CATEGORII DOCUMENTE
Afaceri Calculatoare Casa masina Didactica pedagogie Diverse Educatie Finante Geografie Istorie & politica Legislatie Limba Management Sanatate Tehnologie

 

Putem remarca faptul ca desi etaloanele de timp si lungime sunt printre cele mai vechi, definirea lor precisa se face pe baza studiilor de fizica contemporane, efectuate in domenii care nu au nici-o legatura cu mecanica clasica.

Dupa ce am definit miscarea ca modificarea pozitiei relative a corpurilor in spatiu, pe masura trecerii timpului, am vorbit despre cinematica ca despre stiinta care urmareste sa stabileasca forma cantitativa a legilor de miscare, am precizat ca forma cantitativa a legilor fizicii se poate stabili numai in urma masuratorilor experimentale si ca masuratorile se pot face doar avand la indemana etaloanele adecvate, mai ramane o singura intrebare : dar care sunt corpurile care nu se misca si care sunt corpurile in miscare ? Raspunsul la aceasta intrebare, aparent simpla, este foarte complicat ! Vom incerca gasirea unei explicatii cat de cat satisfacatoare intr-unul din capitolele urmatoare. Pentru inceput sa incercam o definitie operationala a ceea ce inseamna starea de miscare.

Privind sculptura din imaginea alaturata, putem observa ca indiferent unde ar fi dusa - chiar daca s-ar afla pe puntea unui vapor care traverseaza oceanul, sau intr-o naveta cosmica - distantele intre cele patru colturi ale ei nu se modifica in timp. Putem trage concluzia ca respectivele patru colturi formeaza un sistem de corpuri de referinta, imobile unele in raport cu celelalte.

Fata de corpul 1, corpurile 2, 3, 4 au vectorii de pozitie r_1,2, r_1,3 si r_1,4.

Matematic vorbind, acesti trei vectori de pozitie alcatuiesc o baza de vectori in spatiul tridimensional. Prin operatii matematice relativ simple aceasta baza poate fi transformata intr-o baza de trei vectori ortonormati e_x, e_y, si e_z care indica directiile si sensurile a trei axe de coordonate carteziene.

Construirea sistemului de axe de coordonate ca si afirmatia ca modulul unui versor este unitar nu presupun doar aspecte matematice ci si aspecte fizice. Rezultatul final este bazat pe cunoasterea rapoartelor intre modulele celor trei vectori de pozitie initiali. De asemenea, matematic vorbind, coordonatele x, y si z sunt simple numere, incapabile sa exprime prin ele insele pozitia unui corp. De aceea, sensul fizic al notiunii de sistem de axe de coordonate presupune existenta unui etalon de lungime. Coordonatele x, y, z sunt numerele care arata de cate ori se cuprinde etalonul de lungime in distantele Ox, Oy sau Oz masurate in lungul axelor de coordonate fizice. De altfel, chiar si axele de coordonate din desenul alaturat sunt de natura fizica si nu abstracta (adica sunt trasate pe un suport material, au anumite dimensiuni spatiale s.a.m.d.)

Cu trecerea timpului, pozitia ocupata de un corp se poate modifica in raport cu corpurile de referinta si, implicit, in raport cu sistemul de coordonate. Imaginea alaturata va prezinta pozitiile succesive ale unei mingi de baschet, sugerandu-va trecerea timpului prin intensitatea tonurilor de gri. Evolutia de la un ton de gri la altul este o modalitate grafica de a marca trecerea unor durate egale, sau, cu alte cuvinte, simbolizeaza indicatiile unui ceas.

Acestea fiind spuse, ajungem in sfarsit la ceea ce denumeam la pagina 5 drept o "definitie operationala a ceea ce inseamna starea de miscare". Potrivit acesteia, miscarea reprezinta modificarea in timp a pozitiei unui corp in cadrul unui sistem de referinta.

Sistemul de referinta este un concept fizic care include urmatoarele elemente :

Un ansamblu de corpuri de referinta considerate fixe

Un sistem de axe de coordonate, atasat corpurilor de referinta

Un etalon de lungime, adica o unitate de masura a distantelor si un instrument cu care se poate face masuratoarea de lungime (rigla)

Un etalon de timp, adica o unitate de masura a duratelor de timp si un instrument cu care se poate face masuratoarea de timp (ceas)

Nu vom vorbi aici despre relativitatea perceptiilor umane, ci ne vom intreba despre ceva mult mai concret : sunt miscarea sau repausul notiuni absolute sau nu ?

