CURENTUL ALTERNATIV SINUSOIDAL

Curentul alternativ sinusoidal

a. Notiunea de curent variabil in timp; intensitatea medie, tensiune medie.

b. Marimi eficace (efective).

c. Elemente electrice de circuit in curent alternativ sinusoidal.

d. Circuitul RLC serie in curent alternativ.

e. Circuitul RLC paralel in curent alternativ.

f. Trecerea de la circuitul serie la circuitul paralel si invers.

g. Aplicatii.

a. Notiunea de curent variabil in timp; intensitate medie, tensiune medie

Dupa cum am vazut, intr-un circuit electric intensitatea curentului electric poate sa varieze in timp.

Daca variatia in timp a intensitatii curentului electric este periodica, curentul se numeste curent variabil periodic. Un astfel de curent este reprezentat in figura 195.

Fig. 197. Curent electric periodic.

Sarcina electrica transportata de un curent electric in timpul t printr-o sectiune transversala a circuitului este:

Daca curentul electric este periodic, se poate defini o valoare medie a intensitatii curentului electric ca fiind sarcina electrica transportata de curent intr-o perioada supra durata acestei perioade, adica:

(IV.19)

Prin analogie cu intensitatea medie se defineste si tensiunea medie, prin relatia:

Curentul periodic in care intensitatea medie si tensiunea medie sunt nule se numeste curent alternativ.

In continuare ne vom ocupa de studiul curentului alternativ cu perioada mare, sinusoidal.

b. Marimi eficace (efective)

Asa cum stim de la curentul electric continuu, puterea electrica debitata pe o portiune de circuit este data de relatia:

P=UI

In cazul curentului alternativ, pe baza relatiei de mai sus, se poate defini puterea instantanee debitata pe o portiune de circuit ca fiind produsul dintre tensiunea instantanee si intensitatea instantanee.

Pentru a deosebi intensitatea instantanee si tensiunea instantanee de alte marimi vom nota in continuare aceste marimi cu litere mici.

Energia absorbita intr-o perioada, pe o portiune de circuit aflat in regim periodic este:

Pe baza acestei energii putem definii puterea medie absorbita de portiunea de circuit prin relatia:

Daca portiunea de circuit are doar rezistenta atunci:

u=ir

si deci:

Se poate obtine aceeasi putere pe portiunea de circuit cu un curent constant de intensitate I pentru care:

P=RI²

Din ultimele relatii rezulta:

(IV.20)

Prin analogie cu intensitatea medie, se defineste, pe baza relatiei de mai sus, intensitatea efectiva, ca fiind intensitatea unui curent electric continuu ce produce aceeasi putere ca si curentul electric alternativ prin acelasi rezistor.

Pe baza intensitatii efective, prin analogie, se defineste tensiunea efectiva prin relatia:

(IV.21)

In cazul curentului alternativ sinusoidal

i=I₀ cos (ωt-φ )

intensitatea efectiva si tensiunea efectiva au expresiile:

si

c. Elemente electrice de circuit in curent alternativ sinusoidal

In curent alternativ elementele electrice de circuit se comporta altfel decat in curent continuu.

Fie o portiune de circuit ce este caracterizata doar de rezistenta sa. Sa presupunem ca la bornele acestei portiuni de circuit se aplica o tensiune electrica sinusoidala data de relatia:

In conformitate cu legea lui Ohm:

,

rezulta expresia intensitatii curentului electric prin circuit:

Dupa cum se constata, intensitatea curentului electric ce trece prin rezistor este in faza cu tensiunea ce se aplica la bornele lui. Din punct de vedere fzorial aceasta inseamna ca fazorii intesitatii si tensiunii se reprezinta ca doi vectori paraleli.

Fie o portiune de circuit caracterizata doar prin inductanta L la bornele careia se aplica o tensiune alternativa sinusoidala. In conformitate cu legea a doua a lui Kirchhoff, putem scrie:

Prin integrarea relatiei de mai sus rezulta:

Se constata ca intensitatea curentului electric este defaszata cu π/2 in urma tensiunii aplicate la bornele inductantei. Din punct de vedere fazorial, aceasta se reprezinta grafic asa cum se vede in figura 198.

Fie o portiune de circuit, caracterizata printr-o capacitate C, la bornele careia se aplica o tensiune alternativa sinusoidala. In conformitate cu definitia capacitatii electrice putem scrie:

Tinand cont de definitia intensitatii curentului electric putem scrie:

Fig. 198 Reprezentarea fazoriala a intensitatii curentului electric ce trece printr-o inductanta

Dupa cum se observa, intensitatea curentului electric prin condensator este defazata inaintea tensiunii cu π/2. Din punct de vedere fazorial aceasta se reprezinta grafic asa cum se arata in figura 199.

Se obisnuieste sa se faca urmatoarele notatii:

si (IV. 22.)

Cele doua marimi se numesc reactanta inductiva si respectiv reactanta capacitiva.

Fig. 199. Reprezentarea fazoriala a intensitatii curentului electric ce trece printr-o capacitate

d. Circuitul RLC serie in curent alternativ

Elementele electrice de circuit pot fi combinate astfel incat sa formeze diferite circuite electrice. Cele mai simple circuite electrice de curent alternativ sunt circuitul RLC serie si circuitul RLC paralel.

Schema electrica a unui circuit RLC serie este prezentata in figura 200.

Fig. 200. Circuit RLC serie, in curent alternativ

Daca la bornele circuitului de mai sus se aplica o tensiune alternativa sinusoidala, in conformitate cu teorema a doua a lui Kirchhoff putem scrie:

u_R+u_L+u_c=u

In relatia de mai sus avem:

; ;

Solutia stationara a ecuatiei de mai sus este:

Substituind aceasta solutie in ecuatia lui Kirchhoff, obtinem:

Prin identificarea coeficientilor se obtine sistemul de ecuatii:

Rezolvand acest sistem obtinem intensitatea efectiva si defazajul curentului fata de tensiunea aplicata.

