Aplicatii la calculul campului si potentialului electrostatic

Aplicatii la calculul campului si potentialului electrostatic

1 Campul si potentialul electric al sarcinii punctiforme

Cậmpul electric al sarcinii punctiforme

Fie o sarcina electrica punctiforma Q pozitiva, situata in vid:

Ne propunem sa determinam intensitatea cậmpului electric in punctul M aflat la distanta r .

Se alege o suprafata inchisa ce trece prin punctul dat si are o simetrie fata de sarcina Q data - sfera cu centrul in Q. Din legea fluxului electric:

;

Intensitatea campului electric este

sau vectorial:

unde si rezulta:

Pentru cazul a n sarcini punctiforme vom avea:

Daca in puntul M se aseaza o alta sarcina q, atunci campul electric creat de Q in M va exercita o forta asupra sarcinii q:

sau, se mai poate scrie:

In alt mediu decat vidul apare permitivitatea mediului :

iar forta va scadea de ε_r ori.

Potentialul sarcinii punctiforme

Consideram punctul M si sarcina pozitiva Q (Fig. 1.22). Pentru calculul potentialului datorat lui Q in punctul M vom calcula :

V_M =

punctul de referinta fiind la infinit. Integrarea se va face in lungul razei ce unste sarcina electrica Q cu M:

V_M =

Potentialul creste pe masura ce ne apropiem de sarcina pozitiva si invers, pentru:

Punctele de potential nul de la ∞, V = 0 ele se numesc puncte de referinta.

Daca avem mai multe sarcini punctiforme (Fig. 1.23):

2 Cậmpul electric si potentialul unei sfere incarcate uniform cu sarcina electrica

Cậmpul electric al unei sfere incarcate uniform cu sarcina electrica.

Fie o sfera de volum V incarcata uniform cu sarcina electrica, densitatea de volum a sarcinii electrice fiind ρ_v.

Consideram suprafata inchisa Σ concentrica cu sfera ; din motive de simetrie campul este radial. Pentru un punct M situat in exteriorul sferei avem:

Daca punctul este in interiorul sferei si suprafata de integrare Σ' trece prin M' rezulta:

_,

Potentialul sferei uniform incarcate cu sarcina electrica

Presupunem o sfera incarcata uniform cu sarcina electrica de densitate ρ_v (fig. 1.24):

Pentru punctele situate in exteriorul sferei demonstratia este similara cu aceea din cazul sarcinii punctiforme. Potentialul in punctul exterior sferei este:

In interior unde r < R vom avea:

sau

Intensitatea campului electric in centrul sferei este zero.

Potentialul unui punct din sfera este:

Se observa ca in punctele de pe sfera, r = R, se verifica relatia:

In centrul sferei, r = 0, potentialul este maxim:

In figura de se reprezinta variatia potentialului in functie de raza r atat pentru punctele situate in exteriorul sferei cat si in interiorul sferei.

3 Cậmpul si potentialul electric al conductorului rectiliniu, infinit lung, incarcat uniform cu sarcina electrica repatizata in intreg volumul

Campul electric al conductorului rectiliniu

Consideram un conductor de raza R avand axa perpendiculara pe figura, in figura fiind reprezentata sectiunea circulara a conductorului. Fie densitatea de linie ρ_l a sarcinii pe conductor.

Se considera un cilindru inchis unde este suprafata laterala iar este suprafata bazei.

atunci:

iar:

Se poate deduce similar expresia intensitatii campului electric din interiorul conductorului. Se considera o distributie uniforma a sarcinii cu o densitate volumetrica .

Q - sarcina electrica, V - volumul conductorului, S - sectiunea transversala, L - lungimea conductorului

Se considera suprafata S inchisa de raza r < R in interiorul cilindrului .

este volumul portiuni din conductor de lungime L, ce se afla in interiorul suprafetei S de raza r.

este volumul intregului cilindru.

Inlocuind pe in relatia anterioara, rezulta:

;

Intensitatea campului electric in interiorul conductorului este:

Potentialul conductorului rectiliniu, infinit lung, incarcat cu sarcina electrica.

Se considera (Fig. 1.26) un conductor filiform incarcat cu densitatea de linie . Consideram suprafata inchisa S suprafata totala a unui cilindru circular drept, a carui axa coincide cu axa conductorului filiform.

S-a calculat intensitatea campuli electric intr-un punct situat in exteriorul conductorului:

Tensiunea dintre doua puncte A si B se poate calcula:

Daca se alege un punct de referinta la o distanta r₀ in care potentialul se considera nul, atunci putem scrie:

De exemplu daca rezulta

si