FUNDAMENTELE VIBRATIIOR MECANICE

FUNDAMENTELE VIBRATIIOR MECANICE

VIBRATIILE. FENOMEN MECANIC

Vibratiile sunt miscari alternative efectuate de sistemul mecanic in raport cu starea de referinta , fiind provocate de forte perturbatoare numite si excitatii ale caror marimi , directii sau puncte de aplicatie variaza in timp .

Un sistem mecanic se poate gasi in repaus sau in miscare de regim , stari numite de referinta .

In functie de existenta si natura fortei perturbatoare , sistemele mecanice pot executa vibratii libere (fara forte perturbatoare ) sau vibratii fortate , care sunt intretinute de o forta perturbatoare .

Deasemenea vibratiile fortate pot fi deterministe , cand forta perturbatoare este cunoscuta analitic , sau aleatorii , cand forta perturbatoare este aleatorie .

Dupa numarul gradelor de libertate , sistemele mecanice pot fi cu un grad de libertate , cu un numar finit de grade de libertate si sisteme continue cu o infinitate de grade de libertate .

VIBRATII PERIODICE

Cea mai simpla forma de vibratie periodica este miscarea armonica pura , reprezentata in domeniul timpului de o curba sinusoidala .

Prin x(t) s-a notat pozitia instantanee a sistemului mecanic in raport cu starea de referinta , pozitie precizata matematic prin ecuatia

x(t)=Xc sin(ωt+0) , unde ω este pulsatia miscarii legata de frecventa f si perioada T prin relatia ω=2πf=2π/T; Xv este amplitudinea miscarii apreciata ca deplasarea maxima fata de pozitia de echilibru .

Viteza i acceleratia miscarii sunt :

p(l)=dx(l)dl/=ωXv cos(ωt+0)=Vv cos(ωt+0)=Vv sin(ωt+0+π/0);

a(l)=d²x(l)/dl²=-ω²Xv sin(ωt+0)=-Av sin(ωt+0=Av sin(ωt+0+π)

in care prin Vv si Av au fost notate amplitudinile vitezei si respective ,acceleratiei .

In cazul vibratiei armonice , viteza si acceleratia miscarii rezulta de asemenea armonice cu aceeasi pulsatie ca si deplasarea , dar defazate cu π/2 radiani si respectiv cu π radiani .

Caracterizarea unei astfel de miscare numai prin intermediul amplitudinii si a pulsatiei nu este suficienta , impunandu-se considerarea si a unor marimi legate de desfasurarea procesului pe parcursul unei perioade .

Au fost introduse doua marimi medii :

-valoarea medie absoluta Xa

-valoarea eficace Xef definite prin relatiile:

rel . 1.2

Considerand un sistem elastic cu un grad de libertate , liniar , cu rigiditatea k , energia elastica acumulata sub forma de energie potentiala de deformatie , intr-o perioada , este

rel 1.3

integrala fiind deci o marime proportionala cu energia acumulata intr-o perioada ; prin raportare la valoarea perioadei se obtine puterea medie pentru o perioada .

Valoarea mediei aritmetice XA , neavand o semnificatie fizica deosebita , este putin utilizata practic ,in timp ce valoarea eficace Xef , fiind proportionala cu puterea vibratiei , capata o importanta majora fiind un parametru de larga utilizare .

Pentru aprecierea formei miscarii vibratorii periodice se utilizeaza factorul de forma Ff si factorul Fv definite prin relatiile :

rel 1.4

Pentru cazul miscarii armonice pure si .

In baza teoremei lui Fourier si in conditiile respectarii conditiilor lui Dirichlet , vibratiile deterministe periodice pot fi privite ca o suma de miscare armonice , cu pulsatiile multipli ai unei pulsatii fundamentale unde T este perioada miscarii :

rel 1.5

Practic in relatia de mai sus se considera numai un numar finit de termeni in functie de precizia dorita .Astfel , inregistrand acceleratia miscarii unui piston de la un mecanism biela-manivela , se obtine diagrama reprezentata cu linie plina prezentata in figura 1.2 .

fig 1.2 fig 1.3

Analizand miscarea pistonului in figura 1.3 se obtine:

rel 1.6

Deoarece practice λ<0,3 , se pot considera numai primii doi termini ai sumei , obtinandu-se pentru acceleratie ecuatia : rel 1.7

In figura 1.2 cele doua componente cu pulsatiile ω si 2ω sunt reprezentate cu linie intrerupta si respectiv prin puncte .

fig 1.4

In figura 1.4 sunt prezentate spectrele acceleratiilor pentru cazul unei miscari armonice pure , al cazului anterior cu doua componente armonice si al unui caz pentru care numarul de componente armonice este mai mare .

