Probleme de cinematica vibratiilor

APLICATII

Probleme de cinematica vibratiilor

1 Probleme rezolvate

Un punct executa oscilatii armonice pe axa Ox dupa legea: (A si w necunoscute).

Sa se determine amplitudinea A si perioada T a miscarii, daca pentru:

avem:

avem:

Rezolvare :

Legea miscarii si legea vitezei punctului sunt:

-eliminand timpul intre aceste ecuatii, obtinem pentru orice moment urmatoarea relatie intre x si v:

- inlocuind valorile cunoscute ale lui x si v se obtine:

O miscare armonica este descrisa de legea: . In momentul initial avem: si .

Se cere:

a) Sa se determine amplitudinea x₀ si faza initiala y

b) Stiind ca miscarea este rezultanta a doua componente armonice paralele dintre care una este: , sa se determine componenta a doua.

Rezolvare

a) Ecuatiile de determinare ale lui x₀ si y sunt:

b) Componenta a doua a miscarii armonice date este de forma:

unde

Pentru a determina amplitudinea x₂₀ si defazajul p vom folosi formulele:

(relatii pentru compuneri de vibratii armonice paralele de aceeasi pulsatie)

Inlocuind in datele problemei noastre:

Observatii.

dar:

Pentru determinarea defazajului :

Deci componenta a doua a miscarii armonice date este:

Perioada si frecventa vor fi:

Legea miscarii rectilinii a unui mobil este , un alt mobil se misca dupa legea:

SA se determine amplitudinea si defazajul miscarii mobilului al doilea fata de miscrea primului, cu ajutorul reprezentarii vectoriale si a numerelor complexe.

Rezolvare

a) reprezentarea vectoriala:

este miscarea cu legea : x₁=x₀ cos wt , de marime x₀ si faza wt.

este miscarea x₂ , rezultanta a trei vectori:

are marimea si unghiul

are marimea si unghiul

Fig. 1.14

b) numere complexe

-prima miscare:

-a doua miscare:

dar: z₂ se mai poate scrie

deci

Tija A din figura este pusa in miscare de o cama ce se roteste cu viteza unghiulara constanta w. Profilul camei este astfel realizat, incat legea miscarii tijei este data de functia reprezentata grafic. SA se dezvolte aceasta functie in serie Fourier.

Fig. 1.15

Rezolvare

Legea miscarii pentru o perioada: 0 t T;

pentru i = 1T armonicafundamentala.

Coeficientii seriei Fourier se determina cu formulele:

Seria Fourier, adica legea miscarii tijei este:

Aplicatii privind scrierea energiei cinetice si energiei potentiale

Energia cinetica si Energia potentiala scrisa pentru cateva cazuri de oscilatii mici:

 

Fig. 1.16

Fig. 1.17

Fig. 1.18

Fig. 1.19

Fig.1.21

Scrierea energiei potentiale in cazul arcurilor:

E_p este energia inmagazinata in arc si o vom scrie fata de centrul instantaneu de rotatie.

Fig. 1.21

- deplasare in acelasi sens:

- deplasare in sens opus:

Fig. 1.22

2 Probleme propuse

1.Pentru efectuarea unei experiente trebuie sa se fotografieze un corp, ce poate fi descris in proprietatile lui dinamice prin sistemul de rezerva de frecventa f_e.Punctul de suspensie al corpului se deplaseaza in sus cu u₀.Pentru rezistenta imaginii,corpul are voie sa se miste,in timp ce obturatorul foto este deschis,cu cel mult o distanta Dx.

Cat de mic poate fi ales timpul de expunere pentru ca sa se obtina o imagine puternica la fiecare perioda de timp. Se da:

R:

2. O masa punctiforma (1) de masa G este prinsa de patru arcuri (cu foi suprapuse) identice de lungime l. La invartire in frecventa proprie, amplitudinea sistemului atinge valoarea maxima. Ac-celeratia maxima este 2g.

1) Cat de mare trebuie sa fie constanta de elasticitate pentru fiecare din cele patru arcuri?

2) Cat de mare trebuie sa fie E I a unui arc?

Se da:

R:

3. Sa se determine frecventa proprie a siste-mului figura alaturata.

Toate arcurile se iau cu o masa neglijbila.

Se da:

R:

4. Arcurile din sistemul din imagine,in pozitia arata-ta (u=0) sunt relaxate.Toate fortele de frecare sunt neglijabile.

Se da:

Fig. 1.26

R:

5. O masa m are o oscilatie amortizata.Prin masurare se constanta ca dupa n oscilatii efectuate in timpul T_n corpul revine la o pozitie de a ori fata de cea intiala.

Cat este de mare factorul de amortizare b,masura amortizarii dupa D si constanta c a sistemului oscilator.

Se da:

R:

6. Se da: m, A, T

Fig. 1.28

Constantele de elasticitate c si de amortizare b a unui oscilator linear cu masa m=1kg sunt determinate printr-un experiment de oscilare.In plus se dirijeaza masa m in jurul distantei A dupa care i se da drumul.

Calculati b si c din valorile caracteristice care sunt date in schita.

R:

7. Se da:

Figura de fata a unui oscilator linear amortizat de alaturi a fost desenat in timpul unui experiment de debalan-sare. Axa de viteza calibrata determina viteza u₁=10mm/s si u₂=7mm/s in periodele 1si2.

1) Determinati gradul de amortizare

2) Calculati viteza os-cilatorului pentru perioada 3.

Indicatie: demonstrati afirmatiile matematic

R:

     

Fig. 1.29

8. O greutate m₁,asupra careia este asezata masa m₂ este prinsa de un arc (glacialitatea arcului c,lungi-mea destinsa l₀)

1) Care este ecuatia de miscare a dezaxarii u(t)

2) Care este ecuatia de miscare(ecuatia diferentiala) pentru forta normala N(t) intre cele doua greutati.

Indicatie:din echilibrul de forte pentru m₂ rezulta raportul u=u(N).Diferetiind de doua ori ecuatia de miscare pentru u putem inlocui derivata de la u cu N respectiv o derivata de la N.

R:

9. Se da:

Miscarea masei m din imagine este legata de frecare. Coeficientii alunecarii au aceeasi valoare. Coordonata deplasarii u este in asa fel fel alaturata ,incat ,in pozitia u=0,arcul c sa se destinda.

Calculati si desenati pentru conditiile initiale date curba fazei u(u) si legea de miscare u(t). Se stie ca:u₀=6,5mgu/c;u₀=0.

R:

Fig. 1.32

10. O bara rigida omogena de lungime l cu masa suplimentara m este la inceputul miscarii la capatul ei drept deviat cu a.Calculati:

1) Frecventa f proprie a sistemului

2) Valoarea maxima a vitezei unghiulare

3) Valoarea maxima a acceleratiei

4) Valoarea maxima a energiei cinetice

Se dau:

R:

11.Se da: a, d, m, c, k

In seismografie se foloseste pentru obtinerea de mici frecvente un sistem capabil sa oscileze.Sistemul este format dintr-un corp pendulant (de masa m,o axa centrala k) a carui centru de greutate S se afla la distanta a deasupra punctului de fixare O.Pendulul este tinut de doua arcuri aflate la distanta d deasupra punctului de fixare O.

1) Care este frecventa circulara proprie w₀ pentru oscilatii mici in jurul punctului de echilibru.

2) In ce conditii este punctul de echilibru stabil.

R:

12. Se da:

Pentru sistemul mecanic care poate oscila fara a intervenii forta de frecare (masa unitatii de lungime a parghiei u,masa punctiforma m).

Se cere:

1) Pozitia centrului greutate

2) Legea de miscare a sistemului

3) Frecventa proprie de ocilatie a sistemului pentru mici amplitudini a oscilatiei.

R:

     

13. Fie un sistem format dintr-un arc si un corp cu masa,excitat de o forta armonica .Amplitudinea oscilatiei statio-nare are valoarea de doua ori mai mare decat deviatia statica sub forta F;oscilatia si excitarea au faza deviata cu 180 una fata de cealalalta.

Cat de mare este frecventa unghiulara w₀ a sistemului

R:

14. Asupra unui corp de masa m care sta pe ar-curi actioneaza o forta F(t)=FcosW t.

1) Amplitudinea osci-latiei sistemului trebuie sa fie injumatatita printr-un amortizor cu amortizare proportionala cu viteza.Cat de mare trebuie sa fie unitatea lui Lehr de amortizare D aleasa.

2) Cat de mare este amplitudinea cauzata de forta F*(rezultanta a arcului si amortizorului) ca si multiplu de F

Se da:

c, m, , W= 1,1 w_o

R:

15. La oscilatorul linear schitat alaturi,resortul si amortizorul sunt cuplate in serie.Caracteristicile sistemului m,e si b sunt cunoscute.Punctul de cuplare dintre arc si amortizor se misca armonic conform functiei u(t)=ucosWt.

1) Sa se calculeze in functie de raportul

frecventelor n=W/w₀,deplasare q(t) a masei si schitati variatia amplitudinii.

2) Calculati in functie de raportul frec-

ventelor forta exteriora F(t) care trebuie sa actioneze in punctul de deplesare.

3) Sa se calculeze in functie de raportul frecventei unghiul de faza dintre forta F(t) si excitarea data u(t) si sa se schiteze comportarea celor doua functii.

R: