinam spectrul semnalului modulator . Aceasta relatie se transforma succesiv:

Spectrele semnalelor x(t) si xp(t) constau din cate o singura armonica, la frecventele ω₀ si, respectiv, ω_p (ω_p >>ω₀ ). Spectrul semnalului modulat contine 3 componente: purtatoarea de amplitudine A_p si doua componente laterale, la frecventele ω_p cu amplitudinile egale cu mA_p/ 2 .

Spectrul semnalelor x(t) , x_p( t) x t si x_MA( t)

Semnalul util este continut in cele doua componente laterale (in exces, pentru ca ar fi suficienta o singura componenta laterala). Deci modulatia nu este economica, in sensul ca ocupa o banda de frecventa dubla fata de cea necesara. Purtatoarea este mult mai mare decat componentele laterale, rezultand unele dezavantaje, precum saturatia amplificatoarelor si performante energetice slabe ale modulatiei.

2.5.1.1 Randamentul modulatiei

Definim randamentul modulatiei ca fiind raportul dintre puterea dezvoltata de componentele laterale (utile) din spectru, Pu , si puterea semnalului modulat, P_MA :

Considerand ca semnalele x(t) si x_p(t) au amplitudinile A si A_p (m=A/ A_p ), iar semnalul modulat este obtinut pe o rezistenta R, avem:

Avand in vedere valorile uzuale ale gradului de modulatie, rezulta ca randamentul modulatiei este redus.

2.5.1.2 Reprezentarea fazoriala a semnalului modulat

Cele trei componente din expresia semnalului modulat se reprezinta ca vectori rotitori de lungime A_p si, respectiv, mA_p/ 2 . Ei au vitezele unghiulare ω_p si, respectiv, ω_p +ω ₀ si ω _p −ω Insumarea celor trei vectori se face plasand in varful vectorului aferent purtatoarei cele douǎ componente laterale de modulatie, care se rotesc cu vitezele + si respectiv −ω₀ , in raport cu vectorul purtatoarei (acesta se roteste cu viteza ω_p ). Insumarea vectoriala a celor trei vectori conduce la un vector cu lungime periodic variabila (de perioada , care se roteste in jurul referintei O cu viteza unghiulara ω p .

Reprezentarea fazoriala a semnalului modulat

Consideram acum ca semnalul util x(t) din componenta semnalului modulator este periodic nesinusoidal. In acest caz, semnalul x(t) se poate reprezenta prin seria Fourier armonica, cu urmatoarea expresie:

Am presupus ca A₀ = 0 (intrucat componenta continua se aditioneaza separat). In acest caz, expresia semnalului modulat in amplitudine este:

unde m_i=A_i/A_p este gradul de modulatie aferent armonicii i. Se observa ca fiecare armonica realizeaza modulatia purtatorului cu un grad de modulatie m_i proportional cu amplitudinea A_i a armonicii (m_i~A_i). Deci gradele de modulatie sunt mai mari sau mai mici, dupa cum amplitudinile armonicilor sunt mai mari sau mai mici.

Relatia de mai sus se pune sub forma:

Spectrele semnalelor x(t) si x_MA(t) sunt reprezentate in figura de mai jus

.

Spectrul semnalelor x(t) si x_MA(t)

In spectrul semnalului x_MA(t) exista purtatoarea si doua benzi laterale.

Fiecare banda laterala are spectrul identic cu spectrul amplitudinilor semnalului de baza, numai ca scara este redusa cu coeficientul 1/ 2.

Consideram in continuare cazul general, cand semnalul modulator este oarecare, avand expresia x_M x(t) , unde . In acest caz:

(4.9) x_MA(t)=A_p [1+m x(t)] cos(ω_pt) ,unde

Ne propunem determinarea unei reprezentari spectrale a semnalului modulat. In acest scop, se pleaca de la reprezentarea spectrala a semnalului de baza, x(t), care este functia spectrala X(ω). Aceasta furnizeaza densitatea de armonici, si nu armonicile.

Caracteristica spectrala a semnalului modulat in amplitudine se determina aplicand transformata Fourier in relatia de mai sus:

Inlocuind in relatiile de mai sus, rezulta:

Convolutia unei functii cu distributia δ este functia avand argumentul distributiei Deci:

Caracteristicile spectrale ale semnalelor x(t) , si x _MA(t)

In consecinta, relatia devine:

Caracteristicile spectrale ale semnalelor x(t) si x_MA(t) sunt date in figura de mai sus. Aici se observa componentele caracteristicii spectrale ale semnalului modulat: purtatoarea (distributia π A_pδ (ω ω _p ) ) si cele doua benzi laterale.

Observatie:

Reprezentarea grafica a caracteristicii X(ω) este simbolica si nu are legatura cu densitatea de amplitudini reala a semnalului. Simbolizarea permite sa se discearna banda semnalului si frecventele maxima si minima ce definesc banda.

In concluzie, din cele prezentate rezulta ca modulatia examinata are doua dezavantaje:

. Banda ocupata de semnalul modulat este dubla fata de cea minim necesara. De exemplu, banda semnalului telefonic este cuprinsa intre 0.3 kHz si 3.4 kHz. Daca s-ar utiliza modulatia prezentata, largimea benzii semnalului modulat, in jurul frecventei purtatoare, ar fi de 6.8 kHz.

. In semnalul modulat se regaseste integral purtatoarea, rezultand unele neajunsuri de natura energetica (randament scazut) si de prelucrare a semnalului (posibilitatea saturarii amplificatoarelor, datorita nivelului ridicat al purtatoarei, in raport cu componentele laterale - utile).

In schimb, extragerea semnalului de baza din cel modulat se realizeaza foarte simplu, printr-o operatie de detectie/redresare.

2.5.2 Modulatia in amplitudine de tip produs

Modulatia de tip produs elimina cel de-al doilea dezavantaj din cele mentionate in sectiunea anterioara. Modelul matematic este detaliat mai jos.

Modulator de tip produs Modulatia de tip produs a unui semnal ;Forma semnalului modulat

Fie x(t) semnalul modulator. Presupunem ca acesta moduleaza un purtator cosinusoidal cu amplitudinea A_p. Semnalul modulat este:

x_MA(t)=x(t) cos(ω_pt)

Atunci cand semnalul modulator, x(t), isi schimba semnul, in momentul t₀ , semnalul modulat in amplitudine cu modulatie de tip produs isi inverseaza faza.

2.5.2.1 Reprezentarea spectrala a semnalelor cu modulatie de tip produs

Se calculeaza transformata Fourier a semnalului x_MA(t).