VIBRATII ALEATORII

In cazul vibratiilor aleatorii miscarea este ciclica , neregulata fara a se repeata in timp.

fig 1.5

Pentru a se obtine o reprezentare completa a vibratiei aleatorie , aceasta trebuie urmarita pe toata durata desfasurarii fenomenului , teoretic un timp infinit , ceea ce evident este imposibil .

Practic se lucreaza cu perioade de inregistrare finite , datele obtinute in cursul unei inregistrari formand o realizare a procesului aleatoriu .

Totalitatea realizarilor fenomenului , obtinute in conditii identice , formeaza procesul aletoriu . Deoarece acest mod de a descrie procesul aleatoriu necesita un timp extreme de lung pentru caracterizarea vibratiilor aleatorii se utilizeaza o serie de marimi probabiliste.

Vibratii aleatorii stationare . Proces aleatoriu ergodic

Amplitudinea la un moment dat t este o marime aleatorie si este caracterizata de ansamblul statistic al valorilor ei in toate relizarile posibile ale procesului aleatoriu care este redata in figura 1.6 .

rel 1.8

Daca se admite pentru fiecare realizare xk(t) aceeasi probabilitate , se defineste m(t ) - valoarea medie la timpul t prin relatia :

rel 1.9

Functia de autocorelatie apreciaza masura in care procesul aleatoriu ramane asemanator cu el insusi :

rel 1.11

fig 1.6

Daca valoarea medie si functia de autocorelatie nu depind de momentul t ales ,procesul aleatoriu se numeste stationar :

rel 1.12

rel 1.13

Pentru fiecare realizarea unui process aleatoriu stationar se poate calcula valoarea medie m(k) si functia sa de autocorelatie :

rel 1.14

rel 1.14 '

Se numesc procese aleatorii ergodice procesele aletorii stationare pentru care valoarea medie si functia de autocorelatie definite pentru o realizare k nu depind de realizarea aleasa si coincide cu valorile corespunzatoare definite pe ansamblu :

rel 1.15

rel 1.15'

Deci un proces aleatoriu ergodic poate fi caracterizat de o singura realizare .

Functia repartitie a amplitudinilor F(x) este definita prin probabilitatea ca amplitudinea miscarii sa fie inferioara valorii x :

rel 1.16

Functia de repartitie a amplitudinii este o functie monoton crescatoare cum este reprezentata in figura 1.7 .

Folosind functia de repartitie F(x) , se poate aprecia probabilitatea ca amplitudinea miscarii sa se gaseasca in domeniul (a ,b ) :

rel 1.17

fig 1.7

Densitatea de probabilitate a amplitudinii p(x) este apreciata ca limita raportului dintre probabilitatea ca amplitudinea instantanee a miscarii aleatoare sa se gaseasca intr-un anumit interval si marimea intervalului ∆x , atunci aceasta tinde la zero (fig 1.8):

rel 1.18

Din relatia 1.18 rezulta imediat

rel 1.19

fig 1.8

Functia densitatii de probabilitate a amplitudinii are urmatoarele proprietati evidente :

rel 1.20

rel 1.21

rel 1.22

Cea mai cunoscuta forma analitica pentru functia densitatii de probabilitate este cea normala (gaussiana ) prezentata in figura 1.9, (rel 1.23)in care este valoarea medie iar o este abaterea medie patratica :

rel 1.24 fig 1.9

Functia de autocorelatie . Corelograma .

Pentru un process aleatoriu ergodic functia de autocorelatie este definita prin relatia , care se poate aplica oricarei realizari a procesului :

rel 1.24

Reprezentarea grafica a functiei de autocorelatie in functie de deplasarea formeaza corelograma procesului aleatoriu , a carei forma furnizeaza unele indicatii asupra continutului in frecvente .

Corelograma admite pentru un maxim , cu atat mai pronuntat cu cat continutul in frecvente inalte este mai bogat .La limita , pentru un process aleatoriu stationar ideal (zgomot alb) , corelograma are aspectul din figura 1.10 a . In cazul unui proces aleatoriu stationar real de banda larga , corelograma capata forma din figura 1.10 b , iar pentru un proces aleatoriu stationar real de banda ingusta se obtine forma din figura 1.10 c .

fig 1.10

Daca procesul vibrator este periodic , de perioada T , functia de autocorelatie va rezulta deasemenea periodica , cu perioada T prezentata in figura 1.11a .

Cand procesul este neperiodic , pentru valori mari ale deplasarii timpului , functia de autocorelatie tinde catre patratul valorii medii :

rel 1.25

fig 1.11

Daca valoarea medie este nula , functia de autocorelatie va scadea catre zero la valori ridicate ale deplasarii (fig 1.11 b ). Atunci cand in procesul aleatoriu este ascuns un fenomen de variatie periodica , corelograma va tinde , pentru valori mari ale deplasarii , la o functie periodica de (fig 1.11 c ) .

