1. Obiectivele lucrarii

Insusirea unor notiuni teoretice referitoare la domeniile de aplicabilitate si metodele utilizabile pentru determinarea functiilor de regresie.

Initierea in utilizarea unui software dedicat determinarii unor functii de regresie de forme uzuale (programul CurveExpert).

Determinarea practica a formei optime a functiei de regresie, pentru un set de date experimentale provenite din incercari experimentale.

2. Notiuni teoretice

Prin functie de regresie se intelege o expresie matematica, dedusa in urma prelucrarii unor date experimentale, ce aproximeaza (estimeaza) dependentele dintre doua sau mai multe variabile ale unui sistem sau proces. Determinarea unei functii de regresie este necesara atunci cand dependentele dintre variabilele respective nu pot fi stabilite suficient de precis pe cale teoretica.

De exemplu, valoarea fortei de aschiere la strunjire depinde de un complex de variabile dintre care se se pot enumera: caracteristicile mecanice ale materialelor piesei si sculei, parametrii geometrici ai sculei aschietoare, parametrii regimului de aschiere, prezenta si caracteristicile lichidului de racire - ungere etc.

Deducerea pe cale teoretica a unei expresii matematice pentru forta de aschiere ar necesita, printre altele, luarea in considerare a aspectelor referitoare la modul in care aschiile sunt detasate din semifabricat (de exemplu printr-o analiza cu metoda elementului finit) precum si a fenomenelor de frecare la interfetele de contact dintre scula aschietoare si semifabricat, pe de o parte, si dintre scula aschietoare si aschii, pe de alta parte.

Tentativa de exprimare analitica a fenomenelor din timpul aschierii ar conduce la obtinerea solutiei sub forma unui algoritm matematic extrem de complex, incluzand etape iterative si sisteme de ecuatii diferentiale, practic inutilizabil intr-o situatie concreta in care, pentru un anumit material al semifabricatului, o anumita geometrie a sculei aschietoare si un anumit regim de aschiere, se doreste calcularea valorii fortei de aschiere.

Metoda des utilizata in astfel de situatii este aceea de a realiza initial un studiu experimental, masurand forta de aschiere pentru diverse valori ale variabilelor de proces (de exemplu pentru diverse regimuri de lucru si diverse geometrii de scule aschietoare).

Daca se considera ca relatia exacta (teoretica) de dependenta a fortei de aschiere de alte n variabile din proces ar putea fi reprezentata grafic printr-o suprafata intr-un spatiu cu n+1 dimensiuni, atunci valorile deduse experimental ale fortei de aschiere vor putea fi reprezentate in spatiul respectiv prin puncte situate in apropierea acestei suprafete. Punctele obtinute experimental nu vor apartine suprafetei teoretice datorita impreciziei cunoasterii variabilelor din proces (de exemplu datorita erorilor de masurare a geometriei sculei aschietoare) si datorita erorilor de masurare a fortei de aschiere.

Odata punctele experimentale cunoscute, se poate gasi o expresie matematica simpla a unei suprafete in spatiul cu n+1 dimensiuni astfel incat acea suprafata sa aproximeze optim, dupa un anumit criteriu, multimea de puncte experimentale. Expresia astfel dedusa, numita functie de regresie, nu va coincide cu cea teoretica, dar o va aproxima pe aceasta suficient de precis pentru a permite utilizarea sa in aplicatii practice sau chiar ca ipoteza initiala in unele studii teoretice.

Metoda utilizata pentru determinarea functiei de regresie pornind de la valorile coordonatelor punctelor experimentale se alege in functie de numarul n de variabile de proces luate in considerare la efectuarea incercarilor experimentale, precum si in functie de posibilitatile de estimare a tipului de functie teoretica (reala) de dependenta.

Astfel, pentru situatiile in care relatia studiata depinde de o singura variabila de proces si se estimeaza ca forma functiei de regresie ce urmeaza a fi determinata se incadreaza intr-o anumita categorie (Anexa 2), se poate utiliza metoda celor mai mici patrate. Daca relatia este dependenta de mai multe variabile, se poate obtine o functie de regresie de forma polinomiala utilizand metoda suprafetelor de raspuns. Pentru cazurile in care cele doua metode anterioare nu pot fi utilizate se poate aplica, de exemplu, una dintre metodele iterative derivate din algoritmii de rezolvare a sistemelor de ecuatii diferentiale (Anexa 3: Algoritmul Hooke - Jeeves).

Unele dintre metodele mai sus mentionate sunt suficient de evoluate astfel incat sa nu se rezume la determinarea expresiei functiei de regresie ci sa permita si obtinerea de concluzii referitoare la justetea cu care au fost alese variabilele de proces si la suficienta preciziei cu care au fost efectuate masurarile in timpul incercarilor experimentale.

3. Software-ul CurveExpert 1.3

CurveExpert este un software care permite determinarea expresiei unei functii de regresie uni-variabila. Poate utiliza o varietate de tipuri de functii care acopera majoritatea modelelor matematice utilizate in practica. Este dedicat utilizarii in mediul de operare Windows si a fost creat de Daniel Hyams.

3.1. Descriere generala a programului

asa cum se poate observa in figura 2.2: meniul, bara de icon-uri, zona de afisare a datelor, lista functiilor, zona de afisare grafica si zona cu informatii de stare.

La inceputul rularii programului, inainte ca acestuia sa-i fie oferite valorile ce urmeaza a fi prelucrate, zona de afisare a datelor, lista functiilor si zona de afisare grafica nu contin nici o informatie.

Comenzile accesibile prin intermediul meniului sau al barei de icon-uri, precum si semnificatiile informatiilor de stare sunt descrise in Anexa 5, care contine o prezentare mai detaliata a programului.

Zona de afisare a datelor contine coordonatele punctelor experimentale pentru care se doreste determinarea unei functii de regresie. Functia ce va fi determinata va fi de forma f = y(x), ceea ce conduce la concluzia ca daca, de exemplu, se doreste determinarea unei functii de regresie pentru a aproxima dependenta fortei de aschiere de duritatea materialului piesei, valorile duritatii vor trebui introduse in coloana X iar valorile masurate experimental ale fortei de aschiere vor trebui introduse in coloana Y. Introducerea sau modificarea unei valori in aceasta zona pot fi realizate utilizand tehnicile specifice mediului de operare Windows. Punctele experimentale sunt reprezentate in zona de afisare grafica.

In lista functiilor sunt afisate denumirile tuturor tipurilor de functii de regresie cu care utilizatorul a incercat (in sesiunea de lucru curenta) sa aproximeze multimea de puncte experimentale si care au condus la obtinerea unor rezultate valide. Functiile sunt listate in ordinea in care indeplinesc criteriile de evaluare a calitatii aproximarii, aceea care ofera cea mai buna aproximare fiind listata prima. Calitatea aproximarii este dedusa pe baza erorii standard a estimatiei si a coeficientului de corelatie.

Eroarea standard a estimatiei este determinata cu relatia

unde n reprezinta numarul de puncte experimentale, x_i si y_i coordonatele acestora, f forma functiei de regresie studiate iar n_c numarul de coeficienti ai acesteia.

Valoarea coeficientului de corelatie rezulta din expresia

unde

reprezentand media aritmetica a ordonatelor punctelor experimentale y_i iar S_r reprezentand numaratorul fractiei din expresia (2.1).

Semnificatia erorii standard a estimatiei este foarte apropiata de cea a parametrului c² din cadrul testului statistic de apreciere a caracterului normal al distributiei unui esantion de valori experimentale, caracterizand imprastierea punctelor experimentale in jurul graficului functiei de regresie si avand o valoare cu atat mai apropiata de zero cu cat punctele respective se apropie mai mult de grafic.

Coeficientul de corelatie reprezinta o masura a raportului dintre gradul de imprastiere al punctelor experimentale in jurul graficului functiei de regresie si gradul de imprastiere al acelorasi puncte in raport cu media aritmetica a ordonatelor proprii. Valoarea acestui coeficient reprezinta o masura mai exacta a calitatii functiei de regresie obtinute in situatiile in care abaterea standard a valorilor experimentale este relativ mare. Se considera ca o functie de regresie aproximeaza cu atat mai bine setul de puncte experimentale cu cat valoarea coeficientului de corelatie este mai apropiata de unitate.

Selectarea unei functii din lista va conduce la vizualizarea in zona de afisare grafica a modului in care graficul functiei trece printre punctele experimentale. Efectuarea unui dublu-click pe denumirea unei functii din lista va conduce la deschiderea unei ferestre cu informatii despre functia de regresie respectiva.

Numai rareori coordonatele punctelor experimentale sunt introduse manual de catre utilizator in zona de afisare a datelor. In situatia in care valorile experimentale exista intr-un fisier de date, acesta poate fi citit de catre programul CurveExpert prin apelarea comenzii Open din submeniul File al meniului ferestrei principale a programului sau prin apasarea butonului corespunzator din bara de icon-uri. Actiunile de mai sus conduc la deschiderea unei ferestre pentru selectarea fisierului cu date, formatul si comenzile acesteia fiind specifice mediului de operare Windows (figura 2.3). Fisierul trebuie sa contina caractere ASCII si sa utilizeze caracterul Tab pentru separarea a doua valori de pe aceeasi linie.

Selectarea unui fisier cu caracteristicile de mai sus este urmata de deschiderea unei ferestre continand informatii despre acesta (figura 2.4).

Daca fisierul cu date contine mai multe coloane, utilizatorul va trebui sa le specifice pe cele care contin coordonatele punctelor experimentale. Cele doua coloane trebuie sa fie succesive iar coordonatele X sa se afle in prima dintre acestea.

3.2. Modul de lucru cu programul CurveExpert

Dupa introducerea coordonatelor punctelor experimentale, manual sau prin citirea dintr-un fisier de date, utilizatorul poate efectua o serie de prelucrari preliminare asupra acestora (vezi Anexa 5, subcapitolul 1.3. Data) in scopul prevenirii aparitiei unor erori de calcul sau al eliminarii influentelor unor erori de reglare ale aparatelor de masurare cu care datele au fost obtinute (origine decalata). Se poate de asemenea opta pentru studierea numai a unui anumit subset din multimea de valori experimentale, prin eliminarea punctelor ale caror coordonate nu se incadreaza intre anumite valori. Daca se intentioneaza obtinerea unor puncte suplimentare prin interpolare, in aceasta etapa utilizatorul va trebui sa efectueze sortarea datelor experimentale in functie de o anumita coordonata.

Programul dispune de o serie de parametri de configurare ce stabilesc un compromis intre precizia cu care sunt obtinute expresiile anumitor functii de regresie si timpul necesar pentru realizarea calculelor respective. In anumite situatii, in care unul dintre cei doi indicatori de performanta ai programului (precizia si viteza) este considerat a avea valori dezavantajoase, utilizatorul poate modifica valoarea implicita a parametrilor de configurare corespunzatori (vezi Anexa 5, subcapitolul 1.6. Tools).

Daca se urmareste studierea unui anumit tip cunoscut de functie de regresie, abordabil de catre program, se poate opta pentru realizarea calculelor corespunzatoare doar pentru tipul respectiv (vezi Anexa 5, subcapitolul 1.5. Apply Fit).

Programul afiseaza graficul functiei de regresie de tipul selectat care aproximeaza optim setul de puncte experimentale (figura 2.5) iar utilizatorul are la dispozitie (prin apasarea butonului Info) o serie de optiuni (figura 2.6) privind:

         afisarea expresiei si coeficientilor functiei de regresie, a unor rezultate intermediare ale rularii si a unor indicatori de optimalitate;

         efectuarea de calcule diferentiale, integrale si de interpolare cu utilizarea expresiei determinate;

         modificarea formatului de reprezentare grafica;

         salvarea intr-un fisier separat a coordonatelor unei multimi de puncte calculate de pe graficul functiei de regresie;

         copierea in memoria tampon (clipboard) a oricareia dintre informatiile grafice sau numerice de mai sus.

Daca nu se poate estima tipul de functie de regresie care ar aproxima suficient de precis setul de puncte experimentale, utilizatorul poate dicta efectuarea calculelor necesare pentru toate tipurile cunoscute de catre program (vezi Anexa 5, subcapitolul 1.6. Tools). Rezultatele sunt sintetizate in lista de functii, conform celor prezentate in subcapitolul 3.1, de unde utilizatorul poate alege pentru vizualizare graficul si informatiile numerice corespunzatoare unuia sau mai multor tipuri de functii de regresie studiate. Din analiza acestor informatii se poate decide daca unul dintre cele mai adecvate tipuri gasite de catre program satisface cerintele utilizatorului referitoare la aproximarea setului de puncte experimentale.

Daca nici unul dintre tipurile de functii de regresie cunoscute de catre program nu este considerat suficient de adecvat, utilizatorul poate defini un tip propriu de functie (vezi Anexa 5, subcapitolul 1.5.3. User Model), complet nou sau obtinut prin ajustarea unuia existent, si poate comanda determinarea pentru acest tip a valorilor parametrilor din expresia corespunzatoare.

4. Enuntul problemei

Pentru setul de puncte experimentale din Anexa 6, se cere:

         Sa se indice forma functiei de regresie care aproximeaza cel mai veridic setul de puncte experimentale, specificand valorile abaterii standard si coeficientului de corelatie;

         Sa se compare rezultatele obtinute la punctul anterior cu cele pentru o functie de regresie Gauss, precizand de asemenea valorile indicatorilor de adecvanta mentionati anterior.