Aplicatii ale teoremei convolutiei - Calculul raspunsului unui circuit cu stare initiala nula

Aplicatii ale teoremei convolutiei

1. Calculul raspunsului unui circuit cu stare initiala nula

Asa cum s-a aratat in paragraful 7.2. produsul de convolutie in domeniul timpului este definit astfel si are transformata Laplace

.

Se considera ca la intrarea circuitului se aplica marimea x_i(t) si se urmareste calculul minimii de iesire x_j(t). S-a aratatca functia de transfer este unde h(t) este raspunsul circuitului in stare initiala nula la impuls Dirac unitar. Deci utilizand integrala de convolutie rezulta adica raspunsul la stare initiala nula este convolutia dintre h(t) si marimea de intrare.

2.Memoria circuitului

Raspunsul unui circuit liniar exponential stabil este format din raspunsul la conditiile initiale (la excitatie nula) x_jo(t) si raspunsul la excitatie (la stare initiala nula) x_je(t). x_jo(t) este de forma unde s_k sunt frecventele naturale, m_k este ordinul de multiplicitate al lui s_k sieste un polinom de timp de gradul m_k-1. Deoarece am aratat ca deci dupa un timp mai mare decat _max ( este valoarea maxima a ) se poate considera . Pe de alta parte

unde h(t-t) este o functie original. In consecinta h(t-)=0 pentru t-<0 si h (t-) scade exponential cand (t- . Deci, exista o valoare _m astfel incat in afara intervalului t-_m, t produsul      h(t-)x_i() este neglijabil, deci valorile lui x_i() dinainte de momentul t-_m nu influen-

teaza pe x_je(t). In concluzie raspunsul circuitului la momentul t este influentat numai de ceea ce se intampla in intervalul (t-t_m, t) unde t_m=max(_m, 5_max) si deci memoria circuitului este practic limitata la acest interval de timp.

3. Raspunsul in regim permanent la excitatie sinusoidala

Fie un circuit liniar invariant in timp si exponential stabil excitat cu o singura sursa independenta sinusoidala x_i(t) conectata in circuit la t=0. Raspunsul in regim permanent se defineste ca limita raspunsului cand t . Se considera ca x_i(t)=X_icost=ReX_ie^jt. Raspunsul complet este suma dintre raspunsul la excitatie nula x_jo(t) si raspunsul la stare initiala nula x_je(t). Raspunsul la excitatie nula este, asa cum s-a aratat

Calculam x_ji(t) cu teorema convolutiei

Integrala pe [0, t] se descompune intr-o suma de integrale pe [0, ) si [t,

Primul termen al acestei sume se poate scrie . Daca

deci acest termen corespunde unui raspuns sinusoidal.

Deoarece

Deci, cand t raspunsul circuitului tinde catre o functie sinusoidala de pulsatie

Observatii:

i) Daca sunt mai multe surse sinusoidale de aceeasi pulsatie se poate aplica teorema superpozitiei (circuitul fiind liniar) si rezulta ca raspunsul complet pentru t este sinusoidal. Acest raspuns in regim permanent (pentru t) nu depinde de starea initiala a circuitului. In acest fel se justifica calculul in complex (vezi capitolul 4) care are drept rezultat numai raspunsul in regim permanent.

ii) Daca circuitul are o singura frecventa naturala cu Re s_k>0 demonstratia nu este valabila si nu se obtine regimul permanent sinusoidal.

iii) Nu s-a facut nici o presupunere asupra formei lui h(t), rezultatul fiind valabil pentru clasa mai larga a circuitelor cu frecvente naturale numai in semiplanul stang (incluzand, de exemplu, circuitele cu parametri distribuiti).