(IV.22.)

(IV.24.)

De obicei se noteaza cu X marimea:

(IV.25.)

numita reactanta totala a circuitului.

Marimea:

(IV.26.)

se numeste impedanta circuitului RLC serie.

Cu aceste notatii legatura intre marimile eficace este data de relatia:

U=IZ      (IV.27.)

Reprezentarea fazoriala a tensiunilor in circuitul RLC serie este data in figura 201.

Fig. 201. Reprezentarea fazoriala a tensiunilor in circuitul RLC serie.

Daca circuitul contine doua bobine, asa cum se vede in figura 202, intre ele poate sa apara un cuplaj magnetic.

Fig. 202. Circuit RLC serie ce contine doua inductante.

Vom rezolva acest circuit cu ajutorul reprezentarii fazoriale. Diagrama fazoriala este prezentata in figura 20

Fig. 20 Reprezentarea fazoriala a tensiunilor din circuitul din figura 20

Din figura de mai sus se observa ca tensiunea are urmatoarea expresie:

e. Circuitul RLC paralel in curent alternativ

Fie circuitul RLC paralel din figura 204

Fig. 204. Circuit RLC paralel

In conformitate cu legea I a lui Kirchhoff putem scrie:

i_R+i_L+i_C=i

unde:     

Inlocuind in formula de mai sus obtinem relatia:

In mod analog ca la circuitul RLC serie se obtine sistemul:

Din acest sistem se poate afla intensitatea efectiva si defazajul intensitatii fata de tensiune.

(IV.28.)

(IV.29.)

De obicei se fac urmatoarele notatii:

si (IV.30.)

Cele doua marimi se numesc susceptanta inductiva respectiv susceptanta capacitiva.

Marimea:

(IV.31.)

se numeste susceptanta totala.

In aceste conditii folosind si notatia:

(IV.32.)

numita admitanta circuitului RLC serie, Legea lui Ohm se scrie astfel:

I=YU

Reprezentarea fazoriala a intensitatii curentilor electrici din circuitul RLC paralel este data in figura 205.

Fig. 205. Reprezentarea fazoriala a curentilor in circuitul RLC paralel.

Din figura se vede ca:

I_R=Icosφ=I_a

I_B=Isinφ=I_r

curentii I_a si I_r se numesc componenta activa si respectiv componenta pasiva a intensitatii curentului electric din circuit.

In cazul unui circuit paralel cu mai multe ramuri, putem scrie urmatoarele relatii:

I_a1=I₁cosφ₁=G₁U

I_a2=I₂cosφ₂=G₂U

I_an=I_ncosφ_n=G_nU

Intensitatea activa prin intregul circuit este suma algebrica a intensitatilor active pe fiecare ramura, deci:

In mod analog pentru componentele reactive ale curentului putem scrie:

I_r1=I₁sin φ₁=B₁U

I_r2=I₂sin φ₂=B₂U

I_rn=I_nsinφ_n=B_nU

Intensitatea pasiva prin intregul circuit este suma algebrica a intensitatilor pasive de pe fiecare ramura, deci:

Intensitatea totala a curentului prin circuit se afla folosind teorema lui Pitagora:

f. Trecerea de la circuitul serie la circuitul paralel si invers

Fie un circuit serie in curent alternativ. Pentru acest circuit sunt valabile relatiile:

si

Admitanta circuitului RLC serie este inversa reactantei sale. In aceste conditii putem scrie:

Circuitul serie de mai sus poate fi inlocuit cu un circuit paralel echivalent. Pentru aceasta vom admite ca admitanta circuitului serie este admitanta unui circuit paralel. Dupa cum stim, admitanta circuitului paralel este data de relatia (IV. 32.). Prin identificarea marimilor din partea dreapta a relatiei (IV. 32.) cu marimile din partea dreapta a relatiei de mai sus obtinem:

(IV. 3)

Daca avem un circuit paralel, pentru acesta sunt valabile relatiile:

si

Impedanta acestui circuit este inversul admitantei sale. Putem trece de la circuitul paralel la circuitul serie presupunand ca impedanta circuitului paralel este egala cu impedanta circuitului serie. Facand artificiul de calcul:

si identificand relatia de mai sus cu relatia (IV. 26.) obtinem:

(IV. 31.)

g. Aplicatii

Problema 1.

In serie cu doua lampi cu arc, calculate la tensiunea de U=20 V si P=290W fiecare, a fost introdusa pentru limitarea tensiunii o bobina. Ce parametrii L si R trebuie sa aiba bobina, daca tensiunea de alimentare a circuitului este 110V, frecventa este de 50 Hz, iar factorul de putere pentru intreaga instalatie nu trebuie sa fie mai mic de 0,8.

Lampile se considera pur rezistive astfel incat curentul care strabate circuitul are valoarea efectiva:

Rezistenta unei lampi este:

Diagrama fazoriala a tensiunilor este cea din figura 205. Din triunghiul OAB rezulta:

Fig. 205. Referitor la problema 1.

Pentru cazul limita cosφ=0,8 rezulta:

U_B=72,5V

Din triunghiul ABC se deduce:

U_B²=U_R²+U_L²

Inlocuind expresiile lui U_L si U_R obtinem:

U_B²=I²(R²+ω²L²)

De aici rezulta:

R²+10⁴ω²L²=52,6

Dupa cum stim impedanta circuitului este data de relatia:

Z=U/I

Din aceasta relatie rezulta:

(5,8+R)²+100²ω²L²=121

Facand calculele numerice rezulta:

R=3Ω si L=21mH