Linii electrice - Linia monofazata scurta, Linii electrice lungi

Linii electrice

1. Definitii

Transmisia energiei elctromagnetice de la surse la consumatori se face prin linii electrice.

Se considera un fir conductor de lungime l parcurs de un curent

i(x,t) = I_maxsin2f(t - x/v)

unde f este frecventa, v viteza de propagare si raportul _^ = v/f este lungimea de unda a curentului (respectiv a tensiunii).

a) Daca _^ >> l efectul de propagare a tensiunilor si curentilor in lungul liniei este neglijabil respectiv 2fx/v << 1 si curentul se poate aproxima cu expresia

i(t) = I_maxsin2ft

O astfel de linie electrica se numeste linie electrica scurta si ea poate fi modelata cu elemente de circuit avind parametrii concentrati.

b) O linie electrica a carei lungime l este comparabila cu lungimea de unda _^ a semnalului se numeste linie electrica lunga. La o astfel de linie repartitia curentului si a tensiunii i(x,t) si u(x,t) este descrisa de ecuatii cu derivate partiale si linia este modelata printr-o schema cu rezistoare, bobine si condensatoare distribuite uniform respectiv un circuit cu parametri uniform distribuiti.

2. Linia monofazata scurta

O linie electrica scurta de curent alternativ constituita din doua conductoare se numeste linie monofazata. Daca se neglijeaza capacitatea condensatorului care are ca armaturi cele doua conductoare ea se numeste linie monofazata scurta fara efecte transversale.

Fiecare conductor este caracterizat de rezistenta R, de inductivitatea proprie L si de inductivitatea mutuala M.

Linia monofazata scurta, fara efecte transversale din figura se modeleaza cu schema urmatoare:

unde

E_{_} - tensiune electromotoare complexa a generatorului;

Z_{_g} - impedanta complexa interna a generatorului;

Z_{_s} - impedanta de sarcina complexa a receptorului;

R₁, R₂ - rezistentele fiecarui conductor;

L₁, L₂, L₁₂ = L₂₁ - inductantele proprii si mutuala ale conductoarelor;

I_{_} - intensitatea curentului complex;

U_{_1}, U_{_2} - tensiunile complexe la capatul generator al liniei (1) si respectiv la capatul receptor al liniei (2).

Din teorema a II-a a lui Kirchhoff rezulta

E_{_} = Z_{_g}I_{_} + (R₁ + R₂ I_{_} + jw(L₁ + L₂ + 2L₁₂)I_{_} + Z_{_s}I_{_}

Notam cu Z_{_l} impedanta echivalenta a liniei

Z_{_l} = R₁ + R₂ + jw(L₁ + L₂ + 2L₁₂)

deci

E_{_} = (Z_{_g} + Z_{_l} + Z_{_s})I_{_}

Z_{_l} se numeste impedanta longitudinala echivalenta a liniei monofazate scurte fara efecte transversale,

si respectiv

R_l = R₁ + R₂ - rezistenta longitudinala

L_l = L₁ + L₂ + 2L₁₂ - inductanta longitudinala

Una din problemele transmisiei energiei electrice este aceea a determinarii tensiunii U_{_1} sau E_{_} la capatul generator al ei pentru a obtine o anumita tensiune U_{_2} la capatul receptor al liniei. Diferenta dintre valorile efective ale celor doua tensiuni se numeste variatie de tensiune

_U = E - U₂ <_> 0

Vom calcula /_--U_{_} = E_{_} - U_{_2} diferenta tensiunilor complexe.

/_--U_{_} = (R_e + jX_e)I_{_}

cu R_e = R_l + R_g

X_e = X_l + X_g

Daca

U_{_2}

I_{_} = -- = Ie^j_₂

Z_{_s}

atunci

/_--U_{_} = (R_eIcos_₂ + X_eIsin_₂) + j(R_eIsin_₂ + X_eIcos_₂) =

= /_--U_l + j/_--U_t

/_--U_l - este caderea longitudinala de tensiune, /_--U_t - este caderea transversala de tensiune. + +

/_--U = _(/_--U_l) + (/_--U_t) > _U

+ +

In retelele de distributie de joasa tensiune se admite pentru _U = 3-4%U₂ (este posibil daca receptorul este capacitiv deci _₂ < 0 atunci U₂ > E si _U este negativ).

Daca pentru modelarea liniei monofazate scurte se ia in consideratie si capacitatea dintre cele doua conductoare atunci linia se numeste linie monofazata scurta cu efecte transversale.

Intr-o prima aproximatie conductanta transversala G_t (care corespunde unor pierderi de putere activa pe linie conform corona) si capacitate transversala C_t se reprezinta la mijlocul liniei, astfel ca se obtine urmatoarea schema echivalenta (schema simetrica de iteratie 1):

Schema simetrica de iteratie n este

Precizia reprezentarii efectelor transversale este cu atit mai mare cu cit n este mai mare (si se obtine o schema cu un numar finit de parametri uniform distribuiti).

Se poate usor observa ca schema echivalenta acestui tip de linie bifilara scurta este un lant de cuadripoli simetrici, identici in T de forma:

3. Linii electrice lungi

3.1. Parametrii liniei electrice lungi

Se considera o linie electrica lunga de lungime l comparabil cu _^, bifilara

Problema fundamentala consta in determinarea lui u(x,t) si i(x,t).

Spre deosebire de linia bifilara scurta _^u cazul liniei electrice lungi parametrii specifici se considera uniform repartizati de-a lungul liniei. Se pot defini parametrii lineici ai unei linii electrice lungi

- rezistenta longitudinala lineica R

/_--R_l

R = lim --- [_/m]

/_--x->0 /_--x

- inductivitatea longitudinala lineica l

/_--L_l

l = lim --- [H/m]

/_--x->0 /_--x

- capacitatea transversala lineica c

/_--C_t

c = lim --- [F/m]

/_--x->0 /_--x

- conductanta transversala lineica g

/_--G_t

g = lim --- [S/m]

/_--x->0 /_--x

3.2. Ecuatiile liniilor electrice lungi in marimi instantanee Fie u(x,t) si i(x,t) tensiunea si curentul la distanta x de capatul generator al liniei (11') si la momentul t; la distanta x + /_--x si momentul t vor fi u(x+/_--x,t) si i(x+/_--x,t). Daca u(x+/_--x,t) si i(x+/_--x,t) se dezvolta in serie Taylor si se retin primii doi termeni rezulta: u

u(x+/_--x,t) = u(x,t) + -- dx

x

i

i(x+/_--x,t) = i(x,t) + -- dx

x

Schema cuadripolului in T a tronsonului de lungime dx este

Se aplica teorema a II-a a lui Kirchhoff de-a lungul conturului (1 2 2' 1' 1)

r l di l di r u

-idx + -dx-- + -dx-- + -idx + u + -- - u = 0

2 2 dt 2 dt 2 x

(se neglijeaza termenii dx)

Rezulta:

u i

- -- = ri + l--

x t

Se aplica teorema I-a a lui Kirchhoff in nod si rezulta

i u

- -- = gu + c--

x t

Sistemul de ecuatii cu derivate partiale de ordinul I

u i

- -- = ri + l--

x t

i u

- -- = gu + c--

x t

r_i = caderea de tensiune rezistiva;

i

l-- = caderea de tensiune inductiva;

t

gu = curent de pierderi prin izolant;

u

c-- = curent capacitiv,

t

descriu scaderea tensiunii si a curentului pe unitatea de lungime

al unei linii electrice lungi.

Intre ecuatiile de primul ordin obtinute se elimina una din

necunoscute u(x,t) sau i(x,t) si se obtine o ecuatie cu derivate

partiale de ordinul doi.

De exemplu ecuatia

u i

- -- = ri + l--

x t

se deriveaza in raport cu x

u i i i i

--- = -r-- - l--(--) = -r-- - l--(--)

x x x t x t x

Inlocuind pe

i u

- -- = gu + c--

x t

se obtine:

u u u

--- = rgu + (rc + lg -- + lc--- si similar

x dt dt

i i u

--- = rgi + (rc + lg -- + lc---

x t t

Deci curentul i(x,t) si tensiunea u(x,t) satisfac ecuatii de ordinul doi cu derivate partiale cu aceeasi coeficienti, ecuatii numite ecuatiile telegrafistilor.

Rezolvarea problemei liniilor lungi se face in felul urmator: se integreaza una din ecuatiile de ordinul doi si solutia obtinuta se introduce in oricare din ecuatiile de ordinul unu din care se deduce cea de-a doua necunoscuta.

Din ecuatiile de ordinul intii se poate face bilantul puterilor pe un tronson elementar de linie (de lungime dx)

u i i u

-i-- - u-- = ri + gu + li-- + cu--

x x t t

respectiv

li cu

ui) = ri + gu + --(---- + ----)

x t 2 2

+---+ +-----------+

p = energia inmagazinata in bobina

= puterea instantanee      si condensator pe unitatea de

lungime

+-------- ----- ------ -+

p

- -- = ri + gu + W_m + W_e)

x t

+-------- ----- ------ -+

Relatia de mai sus este relatia de bilant de putere si se interpreteaza astfel: scaderea puterii instantanee p transmisa liniei este egala cu suma dintre puterile dezvoltate prin efect Joule in conductoare (ri) si in izolantul dintre fire (gu) si viteza de variatie in timp a energiilor electrica W_e si magnetica W_m calculate pe unitatea de lungime a liniei.

3.3. Linii electrice lungi in regim armonic permanent In regim armonic permanent tensiunea si curentul sint in fiecare punct al liniei functii sinusoidale de timp de aceeasi frecventa u(x,t) = _2U(x)sin(wt + u|(x)) i(x,t) = _2I(x)sin(wt - _(x) + u|(x)) unde U(x) si I(x) sint valorile efective intr-un punct x, u|(x) este faza initiala care depinde de x. Ecuatiile liniilor lungi raportate la intrare A) Vom presupune date tensiunea si curentul de la capatul de intrare (1 - 1') al liniei electrice (x = 0). u₁(0,t) = _2U₁sin(wt + u|₁) i₂(0,t) = _2I₁sin(wt + u|₁ - _₁) Deoarece u(x,t) i(x,t), u₁(0,t), i₁(0,t) sint toate marimi sinusoidale se poate aplica transformata complexa: u(x,t) ->/<- U_{_}(x) = Ue^ju|(x) = U_{_} i(x,t) ->/<- I_{_}(x) = Ie^{j(u|(x)-_(x))} = I_{_}

u U_{_} dU_{_}

-- ->/<- -- = --

x x dx

i I_{_} dI_{_}

-- ->/<- -- = --

x x dx

u

>/<- jwU_{_}

t

i

>/<- jwI_{_}

t

Cu aceste relatii ecuatiile de primul ordin

u i

- -- = ri + l--

x t

i u

- -- = gu + c--

x t

devin in complex

dU_{_}

- -- = (r + jwl I_{_}

dx

dI_{_}

- -- = (g + jwc U_{_}

dx

daca se noteaza (r + jwl) = Z_{_l} impedanta longitudinala complexa lineica si (g + jwc) = Y_{_t} admitanta transversala complexa lineica atunci

dU_{_}

- -- = Z_{_l}I_{_} (*)

dx

dI_{_}

- -- = Y_{_t}U_{_}

dx

Prin derivare in raport cu x si eliminare succesiva a uneia dintre necunoscute se obtin ecuatiile telegrafistilor in complex.

dU_{_}

--- = Z_{_l}Y_{_t}U_{_}

dx

dI_{_}

--- = Z_{_l}Y_{_t}I_{_}

dx

dU_{_}

--- = _oY_{_}U_{_}

dx

dI_{_}

--- = _oY_{_}I_{_}

dx

Vom nota

_oY_{_} = _(r + jwl (g + jwc) = _Z_{_l}Y_{_c} = _ + j

numita constanta complexa de propagare. Se integreaza ecuatiile telegrafistilor in forma complexa scrise in functie de constanta complexa de propagare astfel:

U_{_}(x) = A_{_d}e^-_o^Y_{_}^x + A_{_i}e_o^Y_{_}^x       si respectiv

_oY_{_} + +

I_{_}(x) = --A_{_d}e^-_o^Y_{_}^x - A_{_i}e_o^Y_{_}^x

Z_{_l} + +

unde A_{_d} si A_{_i} sint constante de integrare care se determina din conditia ca la bornele 1 - 1' u₁(t) si i₁(t) sa aiba valorile date.

Vom calcula raportul

+ +

_(r + jwl (g + jwc)

_oY_{_} + + + g + jwc +

Z_{_l} r + jwl + r + jwl +

respectiv

Z_{_l} + r + jwl +

-- = _ --------- = Z_{_c} = impedanta complexa

_oY_{_} + g + jwc +

caracteristica a liniei

si deci

I_{_}(x) = --A_{_d}e^-_o^Y_{_}^x - A_{_i}e_o^Y_{_}^x

Z_{_c} + +

B) Ecuatiile liniilor lungi raportate la iesire

Vom presupune date tensiunea si curentul la iesirea liniei electrice lungi de lungime l la bornele 2 - 2'

u(l,t) = u₂(t) = _2U₂sin(wt + u|₂)

i(l,t) = i₂(t) = _2I₂sin(wt + u|₂ - _₂)

cu imaginile in complex

U_{_2} = U₂e^ju|₂

I_{_2} = I₂e^j(u|₂ ^{- _}₂⁾

cu aceste marimi in ecuatiile obtinute pentru U_{_}(x) si I_{_}(x) se ia x = l si se obtine

U_{_2} = A_{_d}e^-_o^Y_{_}^l + A_{_i}e_o^Y_{_}^l      

1 + +

I_{_2} = --A_{_d}e^-_o^Y_{_}^l - A_{_i}e_o^Y_{_}^l

Z_{_c} + +

Rezulta constantele de integrare

A_{_d} = -U_{_2} + Z_{_c}I_{_2}e^-_o^Y_{_}^l

A_{_i} = -U_{_2} - Z_{_c}I_{_2}e_o^Y_{_}^l

Se introduc valorile acestor constante de integrare in

ecuatiile

U_{_}(-x) = A_{_d}e^-_o^Y_{_}^(-x) + A_{_i}e_o^Y_{_}^(-x)

1 + +

I_{_}(-x) = --A_{_d}e^-_o^Y_{_}^(-x) - A_{_i}e_o^Y_{_}^(-x)

Z_{_c} + +

Apare (-x) pentru ca lungimea liniei se ia in considerare de la bornele 2 - 2' de iesire spre bornele 1 - 1' de intrare.

U_{_}(x') = U_{_2}ch_oY_{_}x' + Z_{_c}I_{_2}sh_oY_{_}x'

U_{_2}

I_{_}(x') = --ch_oY_{_}x' + I_{_2}ch_oY_{_}x'

Z_{_c}

Daca x' = l, se deduc U_{_1} si I_{_1}, tensiunea si curentul complex la intrarea liniei

U_{_1} = U_{_2}ch_oY_{_}l + Z_{_c}I_{_2}sh_oY_{_}l

U_{_2}

I_{_1} = I_{_2}ch_oY_{_}l + --sh_oY_{_}l

Z_{_c}

Parametrii liniilor lungi in regim armonic permanent

- impedanta caracteristica

+ r + jwl +

Z_{_c} = _ --------- = Z_{_c}e^j__c

+ g + jwc +

4+ r + (wl +

Z_{_c} = _ -----------

+ g + (wc +

lw cw

--- - ---

1 + lw cw + 1 r g

__c = - arctg--- - arctg--- = -arctg-----------

2 + r g + 2 wcl

1 + ------

rg

- constanta complexa de propagare

_oY_{_} = _(r + jwl (g + jwc) = _ + j

_ = Re(_oY_{_}) - constanta de atenuare

= Im(_oY_{_}) - constanta de faza

_ si se determina din _oY_{_} si Re(_oY_{_})

_ = _ -rg - wlc + _(r + wl)(g + wc)

= _ -wlc - rg + _(r + wl)(g + wc)

3.4. Cuadripolul echivalent liniei electrice lungi

Ecuatiile obtinute mai sus au aceeasi forma cu ecuatiile canonice ale unui cuadripol; deci linia electrica lunga intre perechile de borne 1 - 1' si 2 - 2' este un cuadripol liniar, reciproc si simetric avind exponentul de transfer caracteristic

g_{_} = _oY_{_}l

U_{_1} ch_oY_{_}l Z_{_c}sh_oY_{_}l U_{_2}

= sau

I_{_1} 1 I_{_2}

+ + --sh_oY_{_}l ch_oY_{_}l + +

+ Z_{_c} +

U_{_1} + + U_{_2}

= __l

I_{_1} + + I_{_2}

Aplicind teoria de la capitolul de cuadripoli rezulta, deci, ca o linie electrica lunga admite schema lantului de cuadripoli identici liniari si reciproci in care cuadripolul component cu matricea _ are indicele de transfer

_oY_{_}l

n

l l

ch_oY_{_} - Z_{_c}sh_oY_{_} -

+ + n n

l l

--sh_oY_{_} - ch_oY_{_} -

+ Z_{_c} n n +

Daca este satisfacuta conditia

_oY_{_}l

-- << 1

n

ceea ce presupune ca fiecare tronson de linie de lungime l/n este

o linie scurta atunci

_oY_{_}l

ch

n

si

_oY_{_}l

sh -- _ _oY_{_}l

n

atunci

l l

1 Z_{_co}Y_{_}- 1 (r + jwl -

+ + n n

l 1

--_oY_{_}- 1 ------------- 1

Z_{_c} n l

+ + (g + jwc -

+ n +

si se regaseste o schema de iteratii si similara cu cea a liniei scurte.