TEORIA ERORILOR DE MASURA

Masurarea unei marimi fizice inseamna a determina de cate ori se cuprinde in ea o marime fizica de acelasi fel, aleasa ca unitate de masura. Masurarea poate fi directa sau indirecta. De exemplu, distanta dintre doua obiecte ar putea fi masurata in mod direct cu rigla, dar ar putea fi determinata si indirect cunoscand viteza luminii si masurand timpul in care o raza de lumina parcurge distanta dintre ele. In functie de cazul concret se alege una dintre cele doua metode de masura.

Operatia de masurare este insotita de erori. Erorile de masura pot fi impartite in doua categorii: sistematice si intamplatoare.

Erorile sistematice pot avea la origine mai multe cauze : defectele aparatelor de masura (de exemplu, ora afisata de un ceas care nu merge exact), utilizarea unui principiu de masura gresit (de exemplu, aprecierea cantitatii de lichid dintr-un vas tronconic pe baza inaltimii acestuia) sau greselilor facute de observator (de exemplu, plasarea sa incorecta fata de aparatul de masura, ceea ce conduce la citirea incorecta a indicatiilor aparatului). Aceste erori pot fi inlaturate doar prin repararea aparatului defect, regandirea principiului masuratorii sau inlaturarea greselilor de observare.

Erorile intamplatoare se datoreaza in special lipsei de precizie a citirilor indicatiilor instrumentelor de masura si constituie un factor legat exclusiv de persoana experimentatorului. In acest cazuri, rezultatul unei masuratori este fie mai mare, fie mai mic in comparatie cu valoarea corecta. Caracterul statistic al erorilor intamplatoare face ca la repetarea de un mare numar de ori a determinarilor numarul valorilor mai mari decat cele reale sa egaleze practic numarul valorilor mai mici. Rezulta de aici ca erorile intamplatoare pot fi compensate prin repetarea de un mare numar de ori a determinarilor si medierea rezultatelor obtinute. Printre erorile intamplatoare intalnim si erorile grosolane, care se pot distinge de celelalte prin aceea ca ofera valori complet diferite de sirul celorlalte valori experimentale. Erorile grosolane sunt inlaturate prin refacerea masuratorii sau ignorarea rezultatului aberant.

Valoarea medie. Inerent, la masurarea directa a oricarei marimi fizice se face o eroare de masura. Repetand determinarile de un numar mare de ori, rezultatele se distribuie simetric in jurul valorii adevarate. De aceea, prin medierea aritmetica a datelor obtinute, mai ales daca numarul determinarilor este foarte mare, exista posibilitatea ca erorile care supraestimeaza valoarea adevarata sa se compenseze cu acelea care o subestimeaza. Acesta este motivul pentru care, in urma sirului de masuratori, valoarea acceptata ca rezultat final este media aritmetica a rezultatelor tuturor masuratorilor, adica valoarea medie.

Abaterea patratica medie. Faptul ca valoarea medie aproximeaza cel mai bine valoarea adevarata a marimii fizice pe care o masuram, nu inseamna ca stim si cat de siguri putem fi de precizia masuratorii. Precizia este legata de intervalul dintre cea mai mica valoarea obtinuta prin masurare si cea mai mare valoare. Cu cat acest interval este mai mare in comparatie cu valoarea medie a marimii masurate, cu atat precizia masuratorii este mai mica si increderea in privinta rezultatului obtinut este ea mai mica. Imaginati-va ca ati da examen din aceeasi materie cu 10 profesori diferiti. Daca la toate examenele ati obtine note intre 5 si 7, ati putea fi destul de siguri ca stiti de nota 6. Dar daca gama notelor obtinute ar fi intre 2 si 10, media fiind tot 6, ati mai avea siguranta ca ati fost examinat corect ? De aceea, alaturi de valoarea medie, trebuie prezentata si o valoare care sa exprime precizia masuratorii. In cale mai multe cazuri aceasta valoare complementara este abaterea patratica medie, a carei formula si a carei semnificatie va vor fi prezentate in paginile urmatoare.