Valoarea maxima a functiei de autocorelatie se realizeaza pentru deplasarea =0 si este egala cu valoarea medie patratica a procesului aleatoriu :

rel 1.26

Pentru un sistem liniar este o marime proportionala cu energia pe intervalul pe care s-a efectuat realizarea ; impartirea prin valoarea T a intervalului conduce la puterea medie pentru acest interval , aceasta fiind si semnificatia fizica a mediei patratice

Densitatea spectrala a mediei patratice (densitatea spectrala de putere ).

In cazul miscarilor periodice , spectrul frecventelor realizat prin analiza Fourier a permis stabilirea atat a continutului in frecvente , cat si a repartitiei amplitudinii pe frecventele componente .

In cazul proceselor aleatorii , o reprezentare in domeniul frecventelor se realizeaza calculand transformata Fourier a functiei de autocorelatie (admitandu-se ca integrala functiei intre limitele si este finita ):

rel 1.27

Aplicand transformarea Fourier inverse marimii S(f) , se obtine din nou functia de autocorelatie : . rel 1.28

Pentru deplasarea egal cu zero din relatiile (1.26 si 1.28 ) rezulta

rel 1.29

Functia S(f) poarta numele de densitate spectrala a mediei patratice sau , mai obisnuit , densitate spectrala de putere prezentata in figura 1.12 .

fig 1.12

Avand ca variabila pulsatia , densitatea spectrala de putere este :

rel 1.30

O vibratie aleatorie determina in domeniul pulsatiilor un spectru continuu , astfel incat marimea mediei patratice masurata la o anumita frecventa va depinde de marimea de banda utilizata .

Din acest motiv , pentru caracterizarea unei vibratii aleatoare , mult mai utila este functia densitatii spectrale a mediei patratice.

SOCURI SI MISCÃRI TRANZITORII

Particular , in cazul socurilor si al miscarilor tranzitorii , este producerea brusca , pe o durata foarte mica .

Socul simplu poate fi definit ca un proces in care sistemul mecanic primeste o cantitate de energie cinetica intr-un timp scurt comparative cu perioada proprie de vibratie a acestuia. In cazul miscarilor tranzitorii (socuri complexe ) , procesul de transfer al energiei poate avea o durata echivalenta cu cateva perioade proprii de oscilatie .

Daca functia analitica de timp a unei astfel de miscari este notata f(t) , f(t) ≠0 pentru si f(t)=0 pentru transformata Fourier este

rel 1.31

In figura 1.13 sunt exemplificate spectrele densitatilor amplitudinilor pentru trei cazuri tipice de soc :

-impuls treapta figura 1.13 a

-impuls triunghiular figura 1.13 b

-impuls sinusoida figura 1.13 c

Pentru toate cele trei cazuri exemplificate in figura 1.13 expresia transformatei Fourier a fost scrisa ca un produs de doi factori dintre care primul reprezinta aria limitata de curba variatiei in timp a amplitudinii socului si axei :

fig 1.13

Pentru valoarea zero a frecventei , cel de-al doilea factor capata valoarea unu , astfel incat se poate aprecia ca pentru frecvente foarte mici marimea componentei spectrale este egala cu aria mentionata .

Patratul amplitudinilor transformatei Fourier la fiecare frecventa reprezinta o marime proportionala cu energia , astfel incat patratul amplitudinilor transformatei Fourier va furniza densitatea spectrala a energiei .Integrala spectrului patratelor amplitudinilor pe tot domeniul de frecvente va reprezenta energia totala a socului .

La acelasi rezultat se va ajunge integrand puterea instantanee (patratul amplitudinilor ) pe tot domeniul timpului . Se obtine astfel urmatoarea relatie care reprezinta defapt o forma a teoremei lui Parseval [77]:

rel 1.32

Pentru modificarea matematica a fenomenelor de soc se utilizeaza functia impuls unitate introdusa de Dirac si definite prin urmatorul grup de relatii :

rel 1.33 a

rel 1.33b

rel 1.33c .

Relatia 1.33 c indica faptul ca pe axa timpului , functia impuls are propritate de esantionare a excitantei f(t) prin aceia ca furnizeaza un esantion f(a) din momentul in care apare impulsul unitate

Transformata Fourier a impulsului unitate este si deci spectrul densitatii amplitudinilor este o dreapta paralela cu axa frecventelor .

Energia totala a impulsului unitate este infinita , iar densitatea de energie continuta la fiecare frecventa este constanta si egala cu 1 :

rel 1.34