Daca as afirma ca baronul von Mnchhausen, calare pe o ghiulea in zbor, este in repaus, in vreme ce melcul se deplaseaza cu o viteza de aproximativ 30 km/s, m-ati crede probabil la fel de "sincer" ca si pe celebrul mincinos-baron, sau la fel de "inteligent" ca pe melc. Cu toate acestea s-ar putea sa am dreptate, fireste omitand sa va fi spus ceva de la bun inceput. Ce ar fi trebuit sa va comunic era ca atunci cand ma refeream la starea de miscare a baronului, corpul de referinta era ghiuleaua, iar cand pomeneam melcul, corpul de referinta era Soarele. Cei care m-ar fi contrazis ar fi facut-o, fireste, cu buna credinta, dar se lasau ei insisi inselati de o prejudecata, si anume ca pamantul pe care ne desfasuram existenta este in repaus absolut. Prin urmare, rationamentul lor, bazat pe ideea (si ea preconceputa) ca o ghiulea in zbor se misca fata de pamant mai repede decat un melc, li s-ar fi parut perfect valabil. Si, ca sa intregesc sirul de ciudatenii din acest paragraf, va voi mai spune ca s-ar putea sa am dreptate si atunci cand, pastrand pamantul ca sistem de referinta, afirm ca exista un interval de timp, chiar si daca este aparent mic, in care ghiuleaua se misca mai incet decat melcul (de exemplu, daca ghiuleaua este lansata vertical in sus, in punctul de inaltime maxima pe care-l atinge ea este o clipa in repaus).

Ce concluzii trebuie sa tragem din cele spuse ?

v    Nu se poate vorbi in mod absolut despre starea de miscare sau de repaus a unui corp

v    Inainte de a spune daca un corp este in repaus sau in miscare trebuie sa stabilim care este sistemul de referinta fata de care studiem evolutia corpului

v    Prin urmare, afirmam ca miscarea sau repausul sunt notiuni relative, intelegand prin aceasta ca observatori apartinand unor sisteme de referinta diferite pot avea perceptii diferite in ceea ce priveste starea de miscare a aceluiasi corp

Sperand ca lucrurile au fost lamurite si nu incurcate din acest punct de vedere, nu putem, totusi, sa nu ne punem si unele intrebari :

v    Ce utilitate mai poate avea cunoasterea legilor de miscare intr-un referential dat, daca acestea pot avea o cu totul alta forma in alt referential

v    Exista oare vreo legatura intre legile de miscare ale aceluiasi corp in sisteme de referinta diferite

v    Cauzele care conduc la o anumita forma a legii de miscare depind si ele de sistemul de referinta ales sau nu

O parte din raspunsurile la aceste intrebari o veti gasi in capitolele urmatoare.

Sa privim fotografia din figura alaturata. Aceasta infatiseaza o serie de obiecte imobile, dar si o lebada care se poate deplasa pe suprafata apei. Daca am fi repetat fotografierea la anumite intervale de timp, am fi surprins lebada ocupand succesiv pozitiile marcate prin cruciulite, in vreme obiectele imobile nu si-ar fi modificat locul. Fiecare dintre fotografii surprinde o stare prin care trece obiectul.

Datele cantitative despre aceste stari sunt coordonatele pozitiei obiectului si momentele de timp corespunzatoare. Astfel, prima stare surprinsa in fotografie este caracterizata (vezi figura din dreapta) de coordonatele spatio-temporale :

x = 10 m

y = 2 m

t = 10 h 21 min 14 s

A doua stare este caracterizata de datele :

x = 8,5 m

y = 2,4 m

t = 10 h 21 min 17 s

Schimbarea de stare este rezultatul procesului de miscare mecanica.

Cele doua stari sunt caracterizate de vectorii de pozitie , respectiv , si de momentele de timp t₁, respectiv t₂, iar deplasarea obiectului este caracterizata prin vectorul deplasare : si prin durata deplasarii: Dt = t₂ - t₁.