Eroarea absoluta reprezinta intervalul in care este cel mai probabil sa se afle valoarea marimii masurate. Eroarea relativa este raportul dintre eroarea absoluta si valoarea medie a marimii masurate. De exemplu, daca cumparati o punga de zahar pe care scrie "Gramaj : 1000 g 10 g" eroarea absoluta de masura este de 10 g, iar cea relativa de 1%.

Masurarea indirecta a unei marimi fizice se face atunci cand nu este posibila masurarea ei directa. Se utilizeaza o lege a fizicii care cuprinde atat marimea fizica pe care dorim s-o masuram indirect, cat si alte marimi fizice a caror masurare directa este posibila. Valoarea pe care o cautam se exprima in virtutea legii folosite, in functie de valorile masurate ale celorlalte marimi fizice. Eroarea finala de masurare este determinata cunoscand erorile facute la masurarea fiecareia dintre marimile fizice implicate.

Teoria erorilor intamplatoare

Sa presupunem ca trebuie masurata o marime fizica oarecare X. Pentru aceasta se face un sir de determinari care genereaza valorile : x₁, x₂,. x_N. Aceste valori difera intre ele si este putin probabil ca macar una dintre ele sa reprezinte valoarea exacta a marimii cautate.

Cand toate masuratorile au fost efectuate in aceleasi conditii de precizie experimentala se poate presupune ca abaterile x_k = (x_k - X) sunt distribuite statistic in jurul lui zero. Daca numarul determinarilor este foarte mare, N >> 1, atunci probabilitatea de aparitie a unei abateri x_k este cu atat mai mica cu cat valoarea abaterii este mai mare. Mai mult, valori egale ale abaterilor, dar opuse ca semn, sunt egal probabile. Rezulta de aici ca functia de distributie a abaterilor depinde doar de modulul abaterii sau de patratul ei :

f = f(x

Impartind domeniul de valori pe care le ia abaterea in intervale Dx egale intre ele si reprezentand numarul valorilor experimentale DN din fiecare interval in functie de abaterea x corespunzatoare, obtinem graficul alaturat. Se observa ca numarul cel mai mare de determinari furnizeaza valori ale abaterii cuprinse in jurul lui zero, in intervalul - x_max/2 si x_max/2. Cand numarul determinarilor este extrem de mare, N , probabilitatea ca abaterea sa se gaseasca in intervalul de valori (x x + dx) se poate scrie ca o functie continua :

Un asemenea tip de distribuire a abaterilor se numeste distributia normala a lui Gauss sau "clopotul" lui Gauss. Constanta reala si pozitiva a este o marime care caracterizeaza precizia determinarilor (pentru valori mici ale lui a clopotul lui Gauss este mai larg, ceea ce inseamna ca exista multe valori ale lui x care se abat semnificativ de la valoarea nula). Aria de sub clopot reprezinta probabilitatea unei valori a lui x cuprinsa intre - si + , adica evenimentul cert. Prin urmare, marimea ariei este unitara.

Pentru un numar infinit de determinari, valoarea medie <x> a abaterii x se poate calcula cu relatia :

Abaterea este exprimata in functie de valorile masurate experimental si de valoarea reala a marimii fizice masurate :

x_k = (x_k - X

In cazul unui numar finit de determinari, media valorilor x_k se calculeaza ca medie aritmetica a valorilor obtinute :

Se obtine :

Atunci, in urma unui mare numar N de determinari (cand <x> <x> 0), rezulta :

X <x>

Cel mai probabil, valoarea experimentala cautata este egala cu media aritmetica a valorilor determinate prin masurare :

X =

Acest rezultat arata ca datorita caracterului statistic al erorilor de masura exista tendinta ca erorile prin adaus sa compenseze erorile prin lipsa daca sirul de determinari este suficient de lung.

