Teorema impulsului

Teorema impulsului

1. Impulsul unui sistem de puncte materiale si al unui solid rigid

Impulsul unui punct material de masa m, care are viteza , este un vector coliniar si de acelasi sens cu viteza , definit prin relatia:

(1)

Pentru un sistem de puncte materiale de mase , si viteze , impulsul sistemului este egal cu suma vectoriala a impulsurilor punctelor materiale din care este alcatuit sistemul:

(2)

Impulsul unui solid rigid este definit prin relatia:

(3)

unde integrala se considera pe intreg domeniul (D) ocupat de rigid.

Observatii: i) Unitatea de masura pentru impuls in sistemul SI este .

ii) Avand in vedere relatia de definitie a pozitiei centrului de masa, , si de definitia (2), putem scrie ca:

.

Expresia

(4)

unde este masa iar viteza centrului de masa, arata ca impulsul unui sistem de puncte materiale poate fi considerat ca impulsul centrului de masa in care se presupune concentrata intreaga masa a sistemului.

iii) Demonstratiile din acest capitol se fac pentru cazul sistemului de puncte materiale dar ele raman valabile si in cazul solidului rigid.

2. Teorema impulsului. Teorema miscarii centrului de masa.

Teorema impulsului (enunt): Derivata in raport cu timpul a impulsului unui sistem de puncte materiale sau rigid este egala cu suma fortelor exterioare care actioneaza asupra sistemului sau rigidului:

(5)

Demonstratie: Se considera un sistem de n puncte materiale de mase , si acceleratii , aflate in interactiune (figura T 1). Asupra punctului actioneaza doua categorii de forte:

forte exterioare, inlocuite prin rezultanta lor ;

forte interioare, , adica fortele cu care celelalte puncte ale sistemului actioneaza asupra punctului . Conform principiului actiunii si reactiunii fortele interioare sunt doua cate doua direct opuse, adica:

Izoland punctele sistemului si scriind pentru fiecare ecuatia fundamentala a dinamicii se obtin ecuatiile:

Insumand membru cu membru cele n relatii (7) gasim ca:

In baza primei relatii (6), ultima suma din (8) este nula. In plus:

Deci :

In proiectii pe axele reperului cartezian Oxyz, relatia (10) se scrie:

, , (11)

Teorema miscarii centrului de masa (enunt): Centrul de masa al unui sistem de puncte materiale sau rigid se misca la fel ca un punct in care este concentrata toata masa sistemului (rigidului) si asupra caruia actioneaza toate fortele exterioare:

(12)

Demonstratie: Derivand relatia in raport cu timpul t gasim ca . Din (10) gasim apoi ca .

Observatie: Teorema impulsului si teorema miscarii centrului de masa nu sunt teoreme independente. Teorema miscarii centrului de masa reprezinta o alta forma de prezentare a teoremei impulsului.

3. Teorema conservarii impulsului

Teorema conservarii impulsului (enunt) : Daca in timpul miscarii sistemul de puncte materiale (rigidul) este izolat sau daca suma fortelor exterioare este nula, atunci impulsul sistemului (rigidului) se conserva.

Demonstratie: Deoarece , din (5) gasim ca , adica = constant.

Observatie: In multe cazuri practice rezultanta fortelor exterioare are nula doar componenta dupa o singura axa, ceea ce va conduce la conservarea impulsului doar dupa acea axa. Daca aceasta axa este Ox, atunci:

constant (14)

Figura T 1 Figura T 2