Din x_MA(t)=x(t) cos(ω_pt) rezulta:

Spectrul semnalului MA cu modulatie de tip produs

Tinand cont de relatia (4.13), ultima relatie devine:

Caracteristica spectrala X_MA(ω) este ilustrata in figura de mai sus. Se observa absenta purtatoarei, insa ramane dezavantajul ca banda semnalului modulat este dubla fata de cea minima necesara.

2.5.3 Modulatia in amplitudine cu banda laterala unica (BLU)

In modulatia de tip produs, analizata in sectiunea anterioara, banda ocupata de semnalul modulat este dubla fata de cea minima necesara. Pentru a mari capacitatea de transmisie a unui canal fizic, este util sa se utilizeze o modulatie care furnizeaza o singura banda din cele 2 benzi rezultate in modulatia de tip produs: fie banda superioara (in raport cu pulsatia ω_p ), fie banda inferioara. O asemenea modulatie se numeste cu banda laterala unica (BLU).

O solutie aparent simpla de obtinere a unui semnal MA-BLU consta in selectarea, cu ajutorul unui filtru trece-banda (FTB), a uneia din benzile laterale obtinute cu un modulator de tip produs. Aceasta solutie are un dezavantaj important in transmisiunile telefonice, unde banda semnalului de baza este in domeniul 0.3 − 3.4 kHz : ecartul intre limita inferioara a benzii laterale superioare si limita superioara a benzii laterale inferioare este foarte mic, de 0.3 + 0.3 = 0.6kHz , in jurul frecventei purtatoare f_p . Rezulta ca FTB trebuie sa aiba o foarte buna selectivitate, astfel incat sa suprime banda inferioara fara a afecta zonele adiacente din banda laterala superioara.

Pentru evitarea utilizarii FTB de inalta selectivitate sunt elaborate doua solutii, care vor fi prezentate in cele ce urmeaza: metoda semnalului analitic (bazata pe transformata Hilbert) si metoda Weaver.

2.5.3.1 Modulatia BLU utilizand transformata Hilbert

(metoda semnalului analitic)

In schema de principiu care ilustreaza aceasta metoda exista doua modulatoare de tip produs din figura de mai jos. Primul moduleaza un semnal cosinusoidal, semnalul modulator fiind x(t). La cel de-al doilea modulator, intrarea este transformata Hilbert a lui x(t), purtatorul fiind sinusoidal.

Modulatia BLU - metoda semnalului analytic

Caracteristica spectrala a semnalului la iesirea filtrului Hilbert este relatia , de unde rezulta:

In figura de mai jos,sunt reprezentate schematic functiile spectrale X (ω ) si Se observa ca, pentru ω > 0 ,iar pentru ω < 0 .

Caracteristicile spectrale ale semnalelor X ( si

La iesirea primului modulator de tip produs se obtine semnalul x_MA(t)=x(t) cos(ω_pt) La iesirea celui de-al doilea modulator se obtine semnalul , pentru care vom determina caracteristica spectrala:

Utilizand expresia pentru F se obtine:

din care rezulta:

Aceasta functie spectrala, are doua componente: cea situata in jurul pulsatiei ω_p , , obtinuta prin inversarea semnului si decalarea la dreapta a caracteristicii si cea situata in jurul pulsatiei −ω_p , , obtinuta prin deplasarea spre stanga a caracteristicii spectrale Se observa ca, daca se scad functiile X_MA(ω) si (la elementul de insumare, semnele sunt , + ' si respectiv , − '), se obtine X_MA−BLU(ω ) , fiind suprimata banda laterala inferioara. Daca se aduna X_MA(ω) si (elementul de insumare din schema, are semnul , + ' la ambele intrari), se obtine X_MA−BLU(ω), cu banda superioara suprimata.

2.5.3.2 Modulatia BLU utilizand metoda Weaver

In modulatorul Weaver exista doua ramuri, fiecare ramura realizand cate doua modulatii consecutive. Prima ramura utilizeaza semnale purtatoare cosinusoidale, iar in a doua ramura semnalele purtatoare sunt sinusoidale.

Modulatia BLU - metoda Weaver

Frecventa purtatoare la primele modulatii de tip produs din cele 2 ramuri este notata cu Ω si are o valoare mica, situata in zona mediana a benzii semnalului modulator. In figura de mai jos este ilustrata prelucrarea semnalelor in primul etaj al ramurii superioare. Se observa ca functia spectrala X1cos(ω), de forma:

este deplasata simetric in jurul pulsatiilor Ω si −Ω . Cu ajutorul FTJ se suprima componentele spectrale avand si se obtine caracteristica spectrala a semnalului x_1c(t), adica X_1c(ω).

Obtinerea caracteristicii spectrale a semnalului x_1c (t)

Modelul frecvential al prelucrarii semnalelor in primul etaj al ramurii inferioare este prezentat in figura de mai jos.

Obtinerea caracteristicii spectrale a semnalului x_2s (t)

Mai intai se determina caracteristica spectrala a semnalului x_2sin(t)=x(t) sin(Ωt) :

Din care rezultǎ:

Caracteristica spectrala jX_2sin(ω) se obtine prin simpla deplasare spre dreapta a caracteristicii X (ω ) , in jurul pulsatiei +Ω , cat si prin inversarea semnului caracteristicii X (ω ) si deplasarea ei spre stanga in jurul pulsatiei −Ω . Prin eliminarea componentelor spectrale de frecvente , cu ajutorul FTJ, se obtine caracteristica spectrala jX_2s(ω), asociata semnalului x_2s(t) .

Obtinerea caracteristicii spectrale a semnalului x _MA-BLU ( t)

In cel de-al doilea etaj al ramurii superioare, semnalul x_1c(t) este modulat cu purtatorul cosinusoidal cos(ω_pt) , unde ω _p este mult mai mare decat pulsatia maxima din spectrul semnalului modulator. La iesirea modulatorului se obtine semnalul x₁(t a carui caracteristica spectrala este:

Sau

In reprezentarea grafica, cele doua componente ale functiei X₁(ω) se obtin prin deplasarea simetrica, in jurul pulsatiilor ω _p si −ω _p a caracteristicii spectrale X_1c(ω) .

In ramura inferioara, semnalul x_2s(t) este modulat pe purtatorul sinusoidal sin(ω_pt) . La iesirea modulatorului se obtine semnalul x₂(t x_2s(t) sin(ω_pt) , a carui caracteristica spectrala este:

Caracteristica X₂(ω), se obtine pe baza functiei jX_2s(ω prin inversarea semnului acestei functii si deplasarea ei in jurul pulsatiei ω _p , precum si prin simpla deplasare a ei spre stanga, in jurul pulsatiei −ω _p .

Daca in elementul de insumare , ambele intrari au semnul , + ' ( x_MA-BLU (t) =x₁(t) +x₂(t) ), atunci X_MA-BLU(ω)=X₁(ω)+ X₂(ω) si semnalul modulat de la iesirea modulatorului contine banda laterala superioara. Daca semnalele x₁(t) si x₂(t) se scad, semnalul modulat va contine banda laterala.

2.5.3.3 Principiul multiplexarii in frecventa

Multiplexarea semnalelor presupune transmiterea mai multor semnale pe acelasi canal fizic, fara ca semnalele sa interfereze. Multiplexarea in frecventa se realizeaza prin modularea semnalelor respective.Frecventele purtatoare utilizate la modulatoare, distincte la fiecare modulator, se aleg in asa fel incat densitatile spectrale ale semnalelor modulate sa nu se suprapuna si - in plus - sa aiba intre ele un ecart in frecventa suficient pentru a selecta (separa) fiecare canal prin intermediul filtrelor.

Principiul multiplexarii in frecventa este ilustrat in figura de mai jos. Aici s-au considerat 3 semnale diferite, x^A(t) , x^B(t) si x^C(t) , ale caror caracteristici spectrale, schematizate in figura de mai jos, sunt X ^A(ω), X ^B(ω) si X ^C(ω).

Cele 3 semnale se aplica modulatoarelor de tip produs, care lucreaza cu semnale purtatoare avand pulsatiile ω _p1 , respectiv ω _p2 si ω _p3 . Asa cum se remarca din figura, prin alegerea frecventelor purtatoare, caracteristicile spectrale ale semnalelor modulate, X ^A(ω), X ^B(ω) si X ^C(ω) ocupa zone distincte pe axa frecventelor, fiind transmise pe canalul fizic. La receptie, presupunand ca a fost compensata atenuarea canalului, se utilizeaza filter trece-banda (FTB) care selecteaza/separa canalele: la iesirea FTB^A se obtine X ^A(ω), iar FTB^B si FTB^C vor furniza X ^B (ω ) , respectiv X ^C (ω ) . Utilizand demodulatoare de tip produs, formate dintr-un circuit de inmultire si un FTJ , se obtin in final semnalele

Principiul multiplexarii in frecventa

In schema data in figura de mai sus s-a utilizat modulatia de tip produs, in care un semnal modulat ocupa o banda dubla fata de cea minim necesara. Astfel, in cazul unui semnal telefonic, unde banda este limitata in domeniul 0.3 − 3.4 kHz , banda semnalului modulat este de 2 3.4 = 6.8 kHz , iar frecventele purtatoare adiacente trebuie sa fie "distantate" la 8 kHz , pentru a se asigura si ecartul necesar separarii cailor prin FTB. Daca insa se utilizeaza MA-BLU, atunci banda semnalului se reduce la jumatate, frecventele purtatoare adiacente sunt decalate cu 4 kHz, iar numarul de semnale multiplexate in frecventa, transmise pe canalul fizic, se dubleaza .

Multiplexarea in frecventa utilizand MA-BLU

2.6 Semnale cu modulatie unghiulara

2.6.1 Notiuni generale privind modulatia unghiulara

Modulatia unghiulara cuprinde modulatia in frecventa (MF) si modulatia in faza (MP). Asa cum se va arata in cele ce urmeaza, instrumentul mathematic utilizat la modelare este acelasi, iar spectrele semnalelor modulate sunt similare. Principalul avantaj al acestor modulatii este marea robustete la paraziti.

Fie un semnal purtator:

x_p(t)=A_p cos[Φ(t)] ,

in care relatia dintre faza Φ(t) si pulsatia semnalului ω (t) este de forma:

Modulatia in faza este caracterizata de relatia:

in care Φ_p (t)=ω _pt, iar deviatia de faza ΔΦ(t) este proportionala cu semnalul modulator:ΔΦ(t)=Kp x(t) ;

rezulta:Φ(t)=ω_pt+Kp x(t)

Semnalul MP este:

Modulatia in frecventa se realizeaza prin variatia frecventei oscilatorului pilot in ritmul variatiei amplitudinii semnalului modulator,deci deviatia maxima de frecventa este proportionala cu amplitudinea semnalului modulator:deviatie mare la amplitudine ridicata. Variatia frecventei oscilatorului pilot se obtine prin varierea inductantei sau capacitatii circuitului oscilant respectiv,adica modificarea impedantei acestuia.

Modulatia in frecventa este caracterizata de relatia:

(t)=ωp +Δω(t) ,

in care deviatia de frecventa Δω(t) este proportionala cu semnalul modulator x(t) :

(t)=ω p +Kω x(t)

Utilizand relatia in care se admite Φ₀ = expresia fazei devine:

iar semnalul MF este:

Se constata ca semnalele MP si MF, sunt asemanatoare: in primul caz deviatia de faza este proportionala cu semnalul modulator, iar in cel de-al doilea caz - cu integrala semnalului modulator. In ambele situatii, frecventa unghiulara a semnalului modulat depinde de x(t), fapt care justifica denumirea generica de modulatie unghiulara data ansamblului MP si MF. In figura de mai jos s-au ilustrat cele doua tipuri de modulatie pe cazul celui mai simplu semnal modulator: semnalul binar (telegrafic).

S-au utilizat notatiile: x(t) - semnal de baza; x_MF(t) - semnal modulat FSK (Frequency Shift Keying); x_MP(t) - semnal modulat PSK (Phase Shift Keying). Utilizand termenul de "cheiere" (in sensul comutarii valorii unui parametru), FSK si PSK inseamna "cheierea deviatiei de frecventa", respective "cheierea deviatiei de faza".

Semnale MF si MP, de tip FSK si PSK

2.6.2 Analiza spectrala a semnalului modulat in frecventa

Sa consideram cazul cand semnalul de baza e cosinusoidal, de frecventa In acest caz, frecventa purtatoare este:

(t)=ω_p +Δω cos(ω₀t) ,

iar faza are expresia:

Considerand pentru simplificare Φ₀ = rezulta:

t)=ω pt+β sin(ω0t) ,unde se numeste indice de modulatie.

