Tensiuni normale principale. Directii principale. Plane principale

Studiul tensiunilor are ca scop stabilirea valorilor extreme in jurul punctului considerat. In cazul tensiunilor normale, acestea se determina asimiland relatia (III.20) cu o suprafata de gradul II.

Din geometria analitica se cunoaste ca prin rotirea axelor de coordonate se ajunge intr-o pozitie in care cosinusii directori au o valoare l', m', n', situatie pentru care termenii dublului produs (ce contine tensiunile t) din relatia mentionata sunt nuli. Deoarece , rezulta ca exista un sistem de axe x, y, z in raport cu care tensiunile tangentiale din relatia (III.20), ,, sunt nule. Axele in aceasta situatie reprezinta directiile principale (axele principale) si se noteaza cu 1, 2, 3. Planele ortogonale corespondente se numesc plane principale, iar tensiunile normale de pe aceste plane se numesc tensiuni normale principale (deoarece numai asupra lor se distribuie intreaga stare de tensiune) care, in ordinea marimii lor algebrice, respecta conditia:

, (III.22)

in care:

- tensiunea normala maxima;

- tensiunea normala minima in planul 12;
dar tensiune normala maxima in planul 23;

- tensiunea normala minima.

Pe fiecare dintre planele principale 1, 2, 3 tensiunea p_n se manifesta numai sub forma uneia dintre tensiunile normale principale . Prin urmare relatiile de echilibru (III. 13) se scriu:

(III.23)

Se observa ca tensiunea totala intr-un punct prin componentele sale poate fi determinata si numai functie de tensiunile normale principale (III. 23).

Determinarea tensiunii principale se face egaland expresia tensiunii p_n scrisa pentru directiile oarecare x, y, z, (III. 13) cu cea scrisa pentru directiile principale 1, 2, 3 (III.23).

. (III.24)

Datorita relatiei fundamentale a cosinusilor directori , sistemul (III.24) nu admite solutia banala , astfel ca rezulta conditia (III.25):

. (III.25)

Determinantul (III.25) exprima o ecuatie de gradul III in ale carei radacini sunt functie de starea de tensiune si nu depind de sistemul de axe initial adoptat.:

. (III.26)

In consecinta, chiar daca axele se rotesc, coeficientii ecuatiei (III.26) I₁, I₂, I₃ raman invariabili. Acestia se numesc invariantii starii de tensiune avand valorile:

, (III.27)

, (III.28)

, (III.29)

unde este determinantul matricii asociate tensorului scris pe directiile principale 1, 2, 3 avand forma:

. (III.30)

Prin prisma tensiunilor normale principale, relatia (III.20) se scrie sub forma:

, (III.31)

unde l, m, n reprezinta cosinusii directori ai directiilor principale.

Daca se considera cate doua din ecuatiile sistemului (III.24) in care s-au introdus solutiile si formand un nou sistem in care este cuprinsa si relatia fundamentala a cosinusilor directori, rezulta pe rand valoarea cosinusilor directori l, m, n.

In raport de valorile ce le capata invariantii, starea de tensiune poate fi:

spatiala, cand , , , de unde , , ;

plana, cand unul din invarianti are valoarea zero, de exemplu , , , de unde , , ;

liniara, cand , , , de unde , , .

Determinand tensiunile , ecuatiile (III.23) sunt verificate de solutiile obtinute folosite corespunzator, astfel:

(III.32)

Inlocuind cosinusii directori din relatia (III.32) in relatia fundamentala a acestora, rezulta:

. (III.33)

Marimile , , pot fi considerate ca niste coordonate ale tensorului tensiunii totale p_n ce descrie un elipsoid ale carui semiaxe sunt tensiunile normale , fig. (III.8).

Fig. III.8 Elipsoidul tensiunilor

Odata determinate directiile tensiunilor normale principale intr-un punct, s-a pus problema orientarii acestora in punctele invecinate. Una din posibilitatile de evidentiere a acestor orientari este prin fotoelasticitate, metoda de investigare bazata pe principiile opticii experimentale. Astfel se pot determina izoclinele, locul geometric al punctelor din plan in care tensiunile normale principale au o directie constanta. Izoclinele pot fi folosite si pentru trasarea traiectoriilor tensiunilor normale principale, numite izostatice. Liniile izostatice sunt curbele care se bucura de proprietatea ca tangentele in fiecare punct coincid cu una din directiile principale, prin fiecare punct trecand doua curbe reciproc ortogonale.