Metoda aproximatiilor succesive

Metoda aproximatiilor succesive

Consideram ecuatia

f (x) = 0 (1.4)

unde f : I → R, iar I este un interval al axei reale.

Sa inlocuim ecuatia (1.4) printr-o ecuatie echivalenta de forma

(1.5)

Definitie 1.5.1 Radacinile ecuatiei (1.5) se numesc puncte fixe ale lui φ.

Construim sirul de iteratii

, pentru n = 0, 1, 2, .,    (1.6)

unde x₀ este o valoare aproximativa initiala a radacinii care se cauta.

Teorema 1.5.1 Daca φ : [a, b] → R (a, b R, a < b) si indeplineste urmatoarele conditii:

( α ) oricare ar fi rezulta

( β ) exista q [0, 1) astfel incat oricare ar fi u₁, u₂ [a, b] este indeplinita inegalitatea

atunci avem:

a)      daca sirul generat de relatia (1.6) este convergent;

b)      este unica radacina a ecuatiei (1.4) pe [a, b].

Demonstratie.

a) Pentru doua iteratii consecutive si , tinand cont de relatiile ( α ) si ( β ) avem:

(1.7)

Inegalitatea (1.7) are loc pentru n = 1, 2, . si aplicand-o succesiv pentru aceste valori avem:

, ( n = 1, 2, .). (1.8)

Seria

este absolut convergenta deoarece seria valorilor absolute ale termenilor sai este majorata de o serie geometrica de ratie q < 1, asa cum rezulta din relatia (1.8).

Fie S_n+1 suma partiala de ordin n+1 a seriei de mai sus. Rezulta ca

S_n+1 = x_n

Deoarece seria este convergenta, rezulta ca si sirul sumelor partiale este convergent, adica

Din conditia ( β ) rezulta continuitatea functiei φ pe [a, b]. Deci sunt justificate urmatoarele egalitati:

adica verifica (1.5) si implicit pe (1.4).

Deoarece este un interval inchis, pentru n = 0, 1, 2, ., rezulta ca .

b) Aratam, prin reducere la absurd, ca ecuatia (1.5) are solutie unica.

Fie x₁, x₂ doua solutii distincte ale ecuatiei (1.5). Din relatia ( β ) avem:

Ultima inegalitate este imposibila deoarece iar 1 - q > 0 ( din ( β)).

Observatie 1.5.1 Putem inlocui conditia (β), pentru functia φ derivabila, prin inegalitatea

(acest fapt rezulta din teorema de medie a lui Lagrange).

Observatie 1.5.2 Teorema 1.5.1 este adevarata si pentru .

Observatie 1.5.3 Teorema 1.5.1 ne arata ca sirul dat de egalitatea (1.6) converge oricum am alege pe , adica aceasta metoda este autocorectoare.

Teorema 1.5.2 Fie R φ avand semnificatia data de relatia (1.5). Daca φ satisface conditiile:

(γ) φ este derivabila in fiecare punct

(δ) ecuatia x = φ (x) are o radacina unde iar

(η) pentru orice

(σ)

atunci avem:

a)      toate elementele sirului apartin intervalului (a, b);

b)      sirul este convergent si ;

c)      este unica solutie a ecuatiei (1.5) pe (a, b).

Demonstratie.

a)      Vom demonstra, prin inductie, ca elementele sirului apartin intervalului (a, b). Deoarece , putem calcula si avem, utilizand Teorema lui Lagrange:

adica .

Presupunem ca si ca . Rezulta:

adica pentru n = 1, 2, . .

Observatie 1.5.4 Daca , sirul aproximatiilor succesive este monoton crescator sau descrescator dupa cum .

Daca , atunci sirul este oscilant in jurul radacinii .

Teorema 1.5.3 Evaluarea erorii sirului aproximatiilor succesive.

Daca ne situam in ipotezele Teoremei 1.5.1, atunci avem

Demonstratie. Fie p Є N si avem

Trecand la limita pentru p → ∞, avem:

Teorema 1.5.4 Fie δ Є R, δ > 0 si f : [x₀ -δ, x₀ + δ] → R o functie derivabila pe acest interval. Daca f satisface conditia ca unde

atunci ecuatia f (x) = 0 are o singura radacina in intervalul [x₀ -δ, x₀ + δ].

Demonstratie. Este suficient sa demonstram acest fapt pentru f (x₀) > 0, demonstratia pentru f (x₀) < 0 fiind similara.

Deoarece m ≠ 0 rezulta ca f are acelasi semn pe [x₀ -δ, x₀ + δ], deci f este monotona pe acest interval.

Prin urmare f isi atinge marginea inferioara exacta intr-un punct care este unul din capetele intervalului.

Din teorema lui Lagrange avem:

, unde Є ( x₀ -δ, x₀ + δ ).

Tinand cont de faptul ca

rezulta ca

Deoarece

si

avem

sau .

Distingem doua cazuri: 1) daca , atunci ; 2) daca si din faptul ca rezulta ca exista astfel ca . (Teorema lui Cauchy).

In incheiere dam un procedeu de trecere de la ecuatia 1.4 la ecuatia 1.5 cu respectarea conditiei .

Sa presupunem ca f este strict crescatoare pe (α , β) adica pentru Daca f este strict descrescator, aplicam acelasi procedeu pentru functia - f.

Consideram functia

unde λ Є R este un parametru real ce urmeaza a fi determinat astfel ca

Fie m₁ si M₁ doua constante astfel incat

Avem

sau tinand cont de relatia de mai sus rezulta

Deci putem alege

si

Exemplu 1.5.1 Sa se determine radacina pozitiva a ecuatiei

cu precizia .