Expresia semnalului modulat in frecventa devine:

Functiile trigonometrice care au ca argument alte functii trigonometrice se pot exprima prin functii Bessel de speta I:

Primele 7 functii Bessel de speta I

Membrul drept al relatiei va contine produse de forma:

Drept urmare, relatia se rescrie sub forma:

Functiile Bessel pot fi si de ordin negativ, in care caz este valabila relatia:

Daca indicele k din suma se extinde de la −∞ la + atunci se permite scrierea expresiei semnalului MF intr-o forma foarte compacta:

Admitand, pentru simplificare, Ap =1, rezulta ca armonicile aferente pulsatiilor ω p kω 0 sunt date de functiile Bessel Jk(β). In fig. 4.25 sunt date graficele primelor 7 functii Bessel de speta I: Jk ( , k= 0,1,,6 .

Spectrul semnalului MF pentru β = 2.4

Din cele prezentate se desprind urmatoarele concluzii:

. Chiar pentru cazul cel mai simplu, al unui semnal modulator cosinusoidal, spectrul semnalului MF e larg si complex.

. Spectrul depinde foarte mult de indicele de modulatie, β. Este posibil sa se adopte un indice de modulatie pentru care J₀(β)=0, avand in acest caz un semnal modulat cu purtatoare suprimata.

. Este necesar sa se determine valoarea indicelui de modulatie pentru care proprietatile semnalului MF sunt avantajoase din punct de vedere al comunicatiilor.

Spectrul semnalului MF pentru β mare = 5.5)

2.6.3 Puterea medie a semnalului MF

Vom calcula puterea medie a semnalului MF :

Dezvoltand patratul de sub integrala, rezulta 2 categorii de termeni:

. termeni care contin patratul componentelor cosinusoidale. Integrand acesti termeni, rezultata T/ adica patratul normei functiei trigonometrice;

. termeni care contin produse a doua componente cosinusoidale distincte. Integrala acestor termeni este nula, intrucat functiile cosinusoidale sunt ortogonale.

In consecinta, expresia devine:

deoarece,

Rezulta ca puterea semnalului MF este independenta de indicele de modulatie, indiferent daca se aplica sau nu semnal modulator.

Vom analiza in continuare urmatoarea relatie:

Se pune problema determinarii benzii din spectrul semnalului MF.

Teoretic, spectrul este infinit, componentele spectrale avand pulsatia ω_p kω₀ . In practica se considera ca banda este finita, ea limitandu-se la ansamblul armonicilor care dau 99% din puterea semnalului MF. Deci, limitele de sumare se considera finite, de la −N la +N . Se impune ca, in cazul limitelor finite, suma sa scada de la 1 la 0.99:

In conditiile in care se cunoaste β, aceasta relatie se poate considera ca o ecuatie cu necunoscuta N.Valoarea aproximativa a solutiei este: N β +1],unde [ ] reprezinta partea intreaga. Banda semnalului MF va fi egala cu domeniul de frecvente: Largimea benzii este:B=2(β +1) ω 0

2.6.4 Semnale MF cu indice de modulatie redus si ridicat

Vom analiza in continuare doua cazuri: cazul semnalelor MF cu indice de modulatie redus, respectiv cu indice modulatie mare.

2.6.4.1 Semnale MF cu indice de modulatie redus

Pentru indice de modulatie redus, se tine cont ca functia:

se poate exprima astfel:

Rezulta:

Daca se considera β <0.4, J₂(β) devine neglijabil. Drept consecinta, relatia devine:

Spectrul semnalului MF cu indice redus de modulatie este prezentat in figura de mai jos. Se constata ca, daca β este mic, banda semnalului MF e aceeasi ca la semnalul MA. Indicele de modulatie redus se utilizeaza in transmisiuni de date.

Spectrul semnalului MF cu β redus = 0.3)

2.6.4.2 Reprezentarea fazoriala a semnalului MF cu indice redus de modulatie

Fata de reprezentarea similara a semnalului MA,prezentata mai sus, exista 2 diferente: gradul de modulatie m este inlocuit prin indicele de modulatie β si componenta laterala de pulsatie ω_p −ω₀ are semnul minus. In consecinta, fazorul corespunzator acestei componente este orientat invers, fata de cazul anterior. In aceasta situatie se constata din figura de mai jos, ca insumarea la vectorul semnalului purtator a rezultantei componentelor laterale conduce la un fazor rotitor care penduleaza cu pulsatia ω₀ in jurul fazorului purtatoarei, aceasta rotindu-se, la randul ei, cu pulsatia ω_p .

Reprezentarea fazoriala a semnalului MF cu indice redus de modulatie

2.6.4.3 Semnale MF cu indice de modulatie ridicat

In radio-comunicatii se utilizeaza indice de modulatie mare, adica β >>1. Neglijand pe 1 in raport cu β, rezulta:

sau, tinand cont de faptul ca β = Δω /ω0 :

Deviatia de frecventa este un parametru al modulatiei. Constatam ca banda semnalului MF nu depinde de frecventa semnalului modulator, In radiocomunicatii se adopta Δf =75 kHz , de unde rezulta banda B =150 kHz .

Din punct de vedere practic, semnalul MF se intalneste cel mai frecvent in doua situatii specifice:

. cu indice redus de modulatie (β<0.4) pentru comunicatii de date;

. cu indice mare de modulatie, cand banda semnalului MF este B = 2Δω , caz utilizat in radiodifuziune.

2.6.5 Analiza spectrala a semnalului modulat in faza

Vom presupune ca semnalul modulator este sinusoidal de pulsatie ω Rezulta:

t)= _p(t)+Δ sin(ω0t) ,

unde Δ este deviatia maxima de faza, _p(t) = pt este faza purtatoarei nemodulate. Semnalul MP este:

La modulatia de faza indicele de modulatie se noteaza cu α si este deviatia maxima de faza = Δ

Pentru un α oarecare, spectrul semnalului MP este similar spectrului semnalului MF:

Daca indicele de modulatie este mic, adica α <0.4, se obtine un semnal cu banda B = de tip purtatoare cu doua componente laterale, exact ca la modulatia in frecventa. Acest caz se utilizeaza efectiv in comunicatii de date.

Daca indicele α este mare, banda semnalului MP are expresia , care depinde de pulsatia ω₀ a semnalului modulator. Deviatia maxima de faza este cuprinsa in domeniul [− ] ,deci α=Δ nu poate lua valori mai mici de π . Rezulta ca, spre deosebire de MF, modulatia MP nu se poate aplica la valori mari ale indicelui de modulatie. In schimb, modulatia de faza cu indice redus de modulatie se utilizeaza frecvent in comunicatiile de date.

