Variatia tensiunii in jurul unui punct

Variatia tensiunii in jurul unui punct

Studiul variatiei tensiunilor in jurul unui punct urmareste stabilirea expresiilor tensiunilor , , dintr-un plan oarecare de orientare in functie de tensiunile de pe suprafetele unui sistem ortogonal ales.

Expresiile tensiunilor pentru o suprafata oarecare data se stabileste astfel:

- din insumarea vectoriala a componentelor sale determinate in baza ecuatiilor de echilibru a fortelor ce actioneaza pe un volum elementar;

- din insumarea proiectiilor pe directia a componentelor lui ;

- din calcul vectorial cunoscand si .

Se considera un punct M dintr-un corp solicitat, fig. (III.6).    Se izoleaza in jurul acestuia un volum elementar de forma unui tetraedru dreptunghiular MBCD ale carui suprafete rectangulare de marime dA_x, dA_y, dA_z admit versorii , , ai unui sistem oarecare de axe x, y, z.

Fig.    III.6 Volumul elementar

Planul secant BCD de orientare oarecare si marime este definit in raport cu sistemul de axe adoptat de cosinusii directori l, m, n:

, , . (III.9)

Fig. III.7 Tensiunile de pe fetele tetraedrului elementar

In urma solicitarii, pe fetele tetraedrului se dezvolta tensiunile , , , , in fig. (III.7) fiind reprezentate tensiunile si , impreuna cu componentele lor. Tensiunile de pe fetele tetraedrului studiat de versori , , , pot fi scrise vectorial numai dupa o aceeasi orientare a suprafetei sub forma:

, (III.10)

(III.11)

Considerand ca starea de tensiune este omogena si avand in vedere componentele tensiunilor definite de (III.11), echilibrul fortelor elementare pe fiecare directie se scrie tinand cont de (III.10) si de , sub forma:

(III.12)

Inlocuind in relatia (III.12) expresiile (III.9), dupa simplificari rezulta valoarea componentelor tensiunii pentru o orientare oarecare in raport cu orientarea initiala , , (x, y, z).

(III.13)

Deoarece dimensionarea structurilor metalice se face si prin folosirea calculului matricial, expresia (III.13) mai poate fi scrisa sub forma:

(III. 14)

sau:

, (III. 15)

unde:

. (III. 16)

Relatia (III.14) permite caracterizarea printr-o singura expresie a starii de tensiune din punctul considerat prin intermediul notiunii , numita tensorul tensiunilor.

(III. 17)

Cum si sunt matrice coloana asociate unor vectori, relatia (III.15) arata ca este o matrice asociata unui tensor, simetric de ordinul al II-lea. Avand in vedere relatia de reciprocitate a tensiunilor tangentiale, se constata ca aceasta matrice este simetrica. De asemenea, infinitatea de tensiuni din jurul punctului M este perfect definita, pentru o orientare data, de sase marimi algebrice distincte , , , , , .

De remarcat ca in matricea T_s coloanele reprezinta componentele tensiunii , , de pe suprafetele rectangulare date, definite de versorii , , relatia (III.11). Tensorul tensiunilor, relatia (III. 17), este util in determinarea tensiunii periculoase si a directiei pe care aceasta actioneaza.

Cu ajutorul relatiilor (III. 13) se determina vectorul care reprezinta tensiunea totala. Inseamna ca tensiunea de pe o suprafata de orientare are valoarea:

. (III.18)

Daca se face proiectia componentelor lui p_n (p_nx, p_ny, p_nz) dupa axa normala pe planul secant, rezulta tensiunea :

. (III.19)

Introducand in (III.19) expresiile din (III. 13), se obtine:

. (III.20)

Tensiunea tangentiala , cealalta componenta ortogonala a lui , fig. (III.7), situata in planul secant, se determina cunoscand , astfel:

. (III.21)