Sa calculam acum media patratelor abaterilor. Cand N putem scrie :

Pe de alta parte, pentru un numar finit de masuratori, sirul datelor experimentale furnizeaza valoarea :

Putem scrie si :

Din cele doua relatii rezulta :

Deci :

Cand N are valori suficient de mari, se poate considera ca valorile celor doua medii ale patratelor abaterilor sunt practic egale : <x > <x > , rezultand :

Mai putem observa ca :

Dar :

Avand in vedere ca rezultatele determinarilor sunt distribuite simetric in jurul valorii medii (ceea ce inseamna ca practic pentru orice produs pozitiv x_ix_j vom intalni un produs negativ, egal in modul, x_kx_l) singurii care nu se vor reduce sunt termenii care reprezinta patratele factorilor x_i si putem scrie :

Relatia devine :

Deoarece pentru N >> 1 putem face aproximatia : , rezulta :

Valorile au o semnificatie deosebita pentru functia de distributie f(x), reprezentand punctele ei de inflexiune. Intre aceste doua coordonate este cuprinsa aproape 75% din aria clopotului, adica circa trei sferturi din valorile masuratorilor. Din acest motiv, cantitatea poate fi considerata ca un criteriu de stabilire a preciziei masuratorii, purtand numele de eroare (sau abatere) patratica medie si fiind notata cu s. Eroarea patratica medie are formula :

In rezumat :

Valoarea cea mai probabila care este atribuita unei marimi fizice ca urmare a unui sir de masuratori este media aritmetica a valorilor obtinute prin masurare :

Intervalul in care este cuprinsa valoarea reala a marimii masurate este, cu o probabilitate de 75%, egal cu :

Pentru ca aceste afirmatii sa fie adevarate este necesar ca numarul determinarilor sa fie suficient de mare, adica N

Rezultatele acestei teorii sunt implementate in programe dupa care ruleaza chiar si simplele calculatoare de buzunar (mai precis, acelea care au implementate functii statistice). Cu atat mai mult, teoria erorilor intamplatoare este integrata in aplicatiile complexe cum ar fi Excel sau Mathcad.

Uneori, atunci cand numarul determinarilor experimentale este prea mic pentru a mai putea utiliza considerentele statistice, evaluarea preciziei masuratorii este prezentata sub forma erorii aparente medii, d, calculata ca medie aritmetica a modulelor abaterilor fata de valoarea medie :

Si in acest caz cea mai probabila valoare a marimii masurate este data de media aritmetica a valorilor experimentale :

iar rezultatul este prezentat sub forma :

Erori absolute, erori relative

Diferentele dintre valorile individuale ale unei masuratori si valoarea medie, adica abaterile, se mai numesc si erori absolute. De asemenea eroarea patratica medie sau eroarea aparenta medie sunt tot erori absolute. Erorile absolute ofera informatie despre precizia masuratorii, dar aceasta informatie este incompleta. Sa spunem ca am masurat o lungime cu o eroare absoluta de 1 mm. Este aceasta o eroare mare sau o eroare mica ? Raspunsul la aceasta intrebare depinde si de valoarea medie a masuratorii. Daca lungimea masurata a fost de 1 m, atunci eroarea este mica, dar daca lungimea masurata era de 5 mm, eroarea era foarte mare. Pentru a caracteriza precizia unei masuratori si din acest punct de vedere se foloseste marimea numita eroare relativa. Eroarea relativa se exprima in procente si reprezinta raportul dintre eroarea absoluta si valoarea medie a masuratorii :

Erorile relative sub 5% pot fi considerate acceptabile in conditiile experimentale pe care le ofera laboratorul de fizica al facultatii.

In unele cazuri erorile de masurare se datoreaza chiar instrumentelor de masura utilizate. Daca am dori sa masuram latimea unei foi de hartie cu o rigla obisnuita, am constata ca aproape niciodata marginea acesteia nu se aliniaza perfect unei diviziuni a riglei. De aceea rezultatul pe care il oferim este aproximativ, urmand a ne decide daca el este, de exemplu, 32,1 cm sau 32,2 cm. Luand aceasta decizie, acceptam o eroare absoluta de masura egala cu jumatatea celei mai mici diviziuni a scalei aparatului de masura (in cazul relatat, de 0,5 mm). Eroarea relativa a unei asemenea determinari este data de raportul dintre valoarea care corespunde jumatatii intervalului dintre doua diviziuni consecutive si valoarea masurata.