2.6.6 Semnale modulate MP si MF cu indice redus de modulatie

In cele ce urmeaza vom considera un semnal modulator oarecare, x(t).

Fie un semnal MP:

x_MP(t) =A_p cosΦ(t) ,

cu , in care k_x ≡α este foarte mic, iar x(t) ≤1.

Expresia semnalului MP devine:

x_MP(t)=A_p cos(ω_pt) cos[k_x x(t)]−A_p sin(ω_pt) sin[k_x x(t)],

sau, tinand cont ca k_x x(t) are valori foarte mici si cos[k_x x(t)] =1, sin[kx x(t)]=k_x x(t) ,

x_MP(t) =A_p cos(ω_pt)−A_pk_x x(t) sin(ω_pt)

Modulator MP cu indice redus de modulatie

Pe baza acestei relatii se obtine schema modulatorului MP cu indice redus de modulatie, reprezentata in figura de mai sus.

Pentru determinarea caracteristicii spectrale a semnalului MP se aplica transformata Fourier relatiei (4.57), pe baza utilizarii distributiei δ. Folosind relatiile (3.43) si (3.66), rezulta:

sau:

Se constata ca semnalul MP are purtatoare si doua benzi laterale. Fata de modulatia de amplitudine apar diferente numai la fazele componentelor laterale, densitatile de amplitudini fiind practic identice.

Modificarea schemei , pentru a se obtine MF cu indice redus de modulatie

Modulatia de frecventa se obtine substituind semnalul x(t) aplicat modulatorului prin

Caracteristica spectrala a semnalului MF cu indice mic de modulatie este:

sau:

2.7 Modulatia impulsurilor

2.7.1 Modulatia impulsurilor in amplitudine (MIA)

Exista doua variante de modulatii ale impulsurilor in amplitudine:

. naturala (MIA-N),

. uniforma (MIA-U).

Pentru fiecare varianta se vor prezenta, in cele ce urmeaza, principiile fizice (forma unui semnal MIA-N, respectiv MIA-U) si modelele matematice respective.

2.7.1.1 Modulatia impulsurilor in amplitudine naturala

In figura de mai jos sunt reprezentate: semnalul modulator, x(t), semnalul purtator, x_p(t), sub forma unui tren de impulsuri de amplitudine unitara, de perioada T si durata τ, si semnalul modulat, x_MIA-N(t). Se constata ca in intervalul τ corespunzator latimii amplitudinea impulsurilor urmareste semnalul modulator x(t).

Modulatia impulsurilor in amplitudine naturala

Este evident ca semnalul modulat natural este produsul semnalelor x(t) si x_p(t):x_MIA−N (t)=x(t) x_p(t)

Trenul de impulsuri x_p(t) poate fi modelat pornind de la un singur impuls, f(t), de amplitudine unitara si durata τ. Semnalul x_p(t) este, de fapt, o suma de impulsuri similare, care apar la momentele de timp iT, pentru I apartine (−∞,+∞) , adica:

Vom calcula produsul de convolutie intre functia f(t) si distributia δ periodica, adica f (t) δ _T (t) . Utilizand expresia distributiei delta periodice si proprietatea de sondare in timp a distributiei δ, rezulta:

In consecinta: x_p(t)=f(t) δT(t) ,iar modelul matematic temporal al semnalului MIA-N este cel reprezentat in figura de mai jos.

Impuls de amplitudine unitara Modelul matematic temporal al unui semnal MIA-N

Vom deduce in continuare modelul frecvential al acestui semnal. Mai intai calculam caracteristica spectrala a purtatoarei:

X_p(ω)=F=F(ω) F

Pentru a deduce transformata Fourier a impulsului din figura de mai sus, F(ω ) , se porneste de la caracteristica spectrala a impulsului unitar, Δ(t)=u(t) :

Semnalul f(t) difera de u(t) prin faptul ca are aria τ in loc de 1, si prin faptul ca este intarziat cu τ/2.In consecinta,

(

Caracteristica spectrala a distributiei δ periodice are expresia in cazul de fata :

sau, tinand cont de proprietatea distributiei δ:

In continuare se aplica transformata Fourier si avem:

Distributia spectrala a semnalului modulator

Fie distributia spectrala a densitatii de amplitudine a semnalului modulator, reprezentata simbolic ca in figura de mai sus , unde ω_M este pulsatia maxima ce defineste banda semnalului, iar este frecventa maxima din spectrul semnalului. Pentru a face o reprezentare grafica a densitatii spectrale de amplitudini , vom considera o situatie concreta privind pulsatia ω_p si raportul dintre perioada T si latimea τ a impulsurilor purtatoarei: ω_p = 3ω_M ;τ = T / 2

Sinusul cardinal se anuleaza pentru

, adica la pulsatiile discrete

Pentru i = , care corespunde componentei spectrale centrale din figura de mai jos.

Functia spectrala

Pentru i = 1, componentele spectrale rezultate sunt

intrucat

Pentru i = 2 avem

deci componenta spectrala din jurul pulsatiei 2ω_p lipseste, etc. Se observa ca avem o deplasare a functiei spectrale X(ω) in jurul pulsatiilor iω_p , simultan cu inmultirea acestor functii spectrale cu coeficientii

Teoretic, reconstituirea semnalului de baza din semnalul modulat se poate realiza prin doua metode :

. fie cu un filtru trece jos (FTJ), care extrage din functia spectrala a semnalului modulat componenta centrala, aferenta lui i = 0 ; aceasta varianta este folosita intotdeauna, pentru ca este foarte simpla. In practica , astfel incat separarea cu FTJ a componentei centrale se face cu erori neglijabile;

. fie cu un filtru trece banda (FTB), care extrage o componenta laterala, de exemplu componenta corespunzatoare lui i = 1. La iesirea filtrului se obtine caracteristica spectrala fara purtatoare si cu doua benzi laterale, aferenta unei modulatii pe purtator armonic de tip produs; semnalul respectiv se demoduleaza cu un demodulator de tip produs

Extragerea semnalului de baza din semnalul MIA-N

2.7.1.2 Modulatia impulsurilor in amplitudine uniforma

In figura de mai jos este ilustrat un semnal MIA-U. Se constata ca, in intervalul τ corespunzator latimii, amplitudinea impulsurilor nu urmareste semnalul x(t), ci are o valoare constanta, egala cu x(iT ) .

Modulatia impulsurilor in amplitudine

Pentru modelarea acestui semnal, se considera mai intai ca semnalul x(t) moduleaza un tren de impulsuri δ, adica o distributie delta periodica.

