Cercul lui Mohr

Cercul lui Mohr

Cercul lui Mohr este o reprezentare geometrica a relatiilor intre tensiunile si pentru starea plana sau spatiala de tensiune.

In planul zx relatiile (III.60) si (III.63) definesc un cerc, ceea ce se poate demonstra rescriindu-le astfel:

(III.76)

(III.77)

Ridicand la patrat cele doua ecuatii si adunandu-le, obtinem:

(III.78)

De remarcat ca sunt constante ce reprezinta o stare de tensiune data; si reprezinta variabilele. Rezulta ca este o constanta C, iar membrul din dreapta al ecuatiei (III.78) este o alta constanta, R. Folosind aceste notatii, ecuatia (III.78) devine:

( III.79)

Ecuatia (III.79) reprezinta, in sistemul de coordonate , un cerc cu raza:

, (III.80)

al carui centru este deplasat la dreapta, fata de origine, pe axa cu distanta OC care are marimea constantei C:

. (III.81)

Fig. (III.18) reprezinta cercul lui Mohr pentru o stare plana de tensiune. Centrul C reprezinta media tensiunilor normale, iar raza R este ipotenuza triunghiului dreptunghic CDM. Prin punctele E,F,G sunt redate tensiunile extreme, , .

Fig. III.18 Cercul lui Mohr

Punctele M de pe cerc redau proprietatile starii plane de tensiune. Spre exemplu, se poate observa ca tensiunea tangentiala maxima este egala cu raza cercului, deci cu semidiferenta tensiunilor principale si corespunde unui unghi fata de directiile principale de solicitare.

Starea plana de tensiune poate avea mai multe cazuri particulare, dupa cum urmeaza:

Starea liniara de tensiune cand (III.78). Ea se produce in barele drepte solicitate la intindere sau compresiune uniaxiala si in cazul incovoierii pure:

. (III.82)

Fig. III.19 Cercul lui Mohr pentru starea liniara

Reprezentarea s-a facut pentru ; pentru (cercul se afla in partea stanga).

Starea de forfecare pura daca (III.78). Ea se realizeaza in barele solicitate la forfecare pura sau torsiune:

(III.83)

Fig. III.20 Cercul lui Mohr pentru starea de forfecare pura

Starea de tensiune cu , . In acest caz tensiunile sunt dirijate in lungul directiilor principale de solicitare. Aceasta stare se produce, in mod aproximativ, in peretele unui cazan solicitat de o presiune interioara:

, (III.84)

Fig. III.21 Cercul lui Mohr pentru cazul ,

In mod asemanator ca in starea plana de tensiune, tensiunile in starea spatiala se reprezinta in sistemul de referinta prin trei cercuri ale lui Mohr in planele normale pe cele trei axe principale, fig. (III.22).

Fig. III.22 Cercul lui Mohr pentru starea spatiala

P III.1 Intr-un anumit punct dintr-un corp solicitat, tensiunile principale sunt MPa si MPa. Sa se determine tensiunile normale si tangentiale corespunzatoare planelor a caror normale fac unghiurile de si cu axa x.

Pentru rezolvarea problemei, se ilustreaza starea de tensiune data, in fig. (P.III.1.1). Stiind ca MPa si t = 0, se obtine punctul A (80,0). Similar rezulta B (-40,0). Se traseaza cercul cu diametrul . Sub un unghi , se duce dreapta DE, in care punctul D are coordonatele (,), iar punctul E are coordonatele (,).

Prin urmare:

iar pe planul perpendicular:

Fig. P.III.1.1

Tensiunile normale si tangentiale corespunzatoare planelor cu normale de si fata de axa x sunt reprezentate in fig. (P.III.1.2).

Fig. P.III.1.2