CAZURI PARTICULARE ALE MISCARII IN CAMP CENTRAL

CAZURI PARTICULARE ALE MISCARII IN CAMP CENTRAL

1 Miscarea in campul fortelor centrale invers proportionale cu patratul distantei. Problema lui Kepler

In acest paragraf vom considera numai fortele centrale

      (1)

unde poate fi negativ (= - k) - deci forte de atractie - sau pozitiv (=k) - deci forte de respingere - (k>0)

Euatia traiectoriei se poate obtine direct prin efectuarea integralei care intervine in ecuatia (1.25):

      (2)

sau rezolvand ecuatia lui Binet. Integrala (2) se calculeaza imediat efectuand schimbarea de variabila si obtinand

      (2')

care se pot transcrie sub forma

      (2'')

Ultima integrala, daca notam , este integrala bine cunoscuta

      (3)

avand

      (4)

Deci

-1 daca

(5)

1 daca

Convenind sa alegem ca semiaxa C_x semidreapta definita de centrul fortelor C si un punct particular al traiectoriei aflat la distanta minima r_min de centrul fortelor, depependenta unghiului de variabila r va fi data, in virtutea relatiilor (1.24) si (5), de

.      (6)

de unde rezulta si relatia inversa

      (7)

sau explicit,

pentru s<0 (forte de atractie)

=      (7')

pentru s>0 (forte de respingere).

Acelasi rezultat il obtinem rezolvand ecuatia Binet (1.33) care in cazul de fata este

(1.33')

Aceasta este o ecuatie diferentiala de ordinul doi cu coeficienti constanti, neomogena, a carei solutie generala este suma dintre solutia generala a ecuatiei omogene corespunzatoare si o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Astfel, solutia generala a ecuatiei (1.33') poate fi scrisa sub forma

.      (8)

Cu aceeasi alegre a axei C_x ca in cazul stabilirii solutiei (7) vom avea

      (8')

si cerand ca

rezulta

      (8'')

expresia lui in functie de parametrii dati (m,l,E,) obtinandu-se din ecuatia (1.27') care, in cazul tratat aici, devine

      (9)

avand radacinile

      (10)

Oricare ar fi semnul lui , u_max este

      (10')

cu ,p definiti prin relatiile (4) si s din ecuatia (5). Din ecuatiile (8'') si (10') obtinem astfel si folosind acest rezultat in relatia (8') rezulta solutia (7).

Ecuatia (7) este forma cunoscuta a ecuatiei conicelor in coordonate polare. Parametrul se numeste concentricitate si in functie de valorile acestuia se obtin cele patru conice descrise de ecuatia (7) : elipsa (pentru 0<<1), cercul (pentru =0), hiperbola (pentru >1) si parabola (pentru =1. Pentru a stabili acesta rezultate si a preciza curbele corespunzatoare diferitelor conditii vom scrie ecuatia (7) sub forma obisnuita in coordonate carteziene. Cu prcizarea facuta privind alegerea axelor x,y       scriem ecuatia (7) sub forma si ridicand la patrat ambii membri obtinem, dupa regruparea termenilor,

      (11')

In cazurile in care ultima ecuatie poate fi scrisa astfel

      (12)

care, prin schimbarea de coordonate

(12')

se reduce la forma canonica

.      (13)

In noul sistem de axe, a carui origine o notam cu O, coordonatele centrului C al fortelor vor fi

.      (14)

In cazul =1 ecuatia (11) revine la

      (11')

care prin transformarea de coordonate

      (12'')

devine

      (13')

iar coordonatele centrului C al fortelor in noul sistem de axe,

Din definitiile (4) se vede ca pentru avem si in functie de valorile energiei E,

Din conditia (1.27) si ecuatia (9) cu radacinile (10) asa cum am constatat si din reprezentarea grafica a functiei U_ef(r),rezulta urmatoarele:

-In cazul (15,a), E<0, () care este posibil numai daca (forte de atractie) ecuatia (9) are doua radacini pozitive distincte u_min=1/r_max si u_max=1/r_min ,conditia (1.27) fiind verificata numai pentru (traiectorie finita).

-In cazul (15,b), E>0, () ecuatia (9) admite numai o radacina pozitiva u=u_max=1/r_min si conditia (1.27) este verificata numai pentru ; aceasta situatie este posibila indiferent de sensul lui adica atat pentru forte de atractie cat si pentru forte de respingere (miscarea este nemarginita).

-Cazul (15,c), E=0, , nu este posibil decat pentru (forte de atractie). In acest caz conditia (1.27) devine care se verifica pentru adica (este de asemenea cazul unei miscarii nemarginite).

Sa analizam, in continuare, traiectoriile in diferitele situatii definite in relatiile (15) in functie de valorile parametrului .

a) . Asa cum am vazut, acest caz este posibil numai daca fortele sunt de atractie (),miscarea fiind caracterizata prin traiectorie finita. Ecuatia (13) a traiectoriei va fi

unde introducem notatiile si rezultatele mai generale

utile si pentru cazurile urmatoare.