Teorema impulsului

Teorema impulsului

Teorema impulsului aplicata unui tub de curent

Se considera tubul de curent din figura 5.4 si masa de fluid cuprinsa in volumul de control marginit de suprafata de control formata din cele doua suprafete S₁ si S₂ si de peretele tubului de curent cuprins intre S₁ si S₂.. Fluidul este considerat incompresibil, iar miscarea este stationara.

Deoarece viteza nu prezinta o distributie uniforma pe sectiunea tubului de curent, s-a propus utilizarea unui coeficient de corectie astfel incat sa se poata efectua calculul impulsului cu ajutorul vitezei medii. Coeficientul pentru corectia impulsului se numeste coeficientul Boussinesq si se noteaza cu b. Impulsul intr-o sectiune a unui tub de curent poate fi calculat cu relatia:

. (5.15)

Teorema impulsului pentru un tub de curent, tinand seama de ipotezele anterioare se enunta astfel: variatia impulsului este egala cu suma fortelor exterioare care actioneaza asupra fluidului si se exprima prin ecuatia:

, (5.16)

unde cu si s-au notat vitezele medii pe sectiunile de intrare si iesire ale tubului de curent.

Suma fortelor exterioare care actioneaza asupra masei de fluid poate fi explicitata astfel:

. (5.17)

Fortele de presiune pe suprafetele sectiunilor de intrare si iesire ale tubului de curent ( si )    sunt fortele cu care fluidul din exteriorul suprafetei de control actioneaza asupra fluidului din interiorul acesteia. Acestea se pot calcula cu ajutorul ecuatiilor cunoscute:

. (5.18, 5.19)

Se observa ca fortele de presiune pe suprafata laterala a tubului de curent se anuleaza reciproc.

Forta de reactiune (F_R) a peretelui tubului de curent ce face parte din suprafata de control, asupra fluidului din interiorul volumului de control este de obicei necunoscuta problemei.

Forta de greutate (forta masica) a fluidului din interiorul volumului de control, (F_G) se determina lesne din ecuatiile cunoscute.

Forta de frecare F_f este practic imposibil de calculat cu precizie. De ea se tine seama prin introducerea unor coeficienti de corectie obtinuti experimental.

Conform principiului actiunii si reactiunii din mecanica, forta de reactiune este egala in modul dar de sens contrar cu forta de actiune:

. (5.20)

In majoritatea aplicatiilor practice este important sa se determine forta de actiune dinamica a fluidului asupra unor suprafete solide cu care acesta vine in contact. Astfel, forta de actiune va fi necunoscuta, iar forta de frecare este neglijata intr-un prim calcul. Cu acestea, forma practica a teoremei impulsului pentru un tub de curent este:

. (5.21)

Avand in vedere ca ecuatia (5.21) este vectoriala, metoda analitica presupune alegerea unui sistem de axe arbitrar pe care se proiecteaza relatiile respective. Se obtin astfel valorile componentelor dupa axele sistemului.

Se poate aprecia ca tipurile de aplicatii practice ale relatiei (5.21) pot fi impartite in trei categorii.

Valoarea parametrilor hidrodinamici ramane constanta, variind intre sectiunea de intrare si iesire numai directia si sensul lor. Este reprezentat de cazul tehnic al coturilor de conducte cu diametrul constant cu orice unghi la centru, ca si cazul jeturilor compacte ce lovesc o suprafata solida.

Valoarea parametrilor hidrodinamici se schimba intre sectiunea de intrare si iesire, directia si sensul lor ramanand acelasi. Este reprezentat de cazul tehnic al ingustarilor si largirilor de conducte unidirectionale, ajutaje, etc.

Atat valoarea cat si directia si sensul parametrilor hidrodinamici se modifica intre sectiunea de intrare si sectiunea de iesire. Este reprezentat de cazul tehnic al ramificatiilor sau al coturilor cu schimbare de sectiune.

In cazul unui sistem cu mai multe ramificatii de intrare si iesire, relatia (5.21) devine:

, (5.22)

unde n este numarul sectiunilor de intrare, iar m este numarul sectiunilor de iesire.

Actiunea dinamica a unui jet de fluid asupra unei suprafete solide, principiul turbinei cu actiune

Presupunem un jet de sectiune circulara care loveste perpendicular o placa plana cu diametrul mult mai mare decat diametrul jetului, astfel incat devierea jetului sa fie completa la 90^o. Jetul, creat de un ajutaj, se dezvolta liber in mediul ambiant pana la impactul cu placa, deci fortele de presiune distribuite in exteriorul jetului se echilibreaza reciproc. Se neglijeaza fortele de frecare si greutatea jetului. Se noteaza viteza absoluta a jetului cu c, iar viteza relativa a jetului fata de placa cu w. In prima aproximatie se considera placa in repaus fata de ajutaj. Alegand convenabil suprafata de control, astfel incat sa inconjoare zona de impact (fig.5.5), si un sistem de axe cu axa Ox in directia si sensul jetului si axa Oy in planul placii, se poate proiecta ecuatia de echilibru dinamic dupa cum urmeaza:

(5.23, 5.24)

Deoarece debitul jetului deviat este repartizat uniform (impactul este perpendicular), impulsul in sectiunea de iesire este nul. Forta de actiune este dirijata in lungul jetului, perpendicular pe placa, avand valoarea:

. (5.25)

Se defineste un coeficient de rezistenta C_x ca fiind raportul dintre forta de impact cu profilul placii si forta de impact ideala data de produsul dintre presiunea dinamica si aria sectiunii drepte a jetului:

(5.26)

Comparand relatiile (5.25) si (5.26) se obtine:

. (5.27)

Pentru cazul unei cupe duble care deviaza jetul de fluid cu mai mult de 90^o, forta de actiune dinamica se mareste cu o cantitate egala cu proiectia pe axa Ox a impulsului la iesire (fig. 5.6). Rezulta:

(5.28, 5.29)

Considerand placa plana in repaus, se obtine in final:

. (5.30)

Coeficientul de rezistenta este:

. (5.31)

Pentru cazul in care jetul de fluid este intors complet (a = 180^o), C_x are valoarea 4 deci, din punct de vedere teoretic, acest profil este de doua ori mai eficient decat placa plana.

In sfarsit, sa luam in consideratie cazul unei cupe duble montata pe periferia unui rotor aflat in miscare de rotatie. Este cazul schematizat al turbinei cu actiune (Pelton). Viteza tangentiala medie a placii se noteaza cu u (fig. 5.6).

Rezulta ca viteza relativa a cupei este:

. (5.32)

Inlocuind aceasta expresie in ecuatia (5.28), se obtine pentru forta teoretica de actiune dinamica asupra cupei de turbina Pelton:

. (5.33)

Din constructie, unghiul b este de circa 5..7^o, astfel incat jetul care paraseste o cupa sa nu loveasca extradosul cupei alaturate.

Se calculeaza randamentul acestei actionari si se obtine:

. (5.34)

Viteza jetului este determinata, din punct de vedere teoretic, de inaltimea de cadere a apei (nivelul apei la baraj), deci viteza tangentiala a rotii, u, este de fapt singura variabila a acestei functii. Se doreste maximizarea randamentului acestei actionari, ceea ce se poate obtine prin anularea derivatei acestei functii in raport cu variabila u. Se obtine in final:

. (5.35)

Randamentul teoretic maxim este:

. (5.36)

Se observa ca pentru b = 0 s-ar putea obtine un randament teoretic egal cu 1. In realitate insa, transformarile energetice sunt departe de a se realiza cu astfel de valori ale randamentului, fortele de frecare conducand la pierderi insemnate.