Rezultatul este semnalul x_T(t) , format dintr-o serie de impulsuri δ avand arii egale cu x(iT). In continuare se realizeaza convolutia impulsului f(t) cu semnalul x_T(t). Asa cum s-a aratat in sectiunea anterioara (si va rezulta si din relatiile care urmeaza), prin aceasta convolutie se atribuie fiecarui impuls-distributie din x_T(t) un impuls f(t) cu durata τ si amplitudine egala cu aria impulsului-distributie, adica x(iT).

Rezulta, deci, semnalul x_MIA−U (t Modelul matematic temporal este format din relatiile:

x_T(t)=x(t) δ_T(t)

x_MIA−U (t x_T (t) f(t)

Modelul matematic temporal al unui semnal MIA-U

Schema care ilustreaza acest model matematic este data in figura de mai sus.

Pentru deducerea modelului frecvential al semnalului x_MIA−U (t) se determina mai intai caracteristica spectrala a semnalului x_T (t

Aplicand transformata Fourier relatiei x_MIA−U (t x_T (t) f(t) se obtine:

X_MIA−U(ω)=X_T(ω) F(ω),

sau, inlocuind F(ω ) si X_T (ω )

Pentru ilustrarea grafica a functiei spectrale vom considera aceiasi parametri ai semnalelor x(t) si x_p(t): ω _p =3ω_M , unde ω_M defineste banda semnalului modulator si τ = T/ 2 .

Functia spectrala este reprezentata in figura de mai jos.

Functia spectrala

Spre deosebire de cazul MIA-N, aici functia spectrala X(ω) este deplasata in jurul pulsatiilor iω _p si, simultan, este inmultita cu functia . Produsul celor doua functii face ca distributia densitatii spectrale din componentele spectrale situate in jurul pulsatiilor iω_p sa nu mai corespunda cu cea a semnalului de baza. Distorsiunile produse acestor componente prin inmultirea cu functia sinc(ωτ/ 2) se numesc distorsiuni de apertura. Ele sunt mici doar la componenta centrala (la i=0). Din acest motiv, singura solutie de extragere a semnalului de baza din semnalul MIA-U consta in utilizarea unui FTJ care extrage aceasta componenta centrala. Pentru ca efectul de apertura sa fie neglijabil, este necesar ca durata τ a impulsurilor sa fie mica. In acest caz pulsatia 2π/ la care se anuleaza functia sinc(ωτ/ 2), este mare si panta acestei functii este foarte mica in zona centrala a caracteristicii spectrale.

2.7.2 Principiul multiplexarii in timp a semnalelor

Principiul multiplexarii in timp este ilustrat in figure de mai josCele trei semnale, x^A(t) , x^B(t) si x^C(t) , care se transmit pe acelasi canal fizic prin multiplexare in timp, moduleaza in amplitudine trenuri de impulsuri. In cazul general, purtatoarele utilizate in cele trei procese de modulatie sunt decalate in timp, astfel incat impulsurile modulate in amplitudine nu se suprapun.

In schema din figura de mai jos, realizarea MIA-N la emisie si selectia canalelor la receptie se realizeaza cu comutatoare electronice sinfazice. Perioada T se imparte in n intervale egale, n fiind numarul de semnale care trebuie multiplexate. Fiecare semnal se transmite distinct intr-un astfel de interval, sub forma unor impulsuri modulate in amplitudine. Latimea impulsurilor τ (intervalul de timp cat comutatorul sta pe o pozitie) se alege sensibil mai mica decat T/ n. In aceste conditii, pe linia fizica de comunicatie, impulsurile aferente semnalelor care se transmit "simultan" se succed intretesut, fara a se interfera. La receptie, dupa separarea semnalelor MIA-N aferente celor trei canale, extragerea semnalelor de baza se face cu ajutorul filtrelor trece jos.

Principiul multiplexarii in timp

2.7.3 Modulatia impulsurilor in faza si in frecventa

Uzual, modulatia impulsurilor in faza se numeste modulatie in pozitie a impulsurilor. Ca si MIA, modulatia impulsurilor in pozitie (MIP) poate fi: naturala (MIP-N) si uniforma (MIP-U).

2.7.3.1 Modulatia naturala a impulsurilor in pozitie

Fie x_p(t) semnalul purtator, sub forma unui tren de impulsuri de amplitudine constanta (Ap=1), perioada T si durata τ (τ <<T ). Notam cu t₀ faza impulsurilor, adica intarzierea/avansul fata de momentul de timp care reprezinta inceputul perioadei. In figura de mai jos sunt ilustrate situatiile cand: t₀ = t₀ > 0 si t₀ < 0 .

Un semnal MIP are faza variabila, in functie de semnalul modulator, x(t):

x_MIP(t)=x_p[t+Δp(t)],

unde:

Δp(t) = Δp_Mx(t) ; x(t) ≤1

Impulsuri cu diverse valori ale fazei

Variatia maxima a fazei/pozitiei, Δp_M , trebuie sa fie mai mica decat T/2, pentru ca o comutare brusca de la o valoare extrema negativa la o valoare extrema pozitiva a semnalului modulator sa nu conduca la interferenta sau suprapunerea impulsurilor vecine. La un semnal cu modulatia impulsurilor in frecventa (MIF), se considera relatia cunoscuta intre faza si frecventa (faza se obtine prin integrarea frecventei):

iar relatia generala a unui semnal MIF este:

Vom considera acum un modulator pentru obtinerea MIP, functionand cu un semnal modulator sinusoidal de pulsatie ω₀. Relatia devine:

Δp(t) = Δp_M sin(ω₀t)

Modulatia naturala a impulsurilor in pozitie

La modulatia naturala a impulsurilor in pozitie, deplasarea Δp(t) a impulsurilor este definita in raport cu verticala mediana a fiecarui impuls de latime τ. Ilustrarea unui semnal MIP-N este data in figura de mai sus punctul b). Expresia semnalului x_MIP−N (t) este:

x_MIP−N (t x_p [t+Δp_M sin(ω₀t)]

Pentru a examina relatia dintre MIP si MIF, vom considera un semnal MIF cu semnal modulator cosinusoidal, de pulsatie Semnalul purtator va avea o variatie a pulsatiei proportionala cu semnalul modulator, adica:

Δω_p(t) = Δω_M cos(ω₀t),

unde Δω_M determina variatia maxima de frecventa a impulsurilor. Variatia de faza a semnalului MIF este:

unde s-a considerat t₀=0. Notand:

indicele de modulatie, rezulta:

Δp(t) =β sin(ω₀t)

Deci modelele semnalelor MIP si MIF sunt aparent identice. Exista, totusi, o diferenta importanta: la MIP deviatia maxima de faza este o constanta, pe cand la MIF indicele de modulatie, β, care este deviatia maxima de faza, depinde de frecventa semnalului modulator.

In cele ce urmeaza vom dezvolta modelul semnalului MIP-N, avand ca obiectiv deducerea caracteristicii spectrale a acestui semnal. Se considera mai intai semnalul purtator, x_p(t), sub forma unui tren de impulsuri de arie τ (amplitudine unitara si durata τ) si perioada T.

Se cunoaste ca daca intr-un semnal periodic, avand parametrii din SFC, se inlocuieste t cu t-τ, atunci parametrii ai semnalului cu argument modificat sunt . Vom aplica aceasta proprietate in cazul semnalului MIP-N,.. Putem considera ca x_p(t+ Δp_M sin(ω₀t)) este obtinut din x_p (t) prin inlocuirea lui t cu t+ Δp_M sin(ω₀t) . In consecinta, parametrii din SFC a semnalului MIP-N se obtin din parametrii ai semnalului x_p (t prin relatia

deci SFC a semnalului MIP-N este:

Vom pune exponentiala de mai sus sub forma:

Constatam ca la exponentul celui de-al doilea factor intervine o functie sinusoidala. Din proprietatile functiilor Bessel de speta I se stie ca:

Adaptand aceasta relatie la cel de-al doilea factor , rezulta:

Se va obtine modelul semnalului MIP-N sub forma:

Se observa ca semnalul MIP-N are un spectru discret, in sensul ca exista armonici numai la pulsatiile iω_p +kω₀ , (i=1, 2,; k=0, 1, 2,).

Intrucat:

caracteristica spectrala a semnalului MIP-N rezulta de forma:

2.7.3.2 Modulatia uniforma a impulsurilor in pozitie

La acest tip de modulatie deplasarea Δp(t) a impulsurilor este definita in raport cu frontul anterior al fiecarui impuls

Modulatia uniforma a impulsurilor in pozitie

S-a admis ca semnalul de baza x(t) moduleaza in pozitie o distributie delta periodica, obtinandu-se un semnal MIP, in care impulsurile sunt de amplitudine infinita, durata zero si arie unitara, adica distributii δ. Acest semnal s-a notat cu d(t) in figura de mai sus si in cea de mai jos. El se cupleaza printr-un produs de convolutie cu impulsul f(t) de amplitudine unitara .

Schema de realizare a unui semnal MIP-U

Ǐn urma acestei operatii fiecare impulsdistributie din semnalul d(t) se transforma intr-un impuls de durata τ, al carui front anterior este declansat de impulsul δ. Rezultatul obtinut este semnalul MIP-U, in care faza impulsurilor Δp(t) , proportionala cu semnalul modulator, x(t), este definita prin decalarea frontului anterior al impulsurilor in raport cu momentele iT.

Fie Δp(t) variatia fazei impulsurilor δ din semnalul d(t), proportionala cu semnalul modulator, x(t). Avand in vedere expresia variabilei p(t), deducem valorile fazei/pozitiei care trebuie impuse impulsurilor δ fata de momentele discrete iT:

Δp(iT)= Δp_M sin(ω₀iT)

Semnalul d(t) se deduce impunand ca impulsurile unei distributii δ periodice, la momentele discrete iT, sa fie decalate cu Δp(iT ) :

Vom calcula caracteristica spectrala a semnalului d(t):

Stiind ca F =1 si aplicand teorema intarzierii , rezulta:

sau:

Pe baza relatiei de mai sus, a doua exponentiala se scrie sub forma

iar expresia devine:

Intrucat:

x_MIP−U (t d(t) f(t) ,

caracteristica spectrala a semnalului MIP-U este:

X_MIP−U(ω)=D(ω) F(ω),

Se constata ca, spre deosebire de cazul MIP-N, cand s-a obtinut un spectru discret, aici a rezultat o caracteristica spectrala "continua", densitatea armonicilor fiind data de o functie continua (neteda) in raport cu ω.

2.7.4 Modulatia impulsurilor in durata

Modulatia impulsurilor in durata (MID) este utilizata cu predilectie in electronica de putere, fiind un procedeu fundamental de realizare a unor circuite larg raspandite in electronica industriala. Ea este numita frecvent "modulatie PWM", dupa abrevierea denumirii din limba engleza, "Pulse Width Modulation". Durata impulsurilor depinde liniar de semnalul modulator:

τ (t)=τ_p+Δτ(t)=τ_p+k x(t) , unde τ_p este durata impulsurilor semnalului purtator, obtinuta atunci cand x(t)=0.

Modulatia impulsurilor in durata

Pentru a se obtine o plaja de variatie liniara cat mai mare a duratei t), se adopta:

iar termenul k x(t) trebuie sa duca la variatii Δτ(t) limitate intre -T/2 si T/2.

Considerand -1<x(t)<1, relatiia devine:

sau

Semnalul purtator x_p(t) este un tren de impulsuri de forma celor din figura de mai sus, avand insa amplitudinea unitara si durata τ _p. Modelul semnalului, sub forma SFC, este:

Seria Fourier armonica este:

Intrucat ω _p = 2π /T , expresia semnalului purtator devine:

Modelul semnalului MID se obtine inlocuind in relatia de mai sus durata constanta τ_p prin durata dependenta de cea a semnalului modulator, t):

Daca semnalul modulator, x(t), este sinusoidal de pulsatie ω ₀ , atunci in argumentul functiei sinus intervine termenul sin( ω₀t). Dezvoltarea expresiei care contine o functie sinus avand in argument o alta functie sinus permite obtinerea spectrului semnalului MID prin intermediul functiilor Bessel de speta I.

2.8 Metode de modulatie digitalǎ

In cadrul modulatiei digitale,un semnal purtǎtor analog este modulat de cǎtre secventele de bit digitale.Aceste metode pot fi considerate drept conversii digital-analogice,iar demodulatia corespunzǎtoare sau detectia drept conversie anlog-digitalǎ.Schimbǎrile semnalului purtǎtor sunt alese dintr-un numǎr finit de simboluri alternative M(alfabetul modulatiei).

Metode fundamentale de modulatie digitalǎ:PSK-sunt folosite un numǎr finit de faze;FSK-sunt folosite un numǎr finit de frecvente;ASK-sunt folosite un numǎr finit de amplitudini;QAM-sunt folosite un numǎr finit de cel putin douǎ faze si unul de cel putin douǎ amplitudini.