Se spune ca rigla este un instrument avand o anumita clasa de precizie. Aceasta clasa de precizie nu este legata doar de distantele dintre doua diviziuni consecutive ale riglei ci si de precizia cu care au fost trasate acestea, sau chiar temperatura la care lucram. Orice aparat de masura are o anumita clasa de precizie, iar micsorarea erorilor relative care apar la masurare impune folosirea unui aparat de masura avand o clasa de precizie corespunzatoare.

Calculul erorilor la o masurare indirecta

In unele cazuri, marimile fizice nu se masoara direct, ci indirect, utilizand o anumita lege a fizicii si masurand celelalte marimi fizice implicate. De exemplu, utilizand legea perioadei unui pendul gravitational : am putea determina acceleratia gravitationala dupa relatia : . In acest caz, este suficienta masurarea lungimii si perioadei pendulului, pentru a gasi prin calcul valoarea acceleratiei gravitationale. Problema pe care ne-o punem este aceea a preciziei masuratorii. Mai exact, cunoscand preciziile cu care s-au determinat lungimea si perioada, sa estimam precizia masurarii indirecte a acceleratiei gravitationale.

Pentru a estima precizia unei masuratori indirecte, vom presupune mai intai ca legea utilizata este de forma :

Diferentiala acestei functii este :

In cazul unei masurari destul de precise erorile de masura absolute dx_k sunt mici, si pot asimilate diferentialelor :

Eroarea relativa la determinarea marimii y va fi :

Putem pune in evidenta erorile relative la masurarea marimilor x₁, x₂,. astfel :

Termenii acestei sume pot lua atat valori pozitive, cat si valori negative. Pe de alta parte erorile de masurare pot fi facute atat in exces, cat si in lipsa. In cel mai defavorabil caz toti termenii acestei sume vor fi pozitivi.

Eroarea calculata corespunde intotdeauna celui mai defavorabil caz, astfel incat expresia finala pe care o obtinem este :

Rezulta ca : eroarea relativa la o masurare indirecta se poate calcula ca o suma ponderata a erorilor relative de masura ale marimilor implicate. Factorii ponderatori pot fi calculati doar cunoscand forma explicita a legii utilizate.

De exemplu, in cazul pendulului gravitational :

pentru T = 1 s, dT = 0,01 s T e_T

pentru l = 500 mm, dl = 1 mm T e_l

Exista si cazuri ceva mai complicate, in care marimea pe care dorim s-o masuram indirect se poate exprima ca o suma de functii de mai multe variabile :

Eroarea absoluta este :

Eroarea relativa se calculeaza cu relatia :

Masurare directa : valoare medie, abaterea patratica medie

Fie sirul de date :

Calculul direct al mediei este :

Calculul direct al abaterii patratice medii este :

Eroarea relativa la determinarea lui x este :

Prezentarea rezultatului final se face cu un numar de zecimale care reflecta eroarea. In cazul nostru, eroarea de 0,0644 ne arata ca a doua zecimala a mediei este deja imprecisa, astfel incat urmatoarele zecimale nu mai au relevanta. De aceea, prezentarea finala a rezultatului trebuie sa fie : x = 2,64

In acelasi exemplu, eroarea aparenta medie ar fi fost :

Daca doriti sa prelucrati aceleasi date utilizand calculatorul stiintific din Windows, procedati astfel :

Deschideti programul (link-ul se poate gasi in folderul "Accesorii")

Din meniul "Vizualizare" alegeti varianta "Stiintific"

Se va afisa pe ecran ceea ce vedeti in imaginea alaturata

Apasati butonul "Sta"

Veti observa ca se activeaza butoanele "Ave", "Sum", "s", "Dat" si se activeaza o fereastra numita "Caseta de statistici", careia puteti sa nu-i dati mare importanta, doar sa nu o inchideti

Introduceti fiecare valoare a lui x, avand grija sa apasati dupa fiecare noua data butonul "Dat"

Dupa ce ati terminat introducerea datelor, apasand butonul "Ave" calculatorul afiseaza valoarea medie si apasand butonul "s" obtineti pe afisaj valoarea abaterii patratice medii.