Sa privim figura alaturata, cazul a. Observam ca vectorii deplasare alcatuiesc o linie franta, care uneste pozitiile ocupate de obiect in fiecare dintre fotografiile succesive. Injumatatind intervalele de timp dupa care se repeta fotografierea, se dubleaza numarul de vectori deplasare ce pot fi reprezentati (cazul b). Sa ne imaginam ca am putea reduce intervalul de timp dintre doua fotografii succesive atat de mult incat sa surprindem obiectul in fiecare din punctele din spatiu prin care trece. In acest caz segmentele liniei frante s-ar micsora atat de mult incat s-ar forma o curba continua (cazul c). Aceasta curba continua se numeste traiectorie. Putem remarca ca, in general, traiectoria nu coincide cu conturul poligonal format de vectorii deplasare. Cu toate acestea, cu cat numarul de stari utilizat pentru determinarea vectorilor deplasare este mai mare, cu atat conturul poligonal se apropie mai mult de forma reala a traiectoriei. Rezulta de aici ca procesul de miscare mecanica poate fi aproximat printr-o succesiune de stari, al caror numar trebuie sa fie suficient de mare pentru ca erorile introduse sa fie convenabil de mici.

Traiectoria reprezinta locul geometric al punctelor atinse de un mobil in cursul miscarii sale.

Am vorbit despre avioane. Sa trecem la trenuri ! Cunoasteti cu totii o carte extrem de interesanta - de citit mai ales in cursul lungilor calatorii - numita "Mersul Trenurilor". Iata un pasaj din ea :

Relatia 300
km	Gara	P 3005	A 421	E 23
	Bucuresti Nord
	Ploiesti Vest
	Sinaia
	Predeal
	Brasov
	Sighisoara
	Medias
	Blaj

Privind datele din tabel, observam ca ele reprezinta o lista de coordonate legate de pozitie si timp. Cum putem sa extragem o concluzie din aceasta multime de cifre ? O cale ar fi sa facem o reprezentare grafica a distantei in functie de timp. Vom transforma mai intai orele in minute, astfel incat sa avem o singura unitate de masura a timpului. Obtinem, in acest mod, tabelul de date alaturat :

Fiecare pereche de date timp-distanta o reprezentam printr-un punct intr-un sistem de axe de coordonate. Rezulta graficul de mai jos :

Ce facem mai departe ? Am putea uni punctele succesive prin segmente de dreapta (desenate prin linii intrerupte). Ce remarcam ? Curbele obtinute sunt aproape niste linii drepte. Din acest motiv, vom incerca in continuare sa trasam niste drepte (de data aceasta ca linii neintrerupte), care, evident, nu mai pot trece prin toate punctele, dar pot fi astfel desenate incat sa lase de o parte sau de alta cam acelasi numar de puncte. Rezultatul este urmatorul :

Remarcam ca toate cele trei trenuri au ceva in comun : distanta strabatuta este (aproximativ) o functie liniara de timp ! Notand timpul cu t si distanta cu d, putem scrie :

unde A si B sunt doua constante. Valorile acestor constante se pot determina din grafic, rezultand :

P 3005 : d = 0,68 t - 579

A 421 d = 1,05 t - 1237

E 23 : d = 1,15 t - 1125

Aceste expresii ne permit sa aflam unde se afla fiecare tren la un anumit moment de timp.

Astfel, pentru :

t = 1000 (min)

personalul ar trebui sa se gaseasca la distanta :

d 1000 - 579 = 680 - 579 = 101 (km)

fata de Bucuresti (verificati pe grafic !).

O functie matematica care ne permite aflarea pozitiei unui corp la un moment de timp bine stabilit se numeste lege de miscare.

In general, legea de miscare se refera la vectorul de pozitie. Din acest motiv, in cazul cel mai general, putem scrie:

unde x,y si z sunt componentele vectorului de pozitie.

Remarcati ca legea de miscare este o ecuatie vectoriala, echivalenta cu trei ecuatii scalare referitoare la componentele vectorului de pozitie. Acestea din urma se mai numesc ecuatiile parametrice de miscare.

Sa revenim la cele trei trenuri. Ar putea cele trei legi de miscare sa ne spuna care dintre trenuri ajunge mai repede de la Bucuresti la Brasov ? Pentru a raspunde la intrebare, sa luam din nou cazul personalului. Sa scriem legea sa de miscare la doua momente de timp diferite:

d₁ = 0,68 t₁ - 579 ; d₂ = 0,68 t₂ - 579

Scazand cele doua relatii, rezulta :

d₂ - d₁ = 0,68 (t₂ - t₁)

Luand (t₂ - t₁) = 60 (min), rezulta : d₂ - d₁ = 40,8 (km). Am aflat astfel ca in decurs de o ora personalul se deplaseaza pe o distanta de 40,8 km. Procedand in mod analog in celelalte doua cazuri, gasim ca acceleratul parcurge 63 km pe ora, iar expresul 69 km pe ora.

Aceste trei numere ne permit sa afirmam ca expresul se deplaseaza cel mai repede, iar personalul cel mai lent.

Pentru o analiza cantitativa a miscarilor unor mobile diferite, este suficient sa comparam distantele parcurse de acestea in anumite intervale de timp bine determinate.

Raportul dintre distanta parcursa de un mobil si intervalul de timp necesar pentru aceasta se numeste viteza medie. Formula corespunzatoare acestei definitii este :

Sa revenim la cele trei trenuri. Am aflat deja ce viteza medie are miscarea lor. Oare valorile gasite caracterizeaza orice portiune a traseului ? Putem verifica aceasta calculand viteza medie pe diferite tronsoane de drum. Mai intai calculam lungimea fiecarui tronson si apoi durata necesara parcurgerii lui. Raportand lungimea la durata, aflam viteza medie. Rezultatele pot fi inscrise intr-un tabel, dupa cum urmeaza :

Datele din tabel pot fi reprezentate sub forma unei diagrame, ceea ce usureaza compararea si interpretarea lor.

Puteti vedea mai sus o astfel de diagrama.

Remarcam ca viteza medie nu este aceeasi pe orice portiune de drum ! Rezulta de aici ca informatia cuprinsa in valoarea vitezei medii are semnificatie numai daca precizam si segmentul de drum pe care ea a fost calculata.

Viteza medie nu poate caracteriza starea de miscare a unui obiect, adica nu poate oferi o informatie legata de un moment concret de timp !

Si atunci, cum putem face distinctia dintre starea de obiect mobil sau imobil ?

Simpla precizare a coordonatelor spatio-temporale este insuficienta, ceea ce inseamna ca este necesara definirea unei marimi fizice, a carei valoare masoara cantitativ diferenta dintre obiectul fix si cel in miscare. Aceasta marime fizica se numeste viteza momentana, sau pur si simplu viteza.

Care este asemanarea dintre viteza medie si viteza momentana ? Este una singura : formula de calcul este aceeasi. Care este atunci deosebirea dintre viteza medie si viteza momentana ? Din nou este una singura : intervalul de timp luat in considerare trebuie sa fie cat mai scurt, astfel incat sirul de stari prin care trece corpul sa fie cat mai mic (idealizat, sa se reduca doar la stari extrem de apropiate de starea careia i se atribuie viteza momentana).

Conform celor spuse, putem defini viteza momentana dupa cum urmeaza :

Viteza momentana este marimea fizica vectoriala calculata ca raportul dintre vectorul deplasare si durata necesara deplasarii, atunci cand durata este foarte mica, adica este prima derivata a vectorului de pozitie in raport cu timpul. Formula corespunzatoare este :

In figura se poate observa semnificatia geometrica a vectorului viteza. Fie starea marcata printr-un cerculet, avand vectorul de pozitie r, la momentul de timp t. Pentru a determina viteza, consideram doua momente de timp t₁ < t , t₂ > t , foarte apropiate de momentul t. Trasam vectorii de pozitie la aceste doua momente de timp si facem diferenta . Inmultim vectorul Dr cu scalarul 1/( t₂ - t₁), gasind astfel vectorul v.

Vectorul viteza este tangent la traiectorie.

Ca orice alt vector, vectorul viteza are trei componente :

Viteza atribuita unui corp in miscare se poate si ea modifica in timp. Cum masuram cat de repede variaza aceasta ? Este nevoie de o noua marime fizica, denumita acceleratie momentana, sau pur si simplu acceleratie.

Prin definitie : acceleratia momentana este marimea fizica vectoriala calculata ca prima derivata a vectorului viteza in raport cu timpul, sau a doua derivata a vectorului de pozitie in raport cu timpul. Formula corespunzatoare este :

Vectorul acceleratie are, in general, trei componente:

Similar cu vectorul viteza, se poate construi geometric vectorul acceleratie (vezi figura alaturata).

In general, vectorul acceleratie este orientat sub un anumit unghi in raport cu vectorul viteza, iar cei doi vectori formeaza un plan.

Alegand in acest plan doua axe de coordonate perpendiculare, una dintre ele fiind indreptata in sensul vitezei, exista doua componente ale acceleratiei : acceleratia tangentiala, orientata paralel cu vectorul viteza, si acceleratia normala, orientata perpendicular pe vectorul viteza. Evident, vectorul acceleratie nu are si o componenta perpendiculara pe acest plan.

Din cele discutate pana acum reiese faptul ca starea momentana a unui corp in miscare este caracterizata de trei marimi fizice vectoriale : vectorul de pozitie r, viteza v si acceleratia a, la care se adauga momentul de timp t. Valorile si orientarile celor trei marimi vectoriale se pot modifica in timp.

Functiile matematice care permit aflarea pozitiei, vitezei sau acceleratiei la un moment de timp dat se numesc legi de miscare sau ecuatii de miscare (legea/ecuatia spatiului, legea/ecuatia vitezei, sau legea/ecuatia acceleratiei).

In principiu, daca cunoastem ecuatia acceleratiei, pozitia si viteza initiala ale unui mobil, putem sa determinam atat ecuatia vitezei, cat si ecuatia spatiului.

Cu alte cuvinte, daca stim locul unde se afla mobilul si ce viteza are la un moment initial, precum si acceleratia sa la toate momentele de timp, putem afla viteza si pozitia mobilului la orice moment de timp.

Constructiile geometrice facute pentru a determina vectorul viteza sau vectorul de pozitie au un echivalent analitic : operatiile de integrare.

Cunoscand expresia analitica a acceleratiei ca functie de timp, expresia vitezei se calculeaza cu integrala :

Cunoscand expresia analitica a vitezei ca functie de timp, expresia vectorului de pozitie se calculeaza cu integrala :

In figura se poate vedea o masina cu aburi din secolul al XIX-lea. Desigur, puteti remarca complexitatea ei: piese care se rotesc, piese in miscare liniara, piese care balanseaza, roti dintate, lant de transmisie. Cum se poate oare construi ceva atat de complicat ?

"Taina" consta in cunoasterea legilor dupa care se misca componentele sau partile lor. Cunoscand aceste legi, este relativ simplu sa anticipezi prin calcul cum va functiona ansamblul pieselor, sa le construiesti si sa le asamblezi (simplu pentru inginerul a carui meserie consta tocmai in aceasta !). In fond, aceste cunostinte au stat la baza Revolutiei Industriale din veacul al XIX-lea.

Veti spune : "Bine, si ce legatura are asta cu fizica ?". Legatura este tocmai capitolul de fata.

Un prim demers al cinematicii este realizarea unei clasificari a miscarilor.

Clasificarea miscarilor se poate face in doua moduri :

dupa forma traiectoriei

dupa legea de miscare pe traiectorie

Cand vorbim despre tipul de miscare al unui corp trebuie sa furnizam ambele informatii necesare : forma traiectoriei si legea de miscare. Exista, astfel, miscari circulare uniforme, miscari rectilinii uniform variate, miscari curbilinii variate, s.a.m.d.

Vom discuta in cele ce urmeaza principalele tipuri de miscari mecanice.

Miscarea rectilinie uniforma este miscarea care se face in linie dreapta, viteza avand aceeasi valoare in orice punct al traiectoriei (deci vectorul viteza este constant in timp).

Dupa cum se vede in figura alaturata, traiectoria poate avea o directie oarecare in raport cu axele sistemului de referinta.

Vectorul viteza este paralel cu directia traiectoriei.

In figura din dreapta sunt reprezentati vectorii de pozitie ai mobilului la doua momente de timp : t₀ si t. Conform definitiei vitezei momentane, putem scrie :

Ecuatia spatiului in miscarea rectilinie uniforma

Pentru ca viteza este constanta prin definitie determinarea legii de miscare prin integrare este foarte simpla :

Ecuatia spatiului in miscarea rectilinie uniforma este o ecuatie vectoriala, echivalenta cu trei ecuatii scalare, cate una pentru fiecare axa de coordonate :

In aceste ecuatii :

v        x, y, z reprezinta coordonatele punctului in care se afla mobilul la momentul de timp t

v        x , y₀ , z₀ reprezinta coordonatele punctului in care se afla mobilul la momentul de timp t₀

v        v_x , v_y , v_z sunt componentele vectorului viteza

Daca nu este impusa o anumita orientare a axelor de coordonate, ele pot fi alese astfel incat vectorul viteza sa fie paralel cu axa Ox. In acest caz traiectoria este paralela cu axa Ox, iar componentele v_y si v_z sunt nule. De asemenea, alegerea sistemului de coordonate se poate face astfel incat si coordonatele y₀ si z₀ sa fie nule (vezi figura alaturata). In aceste conditii, din setul de trei ecuatii ne ramane una singura :

Trebuie remarcat ca in aceasta ecuatie v reprezinta proiectia vectorului viteza pe axa Ox. Aceasta proiectie este un numar pozitiv daca viteza are sensul axei Ox. In caz contrar, proiectia vitezei este un numar negativ.

Acceleratia momentana este definita astfel :

Cum vectorul viteza este constant, rezulta :

In miscarea rectilinie uniforma acceleratia mobilului este nula.

Miscarea rectilinie uniform variata este miscarea care se desfasoara in linie dreapta si in care modulul vitezei variaza cu cantitati egale in intervale de timp egale.

Sa ne amintim ca vectorul viteza este permanent tangent la traiectorie. Rezulta ca atunci cand traiectoria este rectilinie, vectorul viteza nu variaza ca orientare.

Din definitia acceleratiei momentane :

putem afla viteza la momentul t :

Ecuatia vitezei in miscarea uniform variata

sau :

In figura de mai sus se poate vedea rezultatul acestei operatii cu vectori. Se observa ca daca directia acceleratiei nu coincide cu directia vitezei, vectorul viteza variaza ca orientare. Rezulta de aici ca :

In miscarea rectilinie uniform variata vectorul acceleratie este permanent paralel cu vectorul viteza si, implicit, cu directia miscarii.

Alegand sistemul de referinta astfel incat traiectoria sa se suprapuna peste axa Ox, obtinem situatia din figura alaturata. Se observa ca vectorul acceleratie poate avea acelasi sens ca si vectorul viteza, dar si sens opus. Ecuatia vectoriala scrisa anterior se reduce in cazul acesta la o singura ecuatie scalara, referitoare la componentele vectorilor pe axa Ox:

(nu uitati ca valorile numerice ale marimilor din ecuatie sunt pozitive daca sensul vectorului corespunzator coincide cu sensul axei, respectiv negative in caz contrar !).

In figura alaturata se poate vedea graficul vitezei in functie de timp. Ca si in cazul miscarii rectilinii uniforme, aria cuprinsa intre axa timpului si graficul vitezei, limitata de momentele t si t₀, este numeric egala cu distanta parcursa de mobil : x - x₀. Se stie ca aria cuprinsa intre graficul unei functii si abscisa este o reprezentare geometrica a integralei functiei respective :

sau :

Ecuatia spatiului in miscarea rectilinie uniform variata

Aceasta ecuatie permite calcularea coordonatei x a punctului in care se afla mobilul la momentul de timp t, cunoscand pozitia sa initiala x₀ si viteza sa initiala v₀ (la momentul t₀⁾, precum si acceleratia miscarii a.

O alta ecuatie importanta a miscarii uniform variate se poate obtine eliminand termenul (t - t₀) intre ecuatia vitezei si ecuatia spatiului :

sau :

Aceasta relatie se numeste ecuatia lui Galilei. Ea permite calcularea vitezei v daca se cunosc viteza initiala v₀, acceleratia a si distanta parcursa de mobil de la inceputul miscarii: (x - x₀).

Miscarea circulara uniforma este miscarea care se desfasoara pe un cerc si in care modulul vitezei este constant.

Pentru ca modulul vitezei este constant, mobilul aflat in miscare circulara uniforma parcurge arce de cerc egale in intervale de timp egale. Fata de centrul cercului, un arc de cerc este delimitat de doua vectori de pozitie, care formeaza un anumit unghi intre ei. Din aceea ca arcele de cerc parcurse in intervale de timp egale sunt egale, rezulta ca si unghiurile la centru maturate de raza vectoare in intervale de timp egale au valori egale.

Sa consideram un mic interval de timp Dt. In figura alaturata se poate vedea ca in acest interval de timp mobilul parcurge pe traiectorie o distanta Ds, iar raza vectoare matura un unghi la centru Dq. Conform definitiei vitezei :

Stim ca lungimea arcului de cerc este proportionala cu unghiul la centru exprimat in radiani :

ds = r dq

unde r este raza cercului. Inlocuind in formula de definitie a vitezei, obtinem :

Observam ca raportul v/r este constant in timp. Rezulta ca si raportul dq dt este constant in timp.

Ce semnificatie are acest raport ? Luand dt egal cu unitatea de masura a timpului, dq reprezinta unghiul la centru maturat de raza vectoare in unitatea de timp. Concluzia este ca :

Intr-o miscare circulara uniforma unghiul la centru maturat in unitatea de timp de raza vectoare are o valoare constanta pe toata durata miscarii. Acest raport constant poate fi luat ca o masura a miscarii circulare uniforme, primind denumirea de viteza unghiulara :

Putem reformula legea de miscare astfel : intr-o miscare circulara uniforma viteza unghiulara este constanta in timp. Relatia dintre viteza cu care se deplaseaza mobilul pe cerc (numita si viteza liniara) si viteza unghiulara este urmatoarea :

v wr

Observam ca viteza liniara este proportionala atat cu viteza unghiulara, cat si cu lungimea razei traiectoriei. O caracteristica a acestei relatii este aceea ca ea depinde de modulele a doua marimi vectoriale: raza vectoare si viteza. Oare ce operatie matematica cu vectori ar corespunde acestei relatii intre module ?

Prima supozitie ar fi aceea ca viteza unghiulara este o marime scalara si ca : . Consecinta ar fi ca vectorii viteza si raza vectoare ar trebui sa fie orientati pe directii paralele, ceea ce este fals pentru ca viteza si raza vectoare sunt perpendiculare). Rezulta de aici ca viteza unghiulara trebuie sa fie o marime vectoriala ! Veti intreba : dar ce informatie suplimentara, legata de directie si sens, poate purta viteza unghiulara ?

Daca priviti figura alaturata puteti observa ca exista doua informatii importante :

v    in ce plan se desfasoara miscarea circulara uniforma

v    care este sensul de rotatie pe traiectorie

Pentru ca vectorul viteza unghiulara sa cuprinda aceste informatii se utilizeaza urmatoarele conventii :

v    directia vectorului este perpendiculara pe planul traiectoriei

v    sensul vectorului este acelasi cu sensul in care inainteaza un burghiu drept, asezat perpendicular pe planul traiectoriei, atunci cand este rotit in acelasi sens cu sensul in care se desfasoara miscarea circulara

Deci relatia intre vectorii viteza unghiulara, viteza liniara si raza vectoare poate fi scrisa ca un produs vectorial :

Orientarea vectorilor este cea din figura alaturata. Observam ca ei formeaza un triedru drept, fiind perpendiculari doi cate doi.

Viteza unghiulara este constanta in timp. De aceea putem scrie :

Legea spatiului in miscarea circulara uniforma

sau :

Aceasta ecuatie permite calcularea unghiului la centru pe care il face raza vectoare cu diametrul de referinta (vezi figura alaturata), la momentul de timp t, cunoscand viteza unghiulara si unghiul la centru la momentul de timp initial t₀.

In miscarea uniforma modulul vitezei liniare este constant, dar vectorul viteza isi schimba in permanenta orientarea. Rezulta de aici ca vectorul viteza variaza in timp. Cu alte cuvinte, miscarea uniform variata este o miscare accelerata.

Am reprezentat in figura alaturata pozitia unui mobil care se roteste pe un cerc de raza r, la un moment de timp oarecare t. Vectorul de pozitie r se poate exprima in functie de proiectiile sale pe axele de coordonate si de versorii acestora :

La randul lor, cele doua proiectii pot fi exprimate cu ajutorul unghiului la centru q si al modulului razei vectoare r :

Rezulta :

Viteza este prima derivata a vectorului de pozitie in raport cu timpul, rezultand :

sau :

Acceleratia este prima derivata a vectorului viteza in raport cu timpul, rezultand :

sau :

Acceleratia este proportionala cu patratul vitezei unghiulare si cu modulul razei vectoare. Vectorul acceleratie momentana are directia razei vectoare momentane, iar sensul ei este opus sensului vectorului de pozitie.

Rezulta ca vectorul acceleratie este indreptat catre centrul traiectoriei si este de asemenea perpendicular pe vectorul viteza. Din aceste motive, acceleratia miscarii circulare uniforme se numeste acceleratie centripeta sau acceleratie normala.

O caracteristica importanta a miscarii circulare uniforme este faptul ca traiectoria este o curba inchisa. De aici decurge repetarea in timp a pozitiilor prin care trece mobilul. Spunem din acest motiv ca miscarea circulara uniforma este o miscare periodica.

Perioada reprezinta intervalul de timp dupa care miscarea se repeta identic. Intr-o perioada mobilul parcurge intreaga circumferinta a traiectoriei. Cum viteza unghiulara este constanta, putem scrie :

Perioada se masoara in Sistemul International in secunde.

O alta marime care reflecta caracterul repetabil al miscarii circulare uniforme este frecventa. Prin definitie, frecventa reprezinta numarul de rotatii complete efectuate in unitatea de timp. Evident, frecventa arata de cate ori se cuprinde perioada miscarii in unitatea de timp :

Unitatea de masura a frecventei in Sistemul International se numeste rotatii pe secunda.

Miscarea oscilatorie armonica este miscarea a carei ecuatie este de forma : sau . Parametrii care intervin in expresie au urmatoarele semnificatii: x - elongatia oscilatiei, A - amplitudinea oscilatiei, w - pulsatia oscilatiei, j - faza initiala a oscilatiei, F wt j - faza oscilatiei, t - momentul de timp.

Miscarile oscilatorii armonice sunt periodice.

Perioada de oscilatie este intervalul de timp dupa care oscilatia se repeta identic.

Conform definitiei perioadei de oscilatie, elongatia unei oscilatii periodice trebuie sa ia aceleasi valori dupa trecerea unor intervale de timp egale cu cate o perioada. Astfel, pentru o oscilatie armonica :

sau :

De aici obtinem :

Aceasta egalitate este adevarata pentru orice moment de timp t doar daca :

sau :

Evident, intervalul de timp minim corespunde valorii intregi k = 1, astfel incat perioada oscilatorului armonic are expresia :

Inversul perioadei de oscilatie se numeste frecventa. Rezulta :

Cand elongatia oscilatorului armonic reprezinta distanta la care se afla oscilatorul fata de pozitia de echilibru, prima derivata a elongatiei in raport cu timpul are semnificatia de viteza, iar a doua derivata pe aceea de acceleratie :

Ecuatia diferentiala a oscilatorului armonic

Examinand aceste relatii, observam ca :

Un desen de epoca ne infatiseaza primul zbor cu un balon cu aer cald, efectuat avand oameni la bord. Mi-am permis sa adaug desenului original si doua sisteme de axe de coordonate, unul legat de pamant si celalalt atasat balonului. Am ales axele de coordonate in asa fel incat directiile lor sa fie paralele, iar viteza balonului (constanta) sa fie orientata in lungul axei Ox. Viteza balonului ? Scuzati-ma, am uitat sa precizez : viteza balonului fata de pamant, adica, mai precis, viteza deplasarii pe axa Ox. Evident, viteza balonului in raport cu el insusi este nula, dar, in schimb, fata de aeronauti, toata piata din imagine se deplaseaza, ramanand in urma.

Diferenta intre cetatenii din piata si aeronauti este aceea ca daca primii sunt siguri de imobilitatea cladirilor, ceilalti ar putea avea dubii !

Cel mai rau lucru care li s-ar fi putut intampla aeronautilor era sa fie prinsi intr-o tornada, asa cum am incercat sa sugerez in imaginea alaturata (pe care, marturisesc n-am trucat-o prea bine). Miscarea lor fata de pamant n-ar mai fi fost o simpla translatie lina, ci o miscare accelerata, in care totul s-ar fi rotit in jur (in afara, bineinteles, de sistemul lor de referinta : balonul).

Sa presupunem ca sistemul de coordonate O este in repaus, iar sistemul O' in translatie si rotatie. Mobilul M se deplaseaza atat in raport cu O, cat si cu O'. La acelasi moment de timp, mobilul M are o pozitie fata de O (pe care conventional o numim pozitie absoluta) si o pozitie fata de O' (pe care tot conventional o numim pozitie relativa). Vectorii de pozitie corespunzatori r, respectiv r'. Tot la acel moment de timp, vectorul de pozitie al punctului O' fata de punctul O este r_OO'. Cei trei vectori sunt reprezentati in figura alaturata, iar relatia intre ei este urmatoarea :

Despre variatia in timp a bazei de versori a unui sistem de coordonate care executa o miscare de rotatie in jurul originii

Relatia de compunere a vitezelor

Exemplu : fie sistemul mobil format din roata de bicicleta din figura alaturata. Punctul M este in repaus fata de roata si, prin urmare, viteza relativa este nula. Viteza de translatie este viteza bicicletei v, iar viteza de rotatie este v' = wr (egala de fapt cu v). Notand cu q unghiul facut de raza vectoare a punctului M cu orizontala, expresiile componentelor vitezei absolute sunt : v_x = v(1- sin q), respectiv v_y = -v cos q

Relatia de compunere a acceleratiilor

Transformarea Galilei