In cadrul QAM un semnal in antifazǎ si un semnal cu fazǎ in cuadraturǎ sunt amplitudini modulate cu numǎr finit de amplitudini si insumate. Se poate aprecia ca un sistem de douǎ canale, fiecare canal folosind ASK. Semnalul rezultant este echivalent cu combinatia dintre PSK si ASK.

In toate metodele prezentate, fiecǎreia dintre aceste faze, frecvente sau amplitudini ii corespunde o formǎ unicǎ de biti binari. De obicei fiecare fazǎ, frecventǎ sau amplitudine codeazǎ un numǎr egal de biti. Acest numǎr de biti codeazǎ simbolul care este reprezentat de faza particularǎ.

Dacǎ alfabetul cuprinde M=2 ⁿ simboluri alternative, fiecare simbol reprezintǎ un mesaj de n biti. Dacǎ rata simbolului este f_s simbol/secundǎ, atunci rata de date este n_fs bit/secundǎ.

In cazul PSK, ASK sau QAM, unde frecventa purtǎtoare a semnalului modulat este constantǎ, alfabetul modulatiei este adesea reprezentat conventional printr-o diagramǎ de constelatie, indicand amplitudinea semnalului I pe OX, si amplitudinea semnalului Q pe OY, pentru fiecare simbol.

2.8.1 Principiul de operare si functionare al unui modulator/de modulator

PSK, ASK si cateodatǎ FSK sunt adesea generate si detectate folosindu-se principiile QAM. Semnalele I si Q fi combinate intr-un semnal de valoare complexǎ I+jQ, unde j este unitatea imaginarǎ.

Rezultatul, asa numitul semnal echivalent de banda ingustǎ sau semnal echivalent in bandǎ de trecere, reprezintǎ valoarea realǎ a semnalului modulat, numit semnal in bandǎ de trecere sau semnal de radiofrecventǎ.

Pasii generali folositi de modulator pentru transmiterea datelor sunt:

1. Gruparea bitilor de date receptionati in cuvinte de cod, unul pentru fiecare simbol care va fi transmis;
2. Asimilarea atributelor corespunzǎtoare cuvintelor de cod;
3. Adaptarea formei impulsului sau fitrarea semnalului pentru limitarea largimii de bandǎ si formarea senalului echivalent cu bandǎ ingustǎ, folosind in mod normal procesarea digitalǎ a semnalului;
4. Realizarea conversiei din digital in analogic DAC pentru semnalele I si Q;
5. Generarea unei frecvente purtǎtoare cu formǎ de undǎ sinusoidalǎ, de inaltǎ frecventǎ si poate si o componenta cosinusoidalǎ in coadraturǎ. Transportul modulatiei, de exemplu prin multiplicarea formelor de undǎ sinus si cosinus cu semnale I si Q, rezultand semnalul echivalent de bandǎ ingustǎ a cǎrui frecventǎ este modificatǎ intr-un semnal modulat cu bandǎ de trecere sau semnal de radiofrecventǎ. Cateodatǎ, acesta se obtine folosind tehnologia DSP, de exemplu sinteza digitala directǎ folosind un tabel cu formele de undǎ in loc de procesarea analogicǎ a semnalului.
6. Amplificarea si filtrarea semnalului de radiofrecventǎ pentru evitarea distorsiunilor armonice si spectrului periodic.

Comun pentru toate sistemele de comunicatii digitale este faptul cǎ realizarea atat a modulatorului cat si a demodulatorului se face simultan. Schemele de modulatie digitalǎ sunt posibile deoarece o pereche emitǎtor- receptor au cunostinte prioritare despre modul de codare al datelor si reprezentarea acestora in sistemul de telecomunicatii. In toate aceste sisteme, atat modulaorul la emitǎtor cat si demodulatorul la receptor sunt structurate astfel incat sǎ poatǎ realize operatii inverse.

Metodele de modulare necoerente nu necesitǎ un semnal de referinte la receptor care sǎ fie sincronizat in fazǎ cu forma de undǎ purtǎtoare receptionatǎ. In acest caz, simbolurile modulate sunt transferate asincron. Metoda opusǎ este cea de modulatie coerentǎ, in care este necesar un semnal de referintǎ pentru sincronizare.

2.8.2 Lista tehnicilor de modulatie digitalǎ

a)Modulatia digitalǎ in banda de bazǎ sau codarea liniilor

Termenul de modulatie digitalǎ in banda de bazǎ este sinonim cu liniile de cod si reprezintǎ metoda prin care se transferǎ sirurile digitale de biti pe un canal analogic cu bandǎ ingustǎ, folosind trenurile de impulsuri, de exemplu un numǎr discret de nivele de semnal prin modularea directǎ a curentiilor sau tensiunilor dintr-un conductor.

b)Metodele de modulatie in impulsuri

Schemele de modulatie in impulsuri au rolul si scopul de a transfera un semnal analogic de bandǎ ingustǎ cǎtre un canal analogic de bandǎ ingustǎ, sub forma unui semnal cuantizat cu douǎ nivele, prin modularea unui tren de impulsuri. Unele scheme de modulatie in impulsuri, permit ca semnalul analog de bandǎ ingustǎ sǎ fie transferat ca un semnal digital, de exemplu ca un semnal cuantizat discret in timp, cu o ratǎ de bit fixǎ, care poate fi transferatǎ cǎtre un sistem digital de transmisie, de exemplu cateva linii de cod. Acestea nu sunt scheme de modulatie in sensul conventional, de datǎ ce ele nu sunt scheme de codare a canalului, dar ar trebui considerate ca scheme pentru codarea de bazǎ si in unele cazuri tehnici de conversie analog - digitalǎ.

Metode analog-digitale: PAM(impuls-amplitudine), PWM(impuls-duratǎ), PPM(impuls-pozitie.

Metode digital-analogice: PCM(impuls-cod):DPCM(diferential PCM); ADPCM(adaptiv DPCM); DM (modulatie delta); modulatie sigma-delta; modulatie delta-adaptivǎ ADM; modulatie impuls-densitate PDM.

Spectrul de distributie secventialǎ directǎ are la bazǎ modulatia impuls-amplitudine PAM.

c)Diferite tehnici de modulare

Operarea undei continue (CW) in care este folositǎ alternarea on-off pentru transmiterea codului Morse.

Modulatia adaptivǎ este modulatia spatialǎ A in care semnalele sunt modulate direct in spatiu, asa cum este folosit sistemul aparatelor de ghidare la aterizare.