Inchizand caseta statistica care este prezenta pe ecran alaturi de calculator, iesiti din modul de lucru cu functii statistice.

Si programul "Excel" poate fi folosit pentru a calcula valorile medii si abaterile patratice medii. Pentru inceput va trebui sa deschideti programul si sa introduceti datele experimentale fie pe o linie, fie pe o coloana.

Apoi veti selectiona o celula, sa spunem A2, si veti deschide meniul "Insert", de unde veti alege optiunea "Function" :

Se va deschide o fereastra de forma urmatoare :

Pentru a calcula media si abaterea patratica medie trebuie sa folositi functiile "AVERAGE" si "STDEV". In figura, este deja selectata functia "AVERAGE" si va este indicata si functia "STDEV". Dupa ce ati selectat functia dorita, apasati butonul "OK".

Se va deschide fereastra "Function Arguments". Caseta "Number 1" este selectata automat. In acest moment, este suficient ca tinand apasat butonul stang al mouse-ului sa selectati toate numerele a caror medie doriti sa o obtineti (pe ecran, casutele selectate sunt inconjurate de un chenar format dintr-o linie intrerupta miscatoare) :

In casuta A2 scrie acum "AVERAGE(A1:J1)" iar in caseta "Number 1" apare plaja de casute selectate : A1:J1. Deja fereastra "Function Arguments" va indica valoarea medie in dreptul textului "Formula result =". Pentru a incheia, nu va mai ramane decat sa apasati butonul "OK", iar rezultatul va fi inscris in casuta A2.

Pentru a obtine si abaterea patratica medie, va trebui sa selectati o alta casuta, de exemplu A3, si sa repetati operatiile, folosind de aceasta data functia "STDEV".

Masurare indirecta : eroarea masurarii

Sa ne imaginam ca doriti sa masurati rezistenta interioara a unei surse de curent continuu (o baterie sau un acumulator). O metoda (nu foarte exacta, dar simpla) ar fi sa utilizati circuitul electric alaturat. Legea a doua a lui Kirchhoff arata ca intr-un asemenea circuit tensiunea electromotoare a sursei este proportionala cu intensitatea curentului electric si cu suma dintre rezistenta interioara a sursei si rezistenta totala a circuitului exterior :

Daca ne situam in ipoteza ca ampermetrul si voltmetrul din circuit sunt ideale (adica simpla lor prezenta in circuit nu introduce erori de masura suplimentare), iar firele de legatura au rezistenta neglijabila, ajungem la concluzia ca rezistenta circuitului exterior apartine in intregime reostatului. Prin deplasarea cursorului reostatului, putem face sa varieze rezistenta acestuia. Astfel, pentru doua pozitii ale cursorului, putem scrie :

Eliminand tensiunea electromotoare E intre cele doua ecuatii, obtinem :

Conform legii lui Ohm, produsul IR este chiar tensiunea U la bornele rezistorului. Aceasta tensiune este masurata de voltmetrul inserat in circuit. Obtinem in final :

Aparatele de masura din circuit ne permit sa aflam valorile intensitatilor si tensiunilor in cele doua cazuri, iar prin calcul putem determina indirect valoarea rezistentei interioare. Sa presupunem ca am obtinut urmatoarele valori :

U 0,01) V, U₂ = (1,4 0,01) V,

I 5) mA, I₂ = (135 5) mA

Rezistenta interioara are valoarea :

Ce eroare de masura s-a facut ? Daca diferentiem expresia lui r obtinem :

Eroarea absoluta dr se calculeaza utilizand modulele acestor cantitati :

Eroarea relativa este :

Obtinem :

In aceste conditii experimentale, nu putem pretinde ca am masurat rezistenta interioara a sursei ! Eroarea este atat de mare incat valoarea de 6,6 W nu poate fi sustinuta experimental. Daca precizia instrumentelor de masura ar fi fost de zece ori mai mare (0,01 V 0,001 V, 5 mA 0,5 mA) eroarea era doar de 8,6%, iar rezultatul de 6,6 W credibil.