Analiza sistemelor liniare

Analiza sistemelor liniare

Pentru calculul si reprezentarea grafica respectiv a raspunsului liber (dintr-o stare initiala data), raspunsului fortat la intrare treapta unitara (numit raspuns indicial), raspunsului fortat la intrare impuls Dirac (numit raspuns pondere) si raspunsului mixt (la o intrare tip scara si dintr-o stare initiala data), exista urmatoarele functii:

[Y,t,X] = initial (sss,X0,t) ;

[Y,t,X] = step (sis,t) ;

[Y,t,X] = impulse (sis,t) ;

[Y,X] = lsim (sss,U,t,X0);

Daca functiile sunt apelate cu argumentele de iesire, atunci se efectueaza evaluarea acestor argumente, fara reprezentarea grafica a raspunsului; in cazul contrar, se efectueaza numai reprezentarea grafica a raspunsului.

Argumentul de intrare sss specifica obiectul sistem (model) asupra caruia opereaza functia respectiva.

Argumentul de intrare t reprezinta vectorul (linie) timp si se defineste printr-o comanda (instructiune) de forma t=t0:dt:t1, unde t0 este valoarea initiala (de regula egala cu 0), dt - pasul de calcul, iar t1 - valoarea finala. La primele trei functii se poate omite argumentul de intrare t, caz in care vectorul t este generat de functia MATLAB respectiva. De asemenea, la functia lsim se poate omite argumentul de intrare X0 ce desemneaza starea initiala, caz in care starea initiala este considerata zero. La sistemele discrete, pasul dt trebuie sa coincida cu perioada de esantionare ("sampling time") T, adica dt=sss.ts.

La sistemele cu o singura intrare, argumentul de intrare U al functiei lsim trebuie dat sub forma unui vector coloana cu acelasi numar de elemente ca vectorul t; la sistemele multivariabile, U are atatea coloane cate intrari are sistemul.

La functiile initial si lsim, argumentele (matricele) de iesire Y si X au un numar de randuri egal cu numarul elementelor vectorului t si un numar de coloane egal cu numarul variabilelor de iesire, respectiv de stare. La functiile step si impulse, argumentele Y si X au, in cazul sistemelor cu mai multe intrari, o structura tridimensionala: (lung. t)(nr. iesiri)(nr.intrari) - pentru Y si (lung. t)(nr. stari)(nr.intrari) - pentru X. Astfel, Y(: , : , j) si X(: , : , j) exprima raspunsul sistemului pentru o treapta unitara aplicata la intrarea j.

n

Pentru realizarea conexiunilor serie, paralel si cu reactie se utilizeaza functiile:

sis = series(sis1,sis2); sau sis=sis1*sis2;

sis = parallel(sis1,sis2); sau sis=sis1+sis2;

sis = feedback(sis1,sis2,sign);

Daca modelele sis1 si sis2 sunt de tipuri diferite, atunci sis este un model in spatiul starilor (de tip "state space").

La functia feedback, daca parametrul sign este omis sau are valoarea -1, atunci reactia este negativa, iar daca are valoarea 1, atunci reactia este pozitiva. Sistemul cu reactie are aceleasi intrari si iesiri ca subsistemul 1. In cazul sistemului cu reactie unitara sau, mai general, in care sistemul S₂ este de tip static, argumentul de intrare sis2 se alege ss(D2) sau chiar D2.

In varianta mai generala

sis = feedback(sis1,sis2,IN1,OUT1,sign);

parametrii de intrare IN1 si OUT1 sunt vectori de indici reprezentand intrarile sistemului S₁ la care sunt conectate toate iesirile sistemului S₂, respectiv iesirile sistemului S₁ care se conecteaza la toate intrarile sistemului S₂. Prin urmare, dimensiunile vectorilor IN1 si OUT1 sunt egale cu numarul de iesiri si, respectiv, de intrari ale sistemului S₂. De exemplu, sa presupunem ca sistemul S₁ are 4 intrari si 4 iesiri, iar sistemul S₂ are 3 intrari si 2 iesiri. Daca iesirile sistemului S₂ sunt conectate la intrarile 3 si 2 ale sistemului S₁, iar iesirile 2, 4 si 3 ale sistemului S₁ sunt conectate la intrarile sistemului S₂, atunci IN1=[3 2] si OUT1=[2 4 3].

n

1) Functia nyquist, apelata sub forma

nyquist(sis);

sau

nyquist(sis,w);

afiseaza diagrama Nyquist a sistemului. Argumentul de intrare w permite explicitarea domeniului de frecventa (pulsatie). Acesta se seteaza sub una din formele

w=;

sau

w=w0:dw:w1;

2) Functia ctrb calculeaza matricea de controlabilitate:

Mc=ctrb(A,B);

sau

Mc=ctrb(sss);

Gradul de necontrolabilitate (numarul starilor necontrolabile) este

gnc=length(A)-rank(Mc);

3) Functia obsv calculeaza matricea de controlabilitate:

Mo=obsf(A,B);

sau

Mo=obsf(sss);

Gradul de neobservabilitate (numarul starilor neobservabile) este

gno=length(A)-rank(Mo);

4) Functia acker permite alocarea polilor prin reactie dupa stare la sistemele controlabile cu o singura intrare. Se apeleaza sub forma:

F=acker(A,B,P)

unde P este vectorul polilor doriti ai sistemului inchis, iar F este vectorul de reactie (U=-FX);

5) Functia place permite alocarea polilor prin reactie dupa stare la sistemele controlabile cu mai multe intrari. Se apeleaza sub forma:

F=place(A,B,P)

unde P este vectorul polilor doriti ai sistemului inchis, iar F este matricea de reactie (avand atatea linii cate intrari are sistemul);

6) Functia estim genereaza modelul estimatorului de stare al unui sistem dat sis, prin precizarea factorului de castig (corectie) L al estimatorului:

F=estim(sis,L);

Matricea L are n linii si p coloane, unde n este dimensiunea sistemului, iar p numarul de iesiri ale sistemului.

7) Functia reg genereaza modelul regulatorului (compensatorului) unui sistem dat, prin precizarea factorilor de castig (corectie) F si L ai reactiei dupa stare si ai estimatorului de stare:

rsis=reg(sis,F,L);

8) Functia pole calculeaza polii unui sistem dat:

p=pole(sis);

9) Functia pade aproximeaza timpul mort cu o functie rationala:

[num,den]=pade(T,N);

T este valoarea timpului mort, iar N este ordinul de aproximatie.

Forma

sis1=pade(sis,N);

genereaza sistemul sis1 din sistemul sis prin inlocuirea timpului mort al acestuia cu aproximatia Pade de ordinul N.

10) Functia Bode calculeaza raspunsul in frecventa al unui sistem dat, mai exact afiseaza graficul amplitudine (in decibeli)-frecventa (rad/s) si faza (in grade)-frecventa (rad/s):

bode(sis);

bode(sis,w);