Raspunsul la excitatie nula. Frecventele naturale

Raspunsul la excitatie nula. Frecventele naturale

Fie un circuit liniar cu solutie unica cu sursele independente pasivizate (u_s(t)=0) deci toate tensiunile si toti curentii se datoreaza conditiilor initiale, respectiv energiei inmagazinate la t=0 in condensatoarele si bobinele circuitului. Sistemul omogen de ecuatii algebrice si diferentiale asociat circuitului in care u_s(t)=0.este . Se cauta solutii ale acestui sistem de forma unde W₀ este o constanta reala si este un numar complex.. Inlocuind W₀e^t in sistemul de ecuatii si deoarece e^t 0 pentru orice t0 se obtine . Acest sistem liniar de ecuatii algebrice are o solutie nenula W₀ daca si numai daca

Polinomul P( )=det[T()] se numeste polinomul caracteristic al circuitului si radacinile lui se numesc frecventele      naturale sau valorile proprii ale circuitului. Deoarece P(l) are coeficxientii reali, l_k sunt reale sau perechi complex conjugate.

Calculul frecventelor naturale se face cel mai comod determinand radacinile ecuatiei det[T(s)]= 0 (daca s-au scris ecuatiile metodei tabloului), sau ale lui det[Y(s)] = 0 daca s-au scris ecuatiile potentialelor nodurilor). Se pot obtine valori nule pentru frecventele naturale ( =0, e^t =1 pentru orice t) care sunt asociate unui curent si/sau unei tensiuni constante.

Deoarece frecventele naturale sunt proprietati ale intregului circuit, orice schimbare a unui parametru atrage dupa sine schimbarea tuturor frecventelor naturale. Pot exista cazuri particulare (datorate unor simetrii topologice sau unor anumite valori numerice ale parametrilor) in care unii parametri nu influenteaza anumite valori ale frecventelor naturale.

Un circuit liniar cu solutie unica, fara surse independente are o solutie de tipul

daca si numai daca este o frecventa naturala a circuitului respectiv. Intr-adevar daca exista o solutie w(t) de aceasta forma, atunci det[T()]=0 si rezulta ca W₀0 si l este o frecventa naturala. Mai inainte am aratat ca orice solutie a acestui circuit are forma W_oe^lt unde l este o frecventa naturala. Daca circuitul are un raspuns de forma W₀e^1t se spune ca acsta opereaza in modul corespunzator frecventei naturale l

Ecuatiile metodei tabloului cu U_s(s)=0, sunt

unde T(s)=T₀+sT₁ si matricele T₀, T₁, U_i(s) sunt constante.

Daca _n sunt frecventele naturale ale circuitului (radacinile simple ale det[T(s)]=0) atunci aplicand regula lui Cramer sistemului de ecuatii al circuitului si descompunand in fractii simple se obtine pentru o componenta W_k(s) a lui W(s) expresia:

Unei radacini ₁ de ordin de multiplicitate m₁ ii corespunde, conform teoremei a doua a dezvoltarii, termenul unde este un polinom de timp de gradul m -1. Deci, in general

Se spune despre un circuit liniar ca este exponential stabil daca toate frecventele lui naturale au partea reala strict negativa. Modurile corespunzatoare acestor frecvente naturale sunt moduri stabile. Un circuit de acest tip are proprietatea ca raspunsul la excitatie nula w(t)0 cand t pentru orice      valori ale conditiilor initiale (toate variabilele circuitului tind catre zero cand t

Raspunsul la stare initiala nula

Fie un circuit liniar cu parametri invariabili in timp si cu solutie unica. Presupunem ca avem o singura sursa independenta de curent si conditii initiale nule. Dorim sa exprimam raspunsul i_j(t) in functie de excitatia i_i(t).

Ecuatiile operationale ale